③應特別注意自然數列、正奇數列、正偶數列、自然數的平方、與有關的數列、等差數列、等比數列以及由它們組成的數列．【變式1】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數，他們根據沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦捣殖稍S多類，如圖中第一行的，，，稱為三角形數，第二行的，，，稱為正方形數，第三行的，，，稱為五邊形數.則正方形數、五邊形數所構成的數列的第項分別為（

）

A．， B．， C．， D．，【變式2】將正整數如圖排列，第行有個數，從1開始作如下運動，先從左往下碰到2，記為，再從開始從右往下碰到5，記為，接著從開始，從左往下碰到8，記為.依此類推，按左右左右往下，碰到的數分別記為，構成數列.則（

）

A．59 B．60 C．61 D．62【變式3】“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，從第三行起，每一行的第三個數，，，，，構成數列，其前項和為，則（

）A． B． C． D．題型二：累加法【例題3】（湖北省重點高中智學聯(lián)盟2024-2025學年高三10月聯(lián)考數學試卷）若對任意正實數，都有，，且有，下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【例題4】已知數列首項，，則使得成立的最大正整數n是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【解題總結】數列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為，利用疊加法求和.【變式4】記為數列的前項積，且，則（

）A． B． C． D．【變式5】（2025·四川綿陽·模擬預測）已知數列滿足，，則等于（

）A． B．C． D．【變式6】數列滿足：，，則（

）A． B． C． D．題型三：累乘法【例題5】（2025·全國·模擬預測）數列遞推指的是通過數列第項與前幾項或者后幾項的關系，計算出數列的任一項．若數列滿足，則（

）A． B． C． D．【例題6】在數列中，，則（

）A． B． C．2025 D．5050【解題總結】數列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式變形為，利用疊乘法求出通項公式.【變式7】數列滿足，，數列的前n項和為（

