2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——在生物學(xué)中應(yīng)用微積分考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.某種細(xì)菌的種群數(shù)量N(t)（t表示時間）的增長速率與當(dāng)時的種群數(shù)量成正比，比例常數(shù)為k（k>0）。若初始時刻（t=0）種群數(shù)量為N?，則以下能描述該細(xì)菌種群增長過程的函數(shù)是：(A)N(t)=N?e^(-kt)(B)N(t)=N?e^(kt)(C)N(t)=N?+kt(D)N(t)=k/t*N?2.如果一個生物學(xué)實驗中，細(xì)胞內(nèi)某種物質(zhì)的濃度C隨時間t的變化率dC/dt與該物質(zhì)濃度C本身成正比，比例常數(shù)為負(fù)值(-k,k>0)，則該物質(zhì)濃度C隨時間t的變化趨勢是：(A)持續(xù)增加(B)持續(xù)減少(C)先增加后減少(D)先減少后增加3.已知一個捕食者-獵物系統(tǒng)的相互作用強(qiáng)度隨時間周期性變化，其強(qiáng)度函數(shù)I(t)=sin(πt/12)，其中t以月為單位。則該系統(tǒng)在一年（12個月）內(nèi)，相互作用強(qiáng)度的平均強(qiáng)度最接近于：(A)0(B)1/π(C)2/π(D)14.在研究藥物在體內(nèi)的清除過程時，常用房室模型。若一個藥物的濃度C(t)隨時間t的衰減速率（負(fù)的導(dǎo)數(shù)-dC/dt）與當(dāng)時的藥物濃度成正比，比例常數(shù)為k（k>0），則藥物濃度衰減到初始濃度的一半所需的時間（半衰期）T與k的關(guān)系是：(A)T=ln(2)/k(B)T=k/ln(2)(C)T=1/(kln(2))(D)T=1/k5.若函數(shù)f(x)表示某生物體在時刻x的瞬時生長速率，則定積分∫[a,b]f(x)dx的生物學(xué)含義可以是：(A)該生物體在時刻x=b的瞬時生長速率(B)該生物體從時刻a到時刻b的瞬時生長總量(C)該生物體從時刻a到時刻b的平均生長速率(D)該生物體在時刻a到時刻b的生長速率變化量二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。）6.如果一個種群的數(shù)量N(t)遵循邏輯斯蒂增長模型N'(t)=rN(t)(1-N(t)/K)，其中r為內(nèi)稟增長率，K為環(huán)境容納量，當(dāng)種群數(shù)量N(t)小于環(huán)境容納量K時，種群數(shù)量N(t)的變化率N'(t)通常表示為__________。7.若某生物器官的體積V隨時間t的變化率是dV/dt=10+0.5t立方厘米/年，則該器官從t=1年到t=5年期間體積的增加量約為__________立方厘米。（結(jié)果保留一位小數(shù)）8.考慮一個藥物劑量隨時間衰減的過程，其衰減速率與剩余劑量成正比。若初始劑量為D?，衰減常數(shù)為k，則t時刻剩余藥物量Q(t)可以表示為Q(t)=D?e^(-kt)。該藥物剩余劑量衰減到初始劑量一半時，所需時間（半衰期）T=_________。9.某種放射性同位素衰變的速度與該時刻的同位素數(shù)量成正比。已知半衰期為T年，則該同位素在一年內(nèi)衰變掉的比例（剩余比例）約為__________。（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10.若f(x)表示某種昆蟲在x時刻的繁殖率（單位時間內(nèi)新產(chǎn)生的個體數(shù)），則積分∫[0,10]f(x)dx的生物學(xué)意義是__________。三、計算題（本大題共4小題，共55分。）11.（本小題滿分12分）已知某城市人口P(t)（t以年為單位）的增長率滿足dP/dt=0.02P(1-P/1,000,000)，其中P(0)=100,000。假設(shè)該模型在接下來20年內(nèi)有效，試求：（1）該城市人口達(dá)到200,000時的近似時間（精確到年）。（2）估計在這20年內(nèi)該城市人口的最大可能增長量。（提示：可考慮求導(dǎo)找極值）12.（本小題滿分13分）一種病毒在培養(yǎng)基中的感染過程遵循特定動力學(xué)。假設(shè)在時刻t（小時），感染病毒的細(xì)胞數(shù)量N(t)的增長速率（dN/dt）與已感染細(xì)胞數(shù)量N(t)和未感染細(xì)胞數(shù)量M（總量固定為N?）的乘積成正比，比例常數(shù)為k。若初始時刻（t=0）有10%的細(xì)胞被感染，即N(0)=0.1N?，求：（1）病毒感染細(xì)胞數(shù)量N(t)隨時間t的表達(dá)式。（2）經(jīng)過多長時間，將有50%的細(xì)胞被感染？（提示：先求出M(t)=N?-N(t)的表達(dá)式）13.（本小題滿分14分）某藥物以恒定的速率R（單位：毫克/小時）靜脈注射進(jìn)入血液，同時血液中藥物的清除速率與當(dāng)時的藥物濃度C(t)（單位：毫克/升）成正比，比例常數(shù)為k（單位：小時?1）。假設(shè)在t=0時刻血液中藥物濃度為0。（1）建立描述血液中藥物濃度C(t)變化的微分方程。（2）求解該微分方程，并確定穩(wěn)態(tài)濃度（即t→∞時C(t)的極限值）。（3）若R=10毫克/小時，k=0.1小時?1，計算達(dá)到90%穩(wěn)態(tài)濃度所需的時間。14.（本小題滿分16分）研究某種生物種群對資源的利用效率。假設(shè)種群數(shù)量N(t)隨時間t增長，其瞬時增長率（即dN/dt）在某個時間段[a,b]內(nèi)可以用函數(shù)f(t)=at+b表示。已知該種群在時間區(qū)間[1,5]內(nèi)的總增長量為8。（1）求a和b的值。（2）計算該種群的瞬時增長率在時間段[1,5]內(nèi)的平均值。（3）若該種群的初始數(shù)量為N(1)=2，求t=5時種群的數(shù)量N(5)。---試卷答案一、選擇題1.B2.B3.A4.A5.C二、填空題6.正增長7.17.58.ln(2)/k9.1/210.在0到10小時內(nèi)該昆蟲的總繁殖數(shù)量（或總新增個體數(shù)）三、計算題11.（1）t≈8.3年（解析：將微分方程分離變量并積分，求解P(t)，令P(t)=200,000求解t?；蚶脤?shù)性質(zhì)近似求解。）（2）約190,476（解析：求P(t)在[0,20]上的最大值與P(0)之差，或考慮P(t)增長的對稱性。）12.（1）N(t)=N?*[1-exp(-kt)]（解析：將問題轉(zhuǎn)化為求解一階線性微分方程dN/dt+kN=kN?。）（2）t=ln(2)/k（解析：令N(t)=0.5N?，求解k*t。）13.（1）dC/dt+kC=R（解析：根據(jù)“輸入速率=輸出速率”建立微分方程，輸入速率是常數(shù)R，輸出速率是k*C。）（2）C(t)=R/k*(1-exp(-kt))，穩(wěn)態(tài)濃度C_steady=R/k（解析：求解一階線性微分方程。）（3）約6.9小時（解析：令C(t)=0.9*C_steady，求解t。）14.（1）a=1,b=1（解析：根據(jù)定積分∫[1,5](at+b)dt=8，求解a和b的值。）（2）3