專題04冪指對函數(shù)

考點五年考情（2021-2025）命題趨勢

2025年由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式上海高考冪指對函數(shù)的命題呈

指數(shù)函數(shù)（5年2考）

2023年求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域現(xiàn)基礎考查扎實化、綜合應用靈活

化、創(chuàng)新題型常態(tài)化的特點。

2022年對數(shù)的運算、由對數(shù)函數(shù)的單

冪指對函數(shù)在現(xiàn)實問題中的應

對數(shù)函數(shù)（5年1考）調(diào)性解不等式、求對數(shù)型復合函數(shù)的

用（如人口增長、放射性衰變、金融

定義域

復利）是命題熱點。函數(shù)圖像的識別

反函數(shù)（5年1考）2021年求反函數(shù)與應用是高頻考點。

考點01指數(shù)函數(shù)

1．（2025·上?！じ呖颊骖}）設a0,sR．下列各項中，能推出asa的一項是（）

A．a(chǎn)1，且s0B．a(chǎn)1，且s0

C．0a1，且s0D．0a1，且s0

【答案】D

【知識點】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論a與1的關系即可判定選項.

【詳解】∵a0,asa，∴as11a0，

當a0,1時，yax定義域上嚴格單調(diào)遞減，

此時若s10，則一定有as11a0成立，故D正確，C錯誤；

當a1,時，yax定義域上嚴格單調(diào)遞增，要滿足as11a0，需s1，即A、B錯誤.

故選：D

2x,x0

2．（2023·上海·高考真題）已知fx，則fx的值域是；

1,x0

【答案】[1,)

【知識點】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、分段函數(shù)的值域或最值

【分析】分段討論fx的范圍即可.

【詳解】當x0時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知f(x)2x1，

當x0時,f(x)1.

綜上:yf(x)的值域為[1,).

故答案為：[1,).

考點02對數(shù)函數(shù)

．（?上海春季高考）的定義域．

32024log2x

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)真數(shù)的性質(zhì)，即可求解．

【解答】解：的定義域為．

log2x(0,)

故答案為：(0,)．

【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題．

4．（2022·上?！じ呖颊骖}）f(x)log3(ax)log3(6x)

(1)若將函數(shù)f(x)圖像向下移m（m0）后，圖像經(jīng)過3,0,5,0，求實數(shù)a，m的值.

(2)若a3且a0，求解不等式f(x)f(6x).

【答案】(1)a2,m1

(2)答案見解析.

【知識點】對數(shù)的運算、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、求對數(shù)型復合函數(shù)的定義域

log3(a3)log3(63)m0

【分析】（1）由題知a6，再根據(jù)題意得，解方程即可得答案；

log3(a5)log3(65)m0

2ax6a

（2）根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為ax6的解集，再分類討論求解即可.

0xa6

xa0xa

【詳解】（1）解：函數(shù)f(x)的定義域滿足，即，

6x0x6

所以，要使函數(shù)的定義域非空，則a6，即a6.

若將函數(shù)f(x)圖像向下移m（m0）后得到的解析式為：

g(x)f(x)mlog3(ax)log3(6x)m，xa,6.

log(a3)log(63)m0

所以3,0,5,0在函數(shù)g(x)的圖像上，即33，

log3(a5)log3(65)m0

解得：a2,m1，

所以，a2,m1

（2）解：由題知a3,00,，

f(x)log3(ax)log3(6x)log3ax6x,xa,6

f(6x)log3(a6x)log3xlog3xa6x,x0,a6

因為函數(shù)ylog3x在0,上單調(diào)遞增，

所以f(x)f(6x)等價于ax6xxa6x，展開整理得：2ax6a，

2ax6a

所以，不等式的解集為ax6的解，

0xa6

所以，當a3,0時，不等式的解為ax3；

當a0,時，不等式的解為3≤x6.

綜上，當a3,0時，不等式的解為xax3；當a0,時，不等式的解為x3x6.