）A． B．C． D．【變式8】若數列滿足，則（

）A．2 B．6 C．12 D．20【變式9】在數列中，若，且對任意有，則數列的前30項和為（

）A． B．C． D．題型四：利用與的關系之消【例題7】已知正項數列的前n項和為，，，則．【例題8】設數列的前n項和為，若，則【解題總結】消：容易直接求的情況，可利用，消去，轉化為等差或等比數列直接求出【變式10】已知數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【變式11】記為數列的前項和，已知．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．【變式12】（2025·遼寧·模擬預測）已知數列，為數列的前項和，且滿足，．(1)求的通項公式：(2)證明：．【變式13】設為數列的前n項和，且.(1)求；(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍.【變式14】已知正項數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，記數列的前n項和為，求.題型五：利用與的關系之消【例題9】記數列的前n項和為，已知，．(1)令，證明：為等比數列；(2)求的通項公式．【例題10】已知正項數列的前項和為，且.(1)求；(2)證明是等差數列，并求的通項公式；(3)若，記數列的前項和為，求.【解題總結】消：難以直接求的情況，可利用，消去，得出與的遞推關系式，先求出后，從而間接求出【變式15】已知在數列中，，其前項和與滿足．(1)求證：為等差數列；(2)求的通項公式．【變式16】已知數列的前項和為，且滿足，，求及.【變式17】若數列的前n項和為，且滿足．(1)求證：是等差數列；(2)求數列的通項公式題型六：一階線性遞推型【例題11】數列中，，，則通項．【例題12】已知數列中，，，則．【解題總結】①待定系數法，令，化簡整理后與原來的遞推式比較系數可知，于是，故數列是以為首項，以為公比的等比數列.②由得，（）兩式相減，得，當時，數列是公比為的等比數列．【變式18】已知數列中，，當時，，則的通項公式為．【變式19】設數列滿足，且，則數列的通項公式為.【變式20】若數列的首項，且滿足，則數列的通項公式為.【變式21】已知數列滿足，求數列的通項公式.【變式22】在數列中，，則．題型七：一階線性遞推型【例題13】已知，當時，，則的通項公式為【例題14】已知數列滿足，則．【解題總結】待定系數法，令，化簡整理后與已知遞推式比較系數得，解得,從而轉化為是公比為的等比數列.【變式23】已知數列中，，，，為數列的前項和，則數列的通項公式；.【變式24】已知在數列中，，，則通項．【變式25】已知數列滿足，且，，則數列的通項公式為.題型八：含指數冪型遞推關系式【例題15】已知數列滿足，且，則數列的通項公式為．【例題16】數列滿足，則數列的通項公式為．【解題總結】待定系數法，令，化簡整理得，與原遞推關系式比較系數可得，解得.對于，同理可得．【變式26】（2025·高三·廣東廣州·期末）已知數列滿足，，，則數列的通項公式為．【變式27】（2025·云南·二模）記數列的前項和為，若，則.【變式28】已知數列的首項為，且滿足，則．題型九：分式型遞推關系式.【例題17】（2025·江蘇南京·模擬預測）已知數列滿足，則數列的通項公式為．【例題18】已知數列滿足，且，則數列的通項公式為．【解題總結】取倒數+待定系數，兩邊取倒數可得：，當時，可轉化為題型一中結構，再待定系數構造等比數列即可.【變式29】已知數列滿足，則數列的前8項和．【變式30】已知數列滿足，則的通項公式為.【變式31】已知數列，則數列的通項公式．【變式32】已知數列滿足，，，則.題型十：平方式遞推型【例題19】（2024·高三·河北·開學考試）已知數列滿足，且，則；令，若的前n項和為，則．【例題20】已知數列滿足，.證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；【解題總結】取對數法，當數列和的遞推關系涉及到高次時，一般先對已知遞推關系式進行適當的變形（同加減、同乘除）整理成類似形式，將等式兩邊分別取對數降次得到，數列即為等比數列.題型十一：二階線性遞推關系（）【例題21】（2025·云南昆明·模擬預測）設為數列的前n項和，當時，，已知，，．(1)證明：數列為等比數列；(2)求數列的通項公式；(3)求．【例題22】已知數列中，，求．【解題總結】找到中間項，通過中間項與前一項和后一項的特征，尋求合理的構造方式解決問題．【變式33】設為數列的前n項和，．(1)求；(2)證明：（i）；（ii）；(3)求的通項公式．【變式34】在數列中，，且對任意的，都有，求數列的通項公式；【變式35】已知數列滿足，且，.求數列的通項公式；題型十二：隔項等差型【例題23】已知為數列的前n項和，，且，，其中為常數.(1)求證：數列為等差數列；(2)是否存在，使得是等差數列？并說明理由.【例題24】已知數列的前項和為，，其中為常數．（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數列？并說明理由．【解題總結】分奇偶討論法【變式36】已知數列的前n項和為，，，，其中為常數．(1)證明：；(2)是否存在，使得為等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【變式37】已知數列的前項和為，其中為常數．（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數列？并說明理由．題型十三：隔項等比型【例題25】已知數列滿足，，求此數列的通項公式．【解題總結】分奇偶討論法題型十四：型【例題26】已知數列中，，求．【變式38】（2025·湖南益陽·一模）已知數列中，，，若，則數列的前項和.【解題總結】用待定系數法．【變式39】已知數列滿足，，則．題型十五：利用遞推關系求通項【例題27】一樓梯有10級臺階，一個人每步可以走1級或2級臺階，則走完這10級臺階共有多少種不同的走法？【例題28】（2025·河南信陽·模擬預測）3位同學做某種游戲，通過猜拳決定勝利者.3人每次猜拳都可以出“石頭”“剪刀”“布”中的任意一種，其中“石頭”贏“剪刀”，“剪刀”贏“布”，“布”贏“石頭”.例如，當1人出“剪刀”，另外2人出“布”時，出“剪刀”的人即為勝利者；而當1人出“剪刀”，另外2人分別出“布”和“石頭”時，無法決定勝利者，猜拳繼續(xù)進行；當1人出“剪刀”，另外2人出“石頭”時，淘汰掉出“剪刀”的人，剩余2人繼續(xù)猜拳，贏的人為勝利者.(1)記第一回猜拳時出“石頭”的人數為，求的分布列與數學期望；(2)求在第回猜拳決出勝利者的概率.【解題總結】通過相鄰兩項的關系遞推．【變式40】將一個圓環(huán)分成個區(qū)域，用種顏色對這些區(qū)域進行涂色，要求相鄰區(qū)域顏色不同，求不同的涂色方法數【變式41】某校杰出校友為回報母校，設立了教育基金，有A和B兩種方案.方案A是在每年校慶日這天向基金賬戶存入100萬元.當天舉辦儀式獎勵優(yōu)秀的教師和品學兼優(yōu)的學生共計40萬元，剩余資金用于投資，預計可實現10%的年收益.方案B是今年校慶日一次性給基金賬戶存入1000萬元，校慶日獎勵為第一年獎40萬，每年增加10萬，余下資金同樣進行年化10%收益的投資.設表示第年校慶后基金賬戶上的資金數（萬元）.(1)對于A、B兩種方案，分別寫出，及與的遞推關系；(2)按兩種方案基金連續(xù)運作10年后，求基金賬戶上資金數額.（精確到萬，參考數據：，）【變式42】（2025·高三·黑龍江·期中）某次生日會上，餐桌上有一個披薩餅，小華同學準備用刀切的方式分給在座的小伙伴，由此思考一個數學問題：假設披薩近似可看成平面上的一個圓，第條切痕看作直線，設切下，最多能切出的塊數為（不考慮大小），如圖易知，．(1)試寫出，，作出對應簡圖；(2)這是一個平面幾何問題，利用“降維”思想，聯(lián)想到一條線段被切下最多能分成段，由此求出數列的通項公式；(3)若將披薩換成一個蛋糕（近似看成空間中的一個圓柱體），同樣用刀切方式分蛋糕，可以從上下底面和側面各方向切入，每次切面都看作一個平面．若切下，最多能切出的塊數為，求出的通項公式，并指出這時最少需要切幾下能分成15塊（不考慮大?。ㄒ阎╊}型十六：雙數列問題【例題29】已知數列，滿足：，，，，.（1）證明：數列為等差數列，數列為等比數列；（2）記數列的前n項和為，求及使得的n的取值范圍.【例題30】已知數列、滿足，，，，且，.(1)求證：是等比數列；(2)若是遞增數列，求實數的取值范圍.【解題總結】消元法．題型十七：斐波那契數列問題【例題31】（多選題）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現有這樣的一列數：，，該數列的特點是：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和．人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列．并將數列中的各項除以4所得余數按原順序構成的數列記為，則下列結論正確的是（

