PAGE28培優(yōu)點(diǎn)1ω的范圍與最值問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 5題型一：單調(diào)性 5題型二：最值 7題型三：極值 8題型四：零點(diǎn) 11題型五：對稱性 13題型六：綜合問題 1504課時(shí)精練 19

在高考數(shù)學(xué)里，ω的范圍與最值問題屬高頻考點(diǎn)，常于選擇、填空題中出現(xiàn)，難度中等或偏高。主要關(guān)聯(lián)三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、最值、周期性及零點(diǎn)等性質(zhì)?？忌璋盐掌湓趫D象與性質(zhì)及伸縮平移變換里的知識，結(jié)合性質(zhì)構(gòu)建不等式（組）求解。

1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)2、在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)同理在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)3、在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)同理在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)4、已知一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．5、已知單調(diào)區(qū)間，則.

題型一：單調(diào)性【例題1】（2025·高三·北京平谷·開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是【答案】【解析】由題意可知，，則，因，則，又，所以，，因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，得，故ω的取值范圍是.故答案為：【例題2】已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性得，解得，的取值范圍為．故答案為：.【變式1】已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是．【答案】【解析】令，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，，又因?yàn)?所以，可得的取值范圍是．故答案為：．【變式2】已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值個(gè)數(shù)為．【答案】4【解析】，不妨先取，，，令，則在上單調(diào)遞減，所以，解得，，又，所以，又，所以可以為2，3，4，10共4個(gè)取值故答案為：4.題型二：最值【例題3】函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，，所以所以，所以.故選：B【例題4】函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則ω的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，，所以最小正周期滿足所以，所以有：，故選：B【變式3】已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為-3，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，，則有，解得；當(dāng)時(shí)，，則有，解得，的取值范圍是.故選：D題型三：極值【例題5】（2025·高三·廣東肇慶·開學(xué)考試）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且、分別為函數(shù)、的零點(diǎn)，若函數(shù)在上無極值，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】由題知，，，，所以，解得①，因?yàn)楹瘮?shù)在上無極值，所以，解得②，由①②可知，或6，當(dāng)時(shí)，可得，則，令，則，滿足在上無極值；當(dāng)時(shí)，可得，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，不滿足在上無極值，故.故選：A.【例題6】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間存在4個(gè)零點(diǎn)與3個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B．在沒有最小值C．可能是的最小正周期 D．在單調(diào)遞減【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，令，畫出的圖象，如圖，結(jié)合題意可得，解得，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，又，所以，則當(dāng)時(shí)，在沒有最小值，當(dāng)時(shí)，在有最小值－2，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，C正確；易知當(dāng)時(shí)，，又由得，故在單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤．故選：C【變式4】（2025·高三·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù)僅存在一個(gè)極值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)為的最小正周期，由題意可知，，即，解得，由得，，，由得，，又，所以，，由余弦函數(shù)的圖象可知，兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間必有一條對稱軸，即存在一個(gè)極值點(diǎn).由題意或，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式5】（2025·高三·廣西南寧·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有2個(gè)零點(diǎn)、2個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有2個(gè)極值點(diǎn)，所以.綜上.故選：C題型四：零點(diǎn)【例題7】已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】由得，令，則．令，則在區(qū)間上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．結(jié)合正弦函數(shù)的圖象（如圖）與性質(zhì)，可得，解得．故答案為：.【例題8】已知函數(shù)在區(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以的取值范圍是.故選：C【變式6】（2025·高三·河北石家莊·期中）已知函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，令，即，；又因?yàn)?，所以，令，有，則問題轉(zhuǎn)化為，如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，解得.故選：C.【變式7】已知，滿足，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：函數(shù)的最小正周期，因?yàn)?，則為函數(shù)的對稱軸，則函數(shù)在之后的零點(diǎn)依次為，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：D.題型五：對稱性【例題9】將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】由題意，函數(shù)的一條對稱軸為：.由，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，為.故選：B【例題10】已知，（），若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對稱軸，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)化簡得，由，可得函數(shù)的對稱軸為，由題意知，且，即，，若使該不等式組有解，則需滿足，即，又，故，即，所以，又，所以或，所以．【變式8】（2025·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由題意，，得，當(dāng)時(shí)，，故選：B.【變式9】設(shè)函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有三條對稱軸、兩個(gè)對稱中心，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?的部分圖象如圖所示，要使函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有三條對稱軸、兩個(gè)對稱中心，則，解得，即.故選：C.【變式10】（2025·河北·一模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對稱，可得，解得，又因?yàn)?，所以的最小值?故選：B.題型六：綜合問題【例題11】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù)（且在上單調(diào)，且，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值最準(zhǔn)確的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，而，,即的一個(gè)對稱中心為，故；而，故在區(qū)間上單調(diào)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，則；函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則恰好為第一個(gè)零點(diǎn)，相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間相距半個(gè)周期，故，即，解得，結(jié)合，可得的取值范圍為，故選：B.【例題12】已知函數(shù)，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以時(shí)，取得最值,是圖象的對稱中心，則，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．故答案為：.【變式11】已知函數(shù)在單調(diào)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，直線是圖象的一條對稱軸，則ω的最大值為（

