27/273.2導數(shù)與函數(shù)的單調性目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01課標要求 202落實主干知識 3一、導數(shù)研究單調性 3常用二級結論 303探究核心題型 5題型一：不含參函數(shù)的單調性 5題型二：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——一次型 5題型三：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——含指對一次型 6題型四：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——可因式分解二次型 8題型五：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——不可因式分解二次型 9題型六：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——含指對二次型 10題型七：利用單調性比較大小或解不等式 12題型八：根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù) 1204好題賞析（一題多解） 1505數(shù)學思想方法 16①數(shù)形結合 16②轉化與化歸 16③分類討論 1606課時精練（真題、模擬題） 18基礎過關篇 18能力拓展篇 19

1、結合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.2、能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).3、會利用函數(shù)的單調性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡單應用.

一、導數(shù)研究單調性1、函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間內，①如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增②如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減③如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內為常數(shù)函數(shù)2、求單調區(qū)間的方法：①通過解不等式或(等號可要可不要)；②求，并可適當整理，盡量將整理成，，…，之積商的形式，借助數(shù)軸分段確定單調性，或直接觀察解析式得出單調性．注意：⑴寫單調區(qū)間時，正確表示方法是：多個單調區(qū)間之間用逗號隔開，絕對不能用符號“”．⑵若在某個區(qū)間上單調遞增，則；若在某個區(qū)間上單調遞減，則；⑶設，，且，那么①在是增函數(shù)恒成立②在是減函數(shù)恒成立常用二級結論1、含參數(shù)單調性討論第一步：求導化簡定義域(化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)第二步：變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)第三步：恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)第四步：然后再求有效根第五步：根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系)第六步：導數(shù)圖像定區(qū)間2、函數(shù)在區(qū)間內單調遞增(或遞減)，可得(或)在該區(qū)間恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要時還需對“＝”進行檢驗.3、若函數(shù)在內存在單調遞增區(qū)間，則當時，有解；若函數(shù)f(x)在(a,b)內存在單調遞減區(qū)間，則當時，有解.

題型一：不含參函數(shù)的單調性【典例1-1】（2025·湖北·模擬預測）下列函數(shù)在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知函數(shù).證明：在定義域內單調遞增.【解題總結】確定不含參數(shù)的函數(shù)的單調性，按照判斷函數(shù)單調性的步驟即可，但應注意兩點，一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.【變式1-1】函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C．， D．【變式1-2】（2025·高三·山西運城·開學考試）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2025·四川達州·一模）曲線在點處的切線平分圓，則函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．題型二：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——一次型【典例2-1】已知，函數(shù)，當時，討論函數(shù)的單調性.【典例2-2】已知函數(shù)，討論的單調性.【變式2-1】已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)設函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調性.【變式2-2】已知函數(shù)．(1)若，求的極小值；(2)討論導函數(shù)的單調性．【變式2-3】（2025·浙江紹興·三模）已知函數(shù)，．(1)若在處的切線方程為，求實數(shù)m的值；(2)討論的單調性.題型三：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——含指對一次型【典例3-1】已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，討論函數(shù)的單調性.【典例3-2】已知函數(shù)．討論的單調區(qū)間.【變式3-1】已知函數(shù).(1)若在處的切線斜率為，求切線方程.(2)求的單調區(qū)間.【變式3-2】設函數(shù)，．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間．【變式3-3】已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調區(qū)間．題型四：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——可因式分解二次型【典例4-1】已知函數(shù)，其中.(1)若函數(shù)的極小值為4，且在處取到極大值，求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的單調性.【典例4-2】已知函數(shù)，．(1)若在處的切線方程與直線垂直，求a的值并求函數(shù)在區(qū)間的最值；(2)若，試討論的單調性．【變式4-1】已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，討論函數(shù)的單調性.【變式4-2】（2025·江西南昌·模擬預測）已知函數(shù).(1)已知在取得極值，求a的值，(2)當時，討論的單調性；【變式4-3】已知函數(shù)，其導函數(shù)為．(1)設．①求的值；②求在上的最大值．(2)討論的單調性．【變式4-4】已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)的單調性．【變式4-5】已知函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性．題型五：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——不可因式分解二次型【典例5-1】（2025·高三·山西晉城·期末）設函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，討論的單調性．【典例5-2】已知函數(shù)．(1)當時，求的解集；(2)當時，求的單調區(qū)間．【變式5-1】已知函數(shù)．討論的單調性.【變式5-2】（2025·貴州黔東南·三模）設函數(shù)．(1)若，試求函數(shù)的極值；(2)設，討論的單調性．題型六：含參數(shù)的函數(shù)的單調性——含指對二次型【典例6-1】已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；(2)討論的單調性.【典例6-2】（2025·福建福州·模擬預測）已知函數(shù)，且.(1)求曲線的對稱中心；(2)證明：曲線在對稱中心處的切線不過坐標原點；(3)討論的單調性.參考數(shù)據(jù)：當時，.【變式6-1】（2025·湖北武漢·三模）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)討論的單調性.【變式6-2】已知函數(shù)．(1)若，求在點處的切線方程；(2)討論的單調性．【變式6-3】已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調區(qū)間【變式6-4】已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)討論的單調性．題型七：利用單調性比較大小或解不等式【典例7-1】（2025·高三·江蘇·期末）已知實數(shù)x，y滿足，則下列關系一定正確的是（