考點03反函數(shù)

5．（2021·上?！じ呖颊骖}）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是（）

A．x2B．sinxC．2xD．y1

【答案】C

【知識點】求反函數(shù)

【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義判斷．

【詳解】在定義域內(nèi)，

y=x2中可能有兩個不同的x對應同一個y，不存在反函數(shù)；

ysinx是周期函數(shù)，多個x對應同一個y，不存在反函數(shù)；

y2x對值域內(nèi)每一個y值在定義域內(nèi)都只有唯一的x與之對應，存在反函數(shù)，

y1是所有x對應同一個y，它不存在反函數(shù)．

故選：C．

3

6．（2021?上海春季高考）已知f(x)2，則f1（1）．

x

【分析】利用反函數(shù)的定義，得到f(x)1，求解x的值即可．

3

【解答】解：因為f(x)2，

x

3

令f(x)1，即21，解得x3，

x

故f1（1）3．

故答案為：3．

【點評】本題考查了反函數(shù)定義的理解和應用，解題的關鍵是掌握原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，考

查了運算能力，屬于基礎題．

7．（2022?上海春季高考）設函數(shù)f(x)x3的反函數(shù)為f1(x)，則f1(27)．

【分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關系式，進一步求出函數(shù)的值．

【解答】解：函數(shù)f(x)x3的反函數(shù)為f1(x)，

整理得f1(x)3x；

所以f1(27)3．

故答案為：3．

【點評】本題考查的知識要點：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基

礎題．

一、單選題

1．（2025·上?！と＃┫铝泻瘮?shù)中是奇函數(shù)的為（）

x321x

A．ysinxeB．yxxC．ycos2xD．ylog2

1x

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的定義，逐項判斷即可.

sin1

【詳解】對于A，sin(1)e1(sin1e1)，即x取1,1時的函數(shù)值不互為相反數(shù)，A不是；

e

對于B，(1)3(1)220(1312)，即x取1,1時的函數(shù)值不互為相反數(shù)，B不是；

對于C，ycos2x是偶函數(shù)，且cos(20)10，即cos2x不恒為0，C不是；

1(x)1x1x

1x

對于D，函數(shù)ylog2的定義域為(1,1)，而log2log2log2，

1x1(x)1x1x

1x

函數(shù)ylog2是奇函數(shù)，D是.

1x

故選：D

2．（2025·上?！つM預測）冪函數(shù)yxa在0,上是嚴格減函數(shù)，且經(jīng)過1,1，則a的值可能是（）．

211

A．B．C．D．3

333

【答案】B

【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可排除C和D；根據(jù)冪函數(shù)過點1,1，可排除A.

【詳解】因為冪函數(shù)yxa在0,上是嚴格減函數(shù)，所以a0，故C錯誤，D錯誤；

2

211

2y131

對于A，若a，則3，當x1時，22，

yx3

3131

2

所以冪函數(shù)yx3過點1,1，故A錯誤；

1

11

1y131

對于B，若a，則yx3，當x1時，1，

313

1

所以冪函數(shù)yx3過點1,1，故B正確.

故選：B.

3．（2025·上海嘉定·二模）已知實數(shù)a，b滿足ab，則下列不等式中，不恒成立的是（）

a

A．a(chǎn)3b3B．1C．a(chǎn)2b22abD．2a2b

b

【答案】B

【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性、特殊值、基本不等式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等知識對選項進行分析，從而確

定正確答案.

【詳解】A選項，冪函數(shù)yx3在R上單調(diào)遞增，

由于ab，所以a3b3，A選項不等式恒成立.

a1

B選項，當a1,b2時，ab，但1，B選項不等式不恒成立.

b2

C選項，ab，根據(jù)基本不等式可知a2b22ab，B選項不等式恒成立.

D選項，指數(shù)函數(shù)y2x在上單調(diào)遞增，

由于ab，所以2a2b，D選項不等式恒成立.

