專題05立體幾何

考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點(diǎn)1空間幾回顧近五年北京卷高考命題情況，立體幾

何體面積、體2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、何無疑是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，屬于必考范疇。

積、棱長、高2022北京卷、2021北京卷其考查方向較為明確且集中，主要聚焦于

（5年5考）兩大關(guān)鍵方面。其一，空間幾何體相關(guān)計(jì)

算是重要考點(diǎn)，涉及體積、面積以及高等

考點(diǎn)2三視圖

2021北京卷具體數(shù)值的求解，這要求考生熟練掌握各

（5年1考）

類空間幾何體的特征與計(jì)算公式，能夠準(zhǔn)

考點(diǎn)3線面角確運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。其二，空間角的問

2025北京卷、2022北京卷

（5年2考）題求解是考查的重中之重，涵蓋線線角、

線面角以及二面角?？忌杈邆淝逦目?/p>

間想象能力，掌握相應(yīng)的求解方法與技巧，

考點(diǎn)4二面角

2024北京卷、2023北京卷、2021北京卷如通過建系利用向量法求解等。備考時(shí)，

（5年3考）

考生應(yīng)針對這些重點(diǎn)內(nèi)容加強(qiáng)練習(xí)，提升

解題能力。

考點(diǎn)01空間幾何體面積、體積、棱長、高

1．（2025·北京·高考真題）某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其

中ABCDEF是一個(gè)平面多邊形，平面AFR平面ABC，平面CDT平面ABC，ABBC，AB//EF//RS//CD，

5

BC//DE//ST//AF.若ABBC8,AFCD4,RARFTCTD，則該多面體的體積為．

2

2．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PAPB4，

PCPD22，該棱錐的高為（）.

A．1B．2C．2D．3

3．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出

建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是

全等的等腰三角形．若AB25m,BCAD10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面

14

ABCD的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

A．102mB．112m

C．117mD．125m

4．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐PABC的六條棱長均為6，S是VABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)

集合TQSPQ5，則T表示的區(qū)域的面積為（）

3

A．B．C．2D．3

4

5．（2021·北京·高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面

上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）．24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）

…………

小雨0.1~9.9

中雨10.0~24.9

大雨25.0~49.9

暴雨50.0~99.9

…………

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程

中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是

A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨

考點(diǎn)02三視圖

6．（2021·北京·高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

3333

A．+B．33C．3D．3+

2222

考點(diǎn)03線面角

7．（2025·北京·高考真題）如圖，在四棱錐PABCD中，ADC與BAC均為等腰直角三角形，

ADC90，BAC90，E為BC的中點(diǎn)．

(1)若F,G分別為PD,PE的中點(diǎn)，求證：FG//平面PAB；

(2)若PA平面ABCD，PAAC，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．

8．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1平面ABB1A1，

ABBC2，M，N分別為A1B1，AC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN∥平面BCC1B1；

(2)再從條件、條件這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．

條件：AB①M(fèi)N；②

條件①：BMMN．

注：如②果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

①②

考點(diǎn)04二面角

9．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐PABCD中，BC//AD，ABBC1，AD3,點(diǎn)E在AD上，

且PEAD，PEDE2．

(1)若F為線段PE中點(diǎn)，求證：BF//平面PCD．

(2)若AB平面PAD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．

10．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，PAABBC1，PC3．

(1)求證：BC平面PAB；

(2)求二面角APCB的大?。?/p>

11．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為A1D1中點(diǎn)，B1C1與平面CDE交于點(diǎn)F．

（1）求證：F為B1C1的中點(diǎn)；

5A1M

（2）點(diǎn)是棱AB上一點(diǎn)，且二面角MFCE的余弦值為，求的值．

M11AB

311

1．（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑結(jié)構(gòu)可以抽象為三棱錐PABC，PAPBPC43，底面

VABC是等腰直角三角形，且ABBC，頂點(diǎn)P到底面VABC的距離為6，則點(diǎn)B到平面PAC的距離為（）

A．22B．26C．23D．43

2．（2025·北京大興·三模）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)名著，書中記載了一類名為“羨除”的五面體．如

圖，在羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF平面ABCD，EF2，其余棱長都為1，則這個(gè)幾何

體的體積為（）∥

222

A．22B．2C．D．

33

3．（2025·北京·三模）已知平面,，直線l,m，則下面結(jié)論正確的是（）

A．若l,m//,m//，則m//l；

B．若l,m//l,m//，則m//；·

C．若,l,m，則m//；

D．若,l,ml，則m；

4．（2025·北京豐臺·二模）如圖，在棱臺ABCDABCD中，底面ABCD和ABCD為正方形，AB3,AB1，

側(cè)面均為等腰梯形，且側(cè)面與底面ABCD的夾角均為45，則該棱臺的表面積為（）

A．18B．1082C．1083D．34

5．（2025·北京·二模）設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，P為正方體表面上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線AA1的