）A．18 B．17 C．14 D．13【答案】D【解析】由題意得，所以.又，所以，所以.因?yàn)樵趩握{(diào)，所以，即.結(jié)合得，解得.①當(dāng)，即時(shí)，，所以，.因?yàn)?，所以，此時(shí).當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上不單調(diào)，所以不符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，所以，.因?yàn)椋?，此時(shí).當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上不單調(diào)，所以不符合題意；③當(dāng)，即時(shí)，，所以，.因?yàn)?，所以，此時(shí).當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以符合題意.綜上，的最大值為13.故選：D.【變式12】已知函數(shù)，若，，且在沒有零點(diǎn)，則所有滿足條件的ω的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得即，，，得，，，即，．由，得，要使在無零點(diǎn)，則，，即得，又，所以，又，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即的取值集合為，故所有滿足條件的的和為．故選：B.

1．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴時(shí)，，∵在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，令，結(jié)合圖象，∴，解得．故選：B．2．（2025·高三·浙江杭州·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，若在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，且，所以，可得，所以，當(dāng)，則，依題在上無零點(diǎn)，則在上恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，使得的最小值為，所以要使在上恒成立，需滿足，解得又，故得.故選：A3．設(shè)函數(shù)，若，滿足，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】，且，，分別為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，又，，，整理得，又，，，整理得，，又，的最小值為4.故選：B4．已知函數(shù)在區(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，由題意函數(shù)在區(qū)間上恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，結(jié)合解得，即的取值范圍是.故選：C5．已知函數(shù)，若存在，使得為奇函數(shù)，則ω的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知為奇函數(shù)，則，所以，解得或，若，則為奇函數(shù)，而，矛盾；故，則為奇函數(shù)，只需為偶函數(shù)，所以，，即，，則當(dāng)時(shí)，的最小值為．故選：B6．（2025·高三·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且，則，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，注意到，則，解得，所以的最大值為1.故選：C.7．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像，若在單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)為，再將所得函數(shù)圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像.所以，令，，解得，，又在單調(diào)遞增，所以，且，解得且，又，解得，.故選：C.8．已知，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象，從而，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，即，，解得，故當(dāng)時(shí)，取最小值．故選：C.9．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，，又，則，如圖，要使恰有4個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象需滿足，解得．故選：D.10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是．【答案】【解析】，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，，又在區(qū)間上恰好取得一次最大值，所以，綜上，.故答案為：.11．已知函數(shù)在區(qū)間上有定義，且其圖象在區(qū)間上至少有兩個(gè)對稱中心，則的取值范圍為.【答案】【解析】當(dāng)，，若函數(shù)（）在區(qū)間上有定義，則，解得，函數(shù)的對稱中心滿足，，整理得，，其圖象在區(qū)間上至少有兩個(gè)對稱中心，則在區(qū)間上至少有兩解，整理得至少存在兩個(gè)值使，，故至少有兩個(gè)取值，所以，綜上，的取值范圍為.故答案為:.12．已知，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為．【答案】【解析】由題，可得為函數(shù)的最小值，為的最大值，所以，則，又，，得，由，所以當(dāng)時(shí)，為最小值.故答案為：.13．已知函數(shù)，若的最小正周期為，則；若存在，使得，則的最小值為.【答案】4【解析】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，又因?yàn)?，所?若存在，使得，因?yàn)檎液瘮?shù)的值域?yàn)?，所以和必然一個(gè)為1，另一個(gè)為.因?yàn)?，所以，要使在上能取?和，也就是至少包含半個(gè)周期長度，并且能取到最值點(diǎn)，所以，解得，所以的最小值為.故答案為：4；14．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【解析】，又函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：.15．若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍為.【答案】【解析】由，則，的值域?yàn)?，則，解得.故答案為：.16．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?由題意：，即.由.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)，結(jié)合的圖象，可得：或，解得：或.故答案為：.17．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】，則.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)，根據(jù)正弦曲線的伸縮變化的特點(diǎn)，當(dāng)滿足條件且取最大值時(shí)，一定是的一個(gè)最值點(diǎn)，令，得.從往左數(shù)4個(gè)最值點(diǎn)依次為，，，，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：18．已知，，，函數(shù)的最小正周期為．若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/0.5【解析】因?yàn)椋?，所以，又，所以，又為的零點(diǎn)，即，所以，解得，又，所以當(dāng)取得最小值，此時(shí).故答案為：.19．已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)椋?，又函?shù)在上的值域?yàn)?，若，由余弦函?shù)圖象可知，存在，使，不合題意，所以，由，得