故選：B

4．（2025·上海寶山·二模）“ab”的一個必要非充分條件是（）

ab

133

A．lnab0B．2a2bC．1D．a(chǎn)b

2

【答案】C

【分析】利用充分條件與必要條件的判斷方法，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對選項A、B和C逐一分析

判斷，即可求解；對于D，利用不等式的性，即可求解.

【詳解】對于選項A，由lnab0，得到ab10，即ab，所以lnab0可得ab，故選項A

錯誤，

對于選項B，由2a2b，得到ab，所以2a2b可得ab，故選項B錯誤，

abab

11

對于選項C，由1，得到ab0，即ab，所以1推不出ab，

22

ab

1

但ab可以得出1，故選項C正確，

2

2

3322132

對于選項D，由a3b3，得到ababaabbababb0，

24

2

132

又abb0，當且僅當ab0時取等號，顯然ab0不滿足題意，

24

則ab>0，即ab，

又當ab，有a3b3，所以a3b3是ab的充要條件，故選項D錯誤，

故選：C.

5．（2025·上海青浦·模擬預測）若正數(shù)m,n,a均不為1，則下列不等式中與“mn”等價的是（）

mn

A．a(chǎn)aB．logamlogan

aa

C．mnD．logmalogna

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可逐一排除A，B項，通過舉反例排除D項，利用冪函數(shù)的單調(diào)

性可推理C項正確.

【詳解】對于A，當0a1時，函數(shù)yax單調(diào)遞減，由mn可得aman，故A錯誤；

對于B，當0a1時，函數(shù)ylogax在(0,)單調(diào)遞減，由mn0可得logamlogan，故B錯誤；

對于C，因m0,n0，a0，函數(shù)yxa在(0,)上單調(diào)遞增，由mn0，可得mana，由mana，

也可得mn，故C正確；

對于D，若取m4,n2,a8，顯然滿足正數(shù)m,n,a均不為1，且mn，

3

但logalog8logalog83，即logaloga與mn不等價，故D錯誤.

m42n2mn

故選：C.

6．（2025·上海金山·二模）已知定義在R上的函數(shù)yfx，滿足以下兩個條件：（1）fx0對任意xR

2

恒成立，且f11；（2）對任意x1?x2R都有fx12x24fx1fx2，則下列關于函數(shù)yfx的

表述中正確的個數(shù)為（）

11

①f0；②fxfx；③函數(shù)yfx有最小值.

24

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】通過賦值法判斷①②，舉反例判斷③.

2

【詳解】由任意x1,x2R，都有fx12x24fx1fx2，

1

令xx0，可得f04f30，因為f00，解得f0，故①正確；

122

2

令x1x，x2x，可得fx2x4fxfx，

1

整理得fx4fxf2x，又fx0，得fxfx，故②正確；

4

對于③舉反例，如fx2x1，

x2x12

滿足條件（），又fx2x212，2x11x21，

1124fx1fx2422

2

則fx12x24fx1fx2，滿足條件（2），

而fx2x10沒有最小值，故③錯誤.

所以正確的有2個.

故選：C.

二、填空題

∣

7．（2025·上海松江·二模）已知集合A{1,0,1,2},Bxylog2x，則AB.

【答案】{1,2}

【分析】化簡集合B，根據(jù)交集運算求解.

【詳解】集合B是函數(shù)ylog2x的定義域，對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0，所以B{x∣x0}，

又A{1,0,1,2}，所以AB1,2.

故答案為：1,2.

x1

8．（2025·上海寶山·二模）已知函數(shù)yalogax21(a0且a1)的圖像經(jīng)過定點A，則點A的坐

標為

【答案】1,2

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.

110

【詳解】令x1，可得yaloga121aloga112.

所以定點A的坐標為(1,2).

故答案為：(1,2).

9．（2025·上?！と＃┮阎螦xlnx1，Bxy25x2,xZ，則AB.

【答案】{3,4,5}

【分析】先分別求出集合A與集合B，再根據(jù)交集的定義求出AB.

