PAGE培優(yōu)點(diǎn)14導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 4題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)個(gè)數(shù) 4題型二：利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍 5題型三：隱零點(diǎn)問(wèn)題 6題型四：零點(diǎn)賦值問(wèn)題 7題型五：零點(diǎn)差問(wèn)題 8題型六：max與min的零點(diǎn)問(wèn)題 1004課時(shí)精練 12

導(dǎo)數(shù)在深入探究函數(shù)的單調(diào)特性、極值以及最值等關(guān)鍵性質(zhì)時(shí)，發(fā)揮著不可或缺的作用。而要有效運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決這些問(wèn)題，一個(gè)核心要素便是精準(zhǔn)把握函數(shù)的零點(diǎn)。具體而言，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的出現(xiàn)，往往標(biāo)志著原函數(shù)單調(diào)性發(fā)生變化的臨界點(diǎn)，或是原函數(shù)取得極值的點(diǎn)，甚至可能是最值的所在點(diǎn)。因此，牢牢抓住函數(shù)的零點(diǎn)，就等于掌握了解決導(dǎo)數(shù)相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵鑰匙。零點(diǎn)問(wèn)題，作為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的一個(gè)重要方面，主要涵蓋以下四大類別：1、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定問(wèn)題；2、函數(shù)零點(diǎn)所在范圍的確定問(wèn)題；3、隱零點(diǎn)（即不易直接求解的零點(diǎn)）的處理問(wèn)題；4、分段函數(shù)零點(diǎn)的分析與求解問(wèn)題。

1、解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題常用的方法主要有以下三種：(1)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.(3)將進(jìn)行參變分離，轉(zhuǎn)化為的形式；有時(shí)為了避免出現(xiàn)“斷點(diǎn)”，可以考慮“倒數(shù)分參”.2、解決含參數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用的方法主要有以下三種：(1)分離參數(shù)法：分離之后函數(shù)無(wú)參數(shù)，則可得到函數(shù)的圖象，然后上下移動(dòng)參數(shù)的值，觀察直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.(2)隔離構(gòu)造函數(shù)法：將一個(gè)函數(shù)分成兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)為容易求導(dǎo)的不含參函數(shù)，另一個(gè)為圖象是一條直線的含參函數(shù)，觀察它們圖象的變化趨勢(shì)，找到臨界的位置，易求得參數(shù)的取值范圍.(3)直接構(gòu)造法：直接研究函數(shù)f(x)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而求出參數(shù)的取值范圍.

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)【典例1-1】（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)求的極值；(2)討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【典例1-2】（2025·山東淄博·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷有無(wú)極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并給出證明.【變式1-1】（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知為奇函數(shù).(1)求a的值；(2)解不等式：；(3)證明：函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).【變式1-2】（2025·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，直線.(1)若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值；(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).題型二：利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【典例2-1】已知函數(shù).(1)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)有3個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【典例2-2】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【變式2-1】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù).（i）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（ii）若函數(shù)的圖象與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式2-2】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型三：隱零點(diǎn)問(wèn)題【典例3-1】（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【典例3-2】已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若在區(qū)間上存在零點(diǎn)求a的取值范圍；【變式3-1】（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）(1)證明：在上恒成立.(2)若，證明：函數(shù)在上恰有1個(gè)零點(diǎn).(3)試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【變式3-2】（2025·重慶·三模）已知函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【變式3-3】（2025·上?！と＃┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：恒成立.(3)函數(shù)圖像上存在多少組關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)對(duì)？說(shuō)明你的結(jié)論和理由.題型四：零點(diǎn)賦值問(wèn)題【典例4-1】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有2個(gè)零點(diǎn)．【典例4-2】（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.(1)求a，b的值；(2)①求證：只有一個(gè)零點(diǎn)；②記的零點(diǎn)為，曲線在處的切線l與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，若，求u的取值范圍.【變式4-1】（2025·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）記較小的一個(gè)零點(diǎn)為，證明：.【變式4-2】（2025·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，設(shè)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(3)證明：對(duì)小于的實(shí)數(shù)，若關(guān)于方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則.題型五：零點(diǎn)差問(wèn)題【典例5-1】（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為．(1)求的值．(2)求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(3)證明：在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，且．【典例5-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)根和，求證：．【變式5-1】（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設(shè)r是的根，首先選取作為r的初始近似值，若在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，稱是r的一次近似值；用替代重復(fù)上面的過(guò)程，得到，稱是r的二次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．(1)若，當(dāng)時(shí)，求方程的二次近似值（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(2)牛頓法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線，并證明：；(3)若，若關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別為，證明：．【變式5-2】（2025·河南南陽(yáng)·一模）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是，且，證明：①隨著的增大而減??；②.【變式5-3】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：；(3)求證：．題型六：max與min的零點(diǎn)問(wèn)題【典例6-1】（2025·高三·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)若曲線與曲線在處的切線平行，求實(shí)數(shù)的值；(2)定義，記函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【典例6-2】（2025·河南·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)．（?。┯帽硎緈，n的最大值，證明：；（ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-1】已知函數(shù).(1)若是的極大值點(diǎn)，求的值；(2)用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，試討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).注：若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【變式6-2】（2025·浙江·二模）定義，已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求過(guò)原點(diǎn)的切線方程；(2)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

1．（2025·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).2．已知函數(shù).若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函數(shù)．(1)若，討論函數(shù)在的單調(diào)性；(2)若在上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最小值．4．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)時(shí)，求在處的切線．(2)求函數(shù)的極值；(3)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．5．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．6．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(3)討論函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．7．（2025·浙江嘉興·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，存在，使得，求證：；(3)當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并作出證明．8．已知函數(shù)．(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)探究的零點(diǎn)個(gè)數(shù).9．（2025·廣東廣州·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求與相切，且垂直于直線的直線方程；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．11．（2025·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若為上的單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；(2)若函數(shù)，求證：k可以取無(wú)數(shù)個(gè)值，使得每一個(gè)的取值都恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).12．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，曲線在處的切線斜率為0．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．13．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)已知方程恰有3個(gè)實(shí)根，求的值．14．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且不是的極值點(diǎn).(1)求a的值；(2)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).15．（2025·重慶九龍坡·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值;(2)設(shè)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.16．已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)記，證明：在上，當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象上方.17．（2025·山東·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．18．（2025·甘肅白銀·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，若直線過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切，求的方程.(2)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.19．（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)于有如下甲、乙兩個(gè)命題：甲：是方程的根；乙：是方程的根.(1)求證：甲是乙的充分必要條件；(2)設(shè)，若，方程有唯一實(shí)數(shù)根，求的值.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線；(