）A．的最小值為 B．C． D．【例題32】（多選題）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，….該數列的特點是前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前面相鄰兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”.若記此數列為，有，，前n項和為，則下列對“斐波那契數列”的描述正確的是（

）A． B．該數列的前2025項中能被3整除的有506項C． D．【解題總結】定義：一個數列，前兩項都為1，從第三項起，每一項都是前兩項之和，那么這個數列稱為斐波那契數列．遞推公式：；通項公式：．（又叫“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個范例）．【變式43】（多選題）（2025·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）1202年，斐波那契從“兔子繁殖問題”得到斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，，該數列的特點是前兩項為1，從第三項起，每一項都等于它前面兩項的和.記為該數列的前n項和，則下列結論正確的有（

）A． B．為奇數C． D．【變式44】（多選題）自然界中存在很多美到極致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我們把這些螺旋稱為“斐波那契螺旋”.它按如圖所示的規(guī)律形成連續(xù)不斷的弧線，借助正方形的邊長形成數列“1，1，2，3，5，8，……”，即從數列第三項開始，每項都等于前面兩項之和.設該數列為，則（），記是數列的前項和，是數列的前項和，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．若，則【變式45】（多選題）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多.斐波那契以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數列”，在數學上斐波那契數列以的遞推方法定義，已知，，則（

）A． B．C． D．【變式46】（多選題）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數列的特點如下：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，現將中的各項除以2所得的余數按原來的順序排列，構成的數列記為，數列的前項和為，數列的前項和為，下列說法正確的是（