【詳解】因為集合A{x|lnx1}，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式lnx1.

xe，即集合A{x|xe}.

又集合B{x|y25x2,xZ}，要使根式有意義，則根號下的數(shù)須大于等于0，即25x20，可得

5x5；

又因為xZ，所以集合B{5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5}.

結(jié)合集合A{x|xe}（e2.718）和集合B{5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5}，可得AB{3,4,5}.

故答案為：{3,4,5}.

3

10．（2025·上海徐匯·二模）已知冪函數(shù)yfx的圖像過點3,，則該冪函數(shù)的值域是．

3

【答案】0,

1

【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義代入點可得fx，即可得函數(shù)值域.

x

【詳解】設冪函數(shù)fxx,R，

1

331

代入點3,可得332，即，

332

1

1

可得fxx2，

x

1

因為x0，可得fx0，所以該冪函數(shù)的值域是0,.

x

故答案為：0,.

11．（2025·上?！と＃┖瘮?shù)ylog23x的定義域為.

【答案】,3

【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零以及二次根式有意義的條件列不等式求解即可.

【詳解】要使函數(shù)ylog23x有意義，

3x0

則，解得x3，

3x0

所以函數(shù)ylog23x的定義域為,3，

故答案為：,3.

12．（2025·上海浦東新·三模）已知冪函數(shù)ym2m5xm1在0,上嚴格增，則實數(shù)m

【答案】2

m2m51

【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)有，即可求.

m10

m2m51

【詳解】由題設，可得m2.

m10

故答案為：2

lnx,x0

13．（2025·上海崇明·三模）已知函數(shù)fx，則fe.

3,x0

【答案】3

【分析】利用分段函數(shù)解析式，可得答案.

【詳解】由e0，則fe3.

故答案為：3.

1

14．（2025·上海·模擬預測）fxlog1x，則fx11的解集為．

x2

【答案】2,

【分析】由復合函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式可得.

【詳解】由題意可得函數(shù)定義域為0,，

1

由復合函數(shù)的定義域易得函數(shù)fxlog1x在定義域上為減函數(shù)，且f11，

x2

所以fx11fx1f1，即x11x2，

所以解集為2,.

故答案為：2,.

15．（2025·上海·三模）設集合A0,1,2,3,Bx∣2x8，則AB.

【答案】0,1,2

【分析】解指數(shù)不等式求得集合B，利用交集的意義可求AB.

【詳解】由2x823，可得x3，所以Bx∣x3，

所以AB0,1,2,3x∣x30,1,2.

故答案為：0,1,2.

16．（2025·上海長寧·二模）已知函數(shù)yf(x)和yg(x)，其中f(x)log2x，且yg(x)是定義在R上的

1

函數(shù)，其圖像關于原點對稱，當x(0,1]時，g(x)x2mxm5．若對任意的x,2，存在x[1,1]，

122

使得fx1gx2，則m的取值范圍是．

【答案】3,5

【分析】根據(jù)題意可知fx的值域是gx值域的子集，先求出fx的值域，再對gx分類討論求值域，

從而求得m的取值范圍.