距離與它到平面ABCD的距離相等，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線W，則曲線W的周長為（）

A．32B．22πC．62D．42π

6．（2025·北京朝陽·二模）金剛石是由碳元素組成的單質(zhì)，具有極高的硬度，在工業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，如圖

1所示，組成金剛石的每個(gè)碳原子都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度，可

以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D處，中間的碳原子處于與這4個(gè)碳原子距

離都相等的位置（點(diǎn)E處），如圖2所示，設(shè)AB=a，則E到平面ABD的距離為（）

3663

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)

69129

7．（2025·北京昌平·二模）廡殿頂是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，其頂蓋幾何模型如圖所示，底面ABCD

是矩形，側(cè)面由兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形組成．若BC10m，EF5m且四個(gè)側(cè)面與

底面的夾角的大小均相等，則AB（）．

A．12mB．15mC．20mD．40m

8．（2025·北京通州·一模）經(jīng)過科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，甲烷分子的結(jié)構(gòu)是正四面體結(jié)構(gòu)（圖1），碳原子位于正四面

體的中心（到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等），四個(gè)氫原子分別位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上，抽象成數(shù)學(xué)模型為正四面

體ABCD，O為正四面體的中心，如圖2所示，則角AOB的余弦值為（）

11116

A．B．C．D．

23326

9．（2025·北京房山·一模）如圖，將棱長為2的正方體六個(gè)面的中心連線，可得到八面體EABCDF，P

為棱BC上一點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．AE∥平面BCF

4

B．八面體EABCDF的體積為

3

C．EPFP的最小值為6

6

D．點(diǎn)A到平面BCF的距離為

2

10．（2025·北京東城·一模）祈年殿（圖1）是北京市的標(biāo)志性建筑之一?距今已有600多年歷史.殿內(nèi)部有垂

直于地面的28根木柱，分三圈環(huán)形均勻排列.內(nèi)圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根

約為13米的金柱，代表十二個(gè)月；外圈有12根約為6米的檐柱，象征十二個(gè)時(shí)辰.已知由一根龍井柱AA1和

兩根金柱BB1,CC1形成的幾何體ABCA1B1C1（圖2）中，ABAC8米，BAC144，則平面A1B1C1與

平面ABC所成角的正切值約為（）

4343

A．B．C．D．

3sin184sin183cos184cos18

11．（2025·北京海淀·三模）已知一個(gè)圓錐的軸截面是一個(gè)斜邊長為22的等腰直角三角形，則此圓錐的表

面積為．

12．（2025·北京·三模）如圖，已知棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M，N，P，Q分別在

，，

棱A1B1，C1D1，AD，BC上，且滿足MNA1B1，PQAD，設(shè).A1MmAPn給出下列四個(gè)結(jié)

論：

當(dāng)mn1時(shí)，則四面體MNPQ的表面積為8:

①存在m、n，使得四面體MNPQ的表面積為9；

②515

當(dāng)mn時(shí)，四面體MNPQ的體積為；

23

③

四面體.MNPQ的體積與m、n無關(guān).

④其中所有正確結(jié)論的序號為.

13．（2025·北京·二模）一個(gè)金屬模具的形狀，大小如圖所示，它是圓柱被挖去一個(gè)倒立的圓錐剩余的部分，

那么該模具的體積為．

14．（2025·北京東城·二模）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中討論了“垣”“塹”等建筑的體積問

題.某工程要完成一個(gè)形如直四棱柱ABCDA1B1C1D1的“塹”型溝渠的土方作業(yè)（如圖），其中AD，BC與平

π

面AA1B1B所成的角均為，AB//DC，AB4米，DC8米，AA120米，則需要挖土立方米.

3

15．（2025·北京海淀·二模）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，P、Q為上底面A1B1C1D1（包含

邊界）內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PQ1，PQ//AB．給出下面四個(gè)結(jié)論：

10

當(dāng)P與D重合時(shí)，五面體PQABCD的體積為；

13

①

記直線AA1分別與平面PAD和平面QBC所成角為、，則tantan的值不變；

②存在P、Q，使得DPBQ；

③存在P、Q，使得五面體PQABCD中，ABCD所在平面與其余四個(gè)面所在平面的四個(gè)夾角中，有三個(gè)彼

④此相等．

其中，所有正確結(jié)論的序號為．

16．（2025·北京·三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、E分別是C1D1、