）A． B．若，則C． D．

1．已知整數數列滿足，，則（

）A． B． C． D．2．在數列中，，N，則該數列通項公式為

A． B． C． D．3．在數列中，，，則

A． B． C． D．

①數形結合1．在宋代《營造法式》一書中，記載著我國古代一項兼具屋面排水與檐下采光，且美觀好看的建筑技術——舉折，其使屋面呈一條凹形優(yōu)美的曲線，近似物理學中的最速曲線．如圖，“舉”是屋架BC的高度h，點是屋寬AB的五等分點，連接AC，在處下“折”安置第一榑，連接，在處下“折”安置第一榑，依次類推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，則第四榑的高度為

A． B． C． D．2．已知數列滿足，若，則

A．3 B．8 C．6 D．103．記為數列的前n項和，若，且的值為1，2，3的可能性相同，則是奇數的概率為

A． B． C． D．②轉化與化歸4．已知函數，數列滿足，，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知數列滿足，則下列說法正確的是（

）A．所有項恒大于等于B．若，則是單調遞增數列C．若是常數列，則D．若，則是單調遞增數列③分類討論6．數列的前n項和為，的前n項和為，，則數列（

）A．有最大項也有最小項 B．無最大項也無最小項C．有最小項但無最大項 D．有最大項但無最小項7．數列的前n項和為，滿足，，則可能的不同取值的個數為（

）A．45 B．46 C．90 D．918．在數列中，，且，若，則的值可能為

A．8 B．2 C．2或8 D．1或8

基礎過關篇1．（多選題）數列的通項公式可以是（

）A． B．C． D．2．已知數列的前項和為，且滿足，則.3．已知數列的前項和，則的通項公式.4．若數列滿足，則數列的通項公式.5．已知數列的前n項和，則.6．已知數列滿足，，則．7．如圖數表滿足：（1）第行首尾兩數均為；（2）表中遞推關系類似楊輝三角，下一行除首尾兩數外，每一個數都是肩上兩數之和．記第行第2個數為，根據數表中上下兩行數據關系，可以得到遞推關系，并可解得通項．

8．記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．9．設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．10．記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．11．記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．12．已知數列的前項和為，解決下列問題.(1)若通項公式為，求其前項和；(2)若前項和，求其通項公式；13．已知，，求數列的通項．14．在數列中，，，求數列的通項公式.15．記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．(1)證明：數列為等比數列；(2)求的通項公式．16．記為數列的前項和．已知．證明：是等比數列．17．已知在數列中，且，求通項公式．18．已知，，求數列的通項．19．已知在數列中，，前項和為，若，求數列的通項．20．在下列條件下，求數列的通項公式：(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，求；(4)若，，求；(5)若，，求；(6)若，，求；(7)若，，求；(8)若，，求；(9)若，，求；(10)若，，求；(11)若，，求；(12)若，，求；(13)若，，求；(14)若，，求；(15)若，，求．能力拓展篇1．（2025·上海金山·三模）對于數列，若存在常數，對任意的，都有不等式成立，則稱數列具有性質．給出下列兩個結論：①若數列和均具有性質，則數列也具有性質②若數列和均具有性質，則數列也具有性質．則下列判斷正確的是（

）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題2．（2025·浙江嘉興·一模）已知數列的前項和為，則（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·北京·開學考試）已知無窮等比數列的前n項和為，則“”是“既無最大值也無最小值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2025·江西新余·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．已知，則且B．命題“”是真命題C．是的充分條件，則D．若等比數列的通項公式為，則其前項和5．（2025·全國·模擬預測）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1所示．通過觀察發(fā)現，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度為60°），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半，于是該組同學將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數學模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關于所在直線對稱，．若，為保證黏菌在繁殖過程中不會碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑（，單位：cm）至少為（

）A．7 B．8 C．9 D．106．（多選題）（25-26高三上·湖南·開學考試）已知是遞增的等比數列，其前項和為，若，則（）A．B．C．D．是等比數列7．（多選題）（2025·廣東·模擬預測）記為數列的前項和，若，則（

）A．的最