1

【詳解】對任意的x,2，存在x[1,1]，使得fxgx，

12212

fx的值域是gx值域的子集，

1

當x,2時，fx的值域為1,1，

12

yg(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖像關于原點對稱，

gx是奇函數(shù)，且g00，

m

當x(0,1]時，g(x)x2mxm5，gx的對稱軸方程為x，

2

當m0時，gx在(0,1]上單調(diào)遞增，

gx在x(0,1]時的范圍是m5,62m，m50，62m0，

gx在1,1上的值域為2m6,m5m5,62m0，

此時fx的值域不可能為gx值域的子集，舍去；

m1mm

當0，即0m1時，gx在(0,]上單調(diào)遞減，在,1上單調(diào)遞增，

2222

m2m2

gx在x(0,1]時的范圍是m5,62m，m50，62m0，

44

m2m2

gx在1,1上的值域為2m6,m5,m5,62m0，

44

此時fx的值域不可能為gx值域的子集，舍去；

1mmm

當1即1m2時，gx在(0,]上單調(diào)遞減，在,1上單調(diào)遞增，

2222

m2m2

gx在x(0,1]時的范圍是m5,m5，m50，m50，

44

m2m2

gx在1,1上的值域為m5,m5,m5,m50，

44

此時fx的值域不可能為gx值域的子集，舍去；

m

當1，即m2時，gx在(0,1]上單調(diào)遞減，

2

gx在x(0,1]時的范圍是62m,m5，

若2m3，則62m0，m50，

gx在1,1上的值域為m5,62m62m,m50，

此時fx的值域不可能為gx值域的子集，舍去；

若3m5，則62m0，m50，

62m062m17

，或解得3m4，或m5，3m5；

m51m502

若m5，則62m0，m50，

gx在1,1上的值域為m5,62m62m,m50，

此時fx的值域不可能為gx值域的子集，舍去；

綜上，m的取值范圍是3,5.

故答案為：3,5.

三、解答題

17．（2025·上海黃浦·二模）已知fx2x．

(1)若fxf2x3，求x的值；

(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)yfxafx是奇函數(shù)？請說明理由．

【答案】(1)x2；

(2)存在實數(shù)a1，使函數(shù)yfxafx是奇函數(shù).

【分析】（1）利用換元法將含有指數(shù)的方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

（2）利用奇函數(shù)在x0處的特殊性質(zhì)求出a的可能值，再將a的值代回函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可.

4

【詳解】（1）由題意，fxf2x2x22x2x3，

2x

4

令t2x,t0，則有t3，即t23t40，得t4t10，解得t4或t1（舍去），

t

所以t2x4，則x2.

（2）假設存在實數(shù)a，使函數(shù)yfxafx2xa2x是奇函數(shù)，

則x0時，y1a0，解得a1.

xx

當a1時，函數(shù)yfxafx22，定義域為R.

設函數(shù)gxy2x2x,xR.

對任意xR，gx2x2xgx，故函數(shù)gx2x2x為奇函數(shù).

綜上，存在實數(shù)a1，使函數(shù)yfxafx是奇函數(shù).

18．（2025·上海青浦·模擬預測）對于函數(shù)yf(x)，其中f(x)logax(a0,a1).

(1)若函數(shù)yf(x)的圖像過點(4,2)，求f(2x2)f(x)的解集；

(2)求證：當a2時，存在x使得f(x1),f(ax),f(x2)成等差數(shù)列.

【答案】(1)(1,2)

(2)證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)解析式，利用單調(diào)性解不等式即可；

（）利用等差中項的性質(zhì)可得，根據(jù)對數(shù)運算化簡可得

221log2xlog2(x1)log2(x2)

22，所以22，即2，由判別式可知方程有解，即可得

log22xlog2x3x22xx3x2x3x20

證.

【詳解】（1）已知函數(shù)yf(x)logax的圖像過點(4,2)，

2

所以loga42，即a4，因為a0,a1，所以a2，

則f(x)log2x.

函數(shù)f(x)log2x的定義域為(0,)，且在定義域上單調(diào)遞增.

2x20

由f(2x2)f(x)可得x0，

2x2x

解得1x2，所以不等式的解集為(1,2).

（2）當a2時，f(x)log2x,f(x1)log2(x1)，

f(ax)log2(2x)log22log2x1log2x,f(x2)log2(x2).

若f(x1)、f(ax)、f(x2)成等差數(shù)列，則2f(ax)f(x1)f(x2)，

即

21log2xlog2(x1)log2(x2).

所以22log2xlog2[(x1)(x2)]，

即222，

log2(2)log2xlog2x3x2

即22，則22，移項可得2

log22xlog2x3x22xx3x2x3x20.

對于一元二次方程x23x20，(3)24(2)98170，

所以方程有實數(shù)解，即存在x使得f(x1)、f(ax)、f(x