）A． B． C． D．【典例7-2】（2025·湖北武漢·三模）已知函數(shù)的定義域為，對任意的，均有，且，則下列結論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【變式7-1】定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，其導數(shù)為，且當時，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式7-2】已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式7-3】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域都是，若函數(shù)是偶函數(shù)，也是偶函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型八：根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)【典例8-1】（2025·陜西·模擬預測）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【典例8-2】已知函數(shù)，若對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則實數(shù)的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．2【解題總結】1、函數(shù)在區(qū)間內單調遞增(或遞減)，可得(或)在該區(qū)間恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要時還需對“＝”進行檢驗.2、若函數(shù)在內存在單調遞增區(qū)間，則當時，有解；若函數(shù)f(x)在(a,b)內存在單調遞減區(qū)間，則當時，有解.【變式8-1】已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-2】（2025·高三·山西·開學考試）函數(shù)（其中，且）是其定義域上的單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式8-3】已知函數(shù)在上存在單調遞減區(qū)間，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式8-4】（2025·高三·云南保山·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-5】（2025·河北·模擬預測）已知，，兩個函數(shù)圖象至少有一個在區(qū)間上不單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-6】（2025·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)在上存在單調遞減區(qū)間，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-7】若函數(shù)在區(qū)間內存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-8】已知函數(shù)在內單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-9】函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，則（

）A．6 B．3 C．2 D．0

1．已知，則

A． B． C． D．2．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）設，則（

）A． B． C． D．

①數(shù)形結合1．已知函數(shù)，，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．2．已知，，，則（

）A． B． C． D．3．若為R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．②轉化與化歸4．已知，x，，且，則下列關系式恒成立的為

A． B． C． D．5．若函數(shù)在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是

A． B． C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)k的取值范圍是A． B． C． D．③分類討論7．已知函數(shù)在R上單調遞增，則的最小值為（

）A．0 B．1 C． D．e8．若函數(shù)是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)在上不單調，則a的取值范圍是

A． B． C． D．

基礎過關篇1．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是.3．（2025·上海黃浦·三模）若、，則“”成立是“”成立的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．（2025·四川眉山·模擬預測）函數(shù)在區(qū)間上單調遞減的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．5．（2025·北京海淀·三模）下列函數(shù)中，在上時單調遞增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．6．（2025·湖南長沙·二模）已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2025·四川瀘州·模擬預測）若實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．8．（2025·江西新余·模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．9．（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知、，且，則（

）A． B．C． D．無法確定、的大小10．（2025·江西萍鄉(xiāng)·三模）記，為實數(shù)，設甲：；乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（多選題）（2025·湖北恩施·模擬預測）下列不等關系中，正確的是（

）A． B．C． D．12．（多選題）（2025·海南·模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．點是函數(shù)圖象的對稱中心 B．是函數(shù)的極小值點C．當時， D．當時，13．（多選題）（2025·湖南長沙·三模）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于軸對稱 B．函數(shù)的最小值為2，無最大值C．函數(shù)在上單調遞增 D．不等式的解集為14．（2025·山東泰安·模擬預測）已知函數(shù)既有極大值又有極小值，且在區(qū)間上單調，則的取值范圍是.15．（2025·山西·模擬預測）若函數(shù)在區(qū)間單調遞增，則的取值范圍是.16．（2025·江蘇蘇州·三模）若在上不單調，則實數(shù)的取值范圍是．17．（2025·甘肅定西·模擬預測）若過點只有一條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍為.18．（2025·江蘇·一模）若在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為．19．（2025·青海西寧·模擬預測）已知x，y為正實數(shù)，，則的取值范圍是．能力拓展篇20．已知，則的大小關系為.21．在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖像，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.若函數(shù)為“函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是.22．（2025·江西南昌·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)為增函數(shù)，求的值；23．在平面直角坐標系中，如果