2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——最優(yōu)控制理論的數(shù)學(xué)原理考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述最優(yōu)控制問(wèn)題的基本組成部分，并說(shuō)明性能指標(biāo)的作用。二、解釋Bellman最優(yōu)性原理，并簡(jiǎn)述其與動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理的核心聯(lián)系。三、寫(xiě)出極小值原理的數(shù)學(xué)表述，并解釋其中Lagrange乘子的意義。四、已知最優(yōu)控制問(wèn)題：minJ[y(t),u(t)]=∫?1[x2(t)+u2(t)]dts.t.x?(t)=u(t),x(0)=1使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的Bellman方程，并說(shuō)明邊界條件。五、對(duì)于上述問(wèn)題（問(wèn)題四），假設(shè)性能指標(biāo)改為J[y(t),u(t)]=∫?1[x(t)+u(t)]2dt，嘗試建立并求解對(duì)應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程。六、解釋線性二次最優(yōu)控制（LQR）問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式，并簡(jiǎn)述其求解方法（無(wú)需推導(dǎo)過(guò)程）。七、已知某最優(yōu)控制問(wèn)題的HJB方程為?Ω/?t+(x?Ω/?x+u?Ω/?u)+x2+u2=0,0<t<1,0<x<∞,uunconstrained。若邊界條件為Ω(1,x)=x2，Ω(t,0)=0,0≤t≤1。試推導(dǎo)該HJB方程的齊次性，并說(shuō)明其可能帶來(lái)的簡(jiǎn)化。八、若需求解區(qū)域受限的最優(yōu)控制問(wèn)題，即控制u需滿足|u|≤1，如何修改極小值原理的表述？請(qǐng)簡(jiǎn)述主要變化及其原因。九、設(shè)最優(yōu)控制問(wèn)題：minJ=∫??[x?2(t)+u2(t)]dts.t.x?(t)=u(t),x(0)=0使用極小值原理求解最優(yōu)控制u*(t)和最優(yōu)軌線x*(t)。十、結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，論述最優(yōu)控制理論在數(shù)學(xué)上的挑戰(zhàn)主要表現(xiàn)在哪些方面？試卷答案一、最優(yōu)控制問(wèn)題的基本組成部分包括：狀態(tài)變量（描述系統(tǒng)行為的變量）、控制變量（可由決策者施加影響的變量）、性能指標(biāo)（評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能優(yōu)劣的函數(shù)）、初始狀態(tài)和終端狀態(tài)（系統(tǒng)的起始和結(jié)束條件），以及可能的約束條件（對(duì)狀態(tài)和控制變量的限制）。性能指標(biāo)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，用于量化控制過(guò)程從初始狀態(tài)到終端狀態(tài)的最優(yōu)性，是尋優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)。二、Bellman最優(yōu)性原理指出：對(duì)于一個(gè)最優(yōu)控制過(guò)程，最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì)，即無(wú)論初始狀態(tài)和初始控制如何，對(duì)于最優(yōu)策略產(chǎn)生的任何狀態(tài)而言，余下的控制過(guò)程仍是最優(yōu)的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理是解決具有遞歸結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的方法，其核心是Bellman方程，該方程將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的最優(yōu)解價(jià)值表示為子問(wèn)題的最優(yōu)解價(jià)值的函數(shù)。兩者核心聯(lián)系在于，Bellman原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理的基礎(chǔ)和核心思想體現(xiàn)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是運(yùn)用Bellman原理解決具體問(wèn)題的計(jì)算技術(shù)。三、極小值原理的數(shù)學(xué)表述為：對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題，存在一個(gè)非負(fù)的Lagrange乘子向量π(t)（對(duì)應(yīng)于狀態(tài)變量的乘子），使得最優(yōu)控制u*(t)必須滿足以下方程組：?H(x(t),u(t),p(t),t)=0x?(t)=?H/?pp(t)?=?H/?x其中H(x,u,p,t)=L(x,u,t)+p?(x?(t))是Hamilton函數(shù)，L(x,u,t)是系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)。Lagrange乘子向量π(t)代表了狀態(tài)變量x(t)對(duì)最優(yōu)性能指標(biāo)的“影子價(jià)格”或影響程度，反映了狀態(tài)變量約束的緊致程度。四、根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，建立Bellman方程：Ω(t,x)=min_u∫[t,1][x(s)+u(s)]2ds其中x(t)=u(t)。將x(s)=u(s)代入性能指標(biāo)，得：Ω(t,x)=min_u∫[t,1][u(s)+u(s)]2ds=min_u∫[t,1][2u(s)2]ds對(duì)u(s)求導(dǎo)并令其為零，得最優(yōu)控制u*(s)=0。將u*(s)代入性能指標(biāo)積分，得：Ω(t,x)=∫[t,1]2(0)2ds=0因此，Bellman方程為?Ω/?t+x?Ω/?x=0。邊界條件為Ω(1,x)=x2(當(dāng)t=1時(shí)，積分結(jié)束，性能指標(biāo)僅為終點(diǎn)狀態(tài)的函數(shù))。五、建立HJB方程：H[x,u,p,t]=L[x,u,t]+p?x?=x2+u2+p?u?H/?t=0(假設(shè)L和x?不顯含t)?H/?x=2x+pu?H/?u=2u+pxHJB方程為：?Ω/?t+(x?Ω/?x+u?Ω/?u)+(2x+pu)+(2u+px)=0簡(jiǎn)化得：?Ω/?t+x?Ω/?x+u?Ω/?u+2x+2u+p(x+u)=0邊界條件為Ω(1,x)=x2，Ω(t,0)=0(假設(shè)終點(diǎn)狀態(tài)x任意，初始狀態(tài)x=0)。六、線性二次最優(yōu)控制（LQR）問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：minJ=∫??[x?(t)Qx(t)+u?(t)Ru(t)]dts.t.x?(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x?其中Q是半正定矩陣，R是正定矩陣，分別衡量狀態(tài)和控制代價(jià)。求解方法通常是通過(guò)求解代數(shù)Riccati方程：A?P+PA-PBR?1B?P+Q=0得到最優(yōu)增益矩陣K=R?1B?P，進(jìn)而得到最優(yōu)控制u*(t)=-Kx(t)。七、要推導(dǎo)HJB方程的齊次性，假設(shè)最優(yōu)值函數(shù)Ω(t,x)具有形式Ω(t,x)=f(t)g(x)。將其代入HJB方程：?Ω/?t+x?Ω/?x+x2+u2=0得：f'(t)g(x)+f(t)g'(x)+x2+u2=0由于uunconstrained，為使上式對(duì)任意u成立，u2項(xiàng)前系數(shù)必須為0，得f'(t)g(x)+x2=0。此式對(duì)任意x成立，需f'(t)恒為0，g(x)恒為0，但這與Ω(t,x)存在矛盾。更合理的齊次性推導(dǎo)是基于假設(shè)Ω(t,x)=t^αx^β的形式，代入方程后，若方程成立，則α和β需滿足特定關(guān)系。齊次性說(shuō)明最優(yōu)值函數(shù)可能僅依賴于t和x的某種冪次乘積形式，這可以簡(jiǎn)化HJB方程的求解，例如通過(guò)變量替換x->x/t^k或采用降維方法。八、對(duì)于控制受限的問(wèn)題|u|≤1，極小值原理的表述需要引入懲罰項(xiàng)以反映控制約束。修改后的Hamilton函數(shù)為：H(x,u,p,t)=L(x,u,t)+p?x?+λ(u2-1)sign(u)其中λ≥0是懲罰系數(shù)，sign(u)是符號(hào)函數(shù)（u>0時(shí)為1，u<0時(shí)為-1，u=0時(shí)任意）。引入sign(u)是為了確保懲罰項(xiàng)僅在u=0時(shí)可能為零，從而強(qiáng)制u在可行域|u|≤1內(nèi)。這個(gè)修改反映了控制被“推開(kāi)”到約束邊界時(shí)的代價(jià)增加，λ的取值影響約束的嚴(yán)格性。主要變化在于Hamilton函數(shù)中加入了顯式的控制約束懲罰項(xiàng)。九、使用極小值原理求解。構(gòu)造Hamilton函數(shù)：H=x?2+u2+p?u求最優(yōu)控制u，需滿足?H/?u=0，即2u+p=0，得u*(t)=-p/2。將u*(t)代入狀態(tài)方程x?=u，得x?=-p/2。將u*(t)代入Hamilton函數(shù)，得p?=-2u=p，即p=0。代入x?=-p/2，得x?=0，即x(t)=C(常數(shù))。利用初始條件x(0)=0，得C=0，故最優(yōu)軌線x*(t)=0。將x*(t)=0代入u*(t)=-p/2，得u*(t)=0。因此，最優(yōu)控制為u*(t)=0，最優(yōu)軌線為x*(t)=0。十、最優(yōu)控制理論在數(shù)學(xué)上的挑戰(zhàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1.數(shù)學(xué)工具的深度和廣度：要求掌握變分法、微分方程（常微分和偏微分）、線性代數(shù)、泛函分析、最優(yōu)化理論等多種高等數(shù)學(xué)工具，且需熟練運(yùn)用。2.問(wèn)題的復(fù)雜性和抽象性：最優(yōu)控制問(wèn)題通常描述復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，涉及的狀態(tài)變量、控制變量和性能指標(biāo)可能非常抽象，建立精確的數(shù)學(xué)模型本身就是一個(gè)挑戰(zhàn)。3.必要條件的推導(dǎo)與驗(yàn)證：推導(dǎo)最優(yōu)性必要條件（如極小值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理、Lagrange乘子法）涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明其充分性通常更困難，需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)分析能力。4.求解困難：即使得到了必要條件（通常是一組非線性偏微分方程或代數(shù)方程），求解最優(yōu)值函數(shù)或最優(yōu)