2025年重慶市高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽模擬試題及答案解析（考試時(shí)間：120分鐘滿分：120分）填空題（每題8分，共64分）已知集合A=\{x|x^2-4x+3<0\}，B=\{x|2^x>4\}，則A\capB=______。答案：解析：解不等式x^2-4x+3<0得1<x<3，故A=(1,3)；解2^x>4=2^2得x>2，故B=(2,+\infty)。交集為兩者重疊區(qū)間(2,3)。函數(shù)f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x的最小值為______。答案：解析：利用三角恒等變換化簡(jiǎn)：f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+(1+\cos2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{2}=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{3}{2}因\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\geq-1，故最小值為-1+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}。已知等差數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_3=5，S_9=81，則a_7=______。答案：11解析：等差數(shù)列中，S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=81，得a_5=9。又a_3,a_5,a_7成等差數(shù)列，故2a_5=a_3+a_7，即18=5+a_7，解得a_7=11。若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}，則z=x+2y的最大值為______。答案：8解析：畫出可行域（以(0,2),(2,0),(4,2)為頂點(diǎn)的三角形），分別代入目標(biāo)函數(shù)：?當(dāng)x=0,y=2時(shí)，z=4；?當(dāng)x=2,y=0時(shí)，z=2；?當(dāng)x=4,y=2時(shí)，z=8。故最大值為8。1.已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，底面邊長為2，則該三棱錐的體積為______。答案：解析：底面正三角形的高為\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}，面積S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}。頂點(diǎn)在底面的投影為中心，距離頂點(diǎn)的距離h=\sqrt{2^2-\left(\frac{2}{3}\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}。體積V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}。2.從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則該三位數(shù)是偶數(shù)的概率為______。答案：解析：總樣本數(shù)為A_5^3=60。偶數(shù)需個(gè)位為2或4，分兩步：?選個(gè)位：2種選擇；?選百位和十位：A_4^2=12種選擇。滿足條件的數(shù)共2\times12=24個(gè)，概率為\frac{24}{60}=\frac{2}{5}。已知直線y=kx+1與圓x^2+y^2-2x-3=0相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2\sqrt{3}，則k=______。答案：解析：圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(x-1)^2+y^2=4，圓心(1,0)，半徑r=2。圓心到直線的距離d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}，由弦長公式|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}得：2\sqrt{3}=2\sqrt{4-\left(\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}\right)^2}\implies3=4-\frac{(k+1)^2}{k^2+1}\implies(k+1)^2=k^2+1\impliesk=0（修正：計(jì)算失誤，正確推導(dǎo)：d^2=4-3=1，故\frac{(k+1)^2}{k^2+1}=1\impliesk^2+2k+1=k^2+1\impliesk=0，此前答案有誤，正確答案為0）1.若正整數(shù)m,n滿足m+n=100，則m^2+n^2的最小值為______。答案：5000解析：由均值不等式m^2+n^2\geq\frac{(m+n)^2}{2}=\frac{10000}{2}=5000，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=50時(shí)取等號(hào)。解答題（第9題16分，第10、11題各20分，共56分）1.已知函數(shù)f(x)=\lnx-ax+1（a\in\mathbb{R}）。討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)\leq0恒成立，求a的取值范圍。答案：函數(shù)定義域?yàn)?0,+\infty)，求導(dǎo)得f'(x)=\frac{1}{x}-a。由（1）知，當(dāng)a\leq0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，且f(1)=1-a>0，不滿足恒成立條件。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)最大值為f\left(\frac{1}{a}\right)=\ln\frac{1}{a}-1+1=-\lna。令-\lna\leq0，解得a\geq1。故a的取值范圍為[1,+\infty)。?當(dāng)a\leq0時(shí)，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+\infty)上單調(diào)遞增；?當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0得x=\frac{1}{a}。當(dāng)0<x<\frac{1}{a}時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>\frac{1}{a}時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）的離心率為\frac{\sqrt{2}}{2}，且過點(diǎn)(\sqrt{2},1)。求橢圓C的方程；設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求m^2與k^2的關(guān)系。答案：由離心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}得c=\frac{\sqrt{2}}{2}a，又b^2=a^2-c^2=\frac{1}{2}a^2。橢圓過點(diǎn)(\sqrt{2},1)，代入方程得\frac{2}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}a^2}=1\implies\frac{2}{a^2}+\frac{2}{a^2}=1\impliesa^2=4，故b^2=2。橢圓方程為\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1。聯(lián)立直線與橢圓方程：\begin{cases}y=kx+m\\x^2+2y^2=4\end{cases}，消去y得：(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-4=0。設(shè)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)，則x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}，x_1x_2=\frac{2m^2-4}{1+2k^2}。因以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，故\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0，即x_1x_2+y_1y_2=0。代入y_1=kx_1+m，y_2=kx_2+m得：x_1x_2+(kx_1+m)(kx_2+m)=(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0代入韋達(dá)定理結(jié)果：(1+k^2)\frac{2m^2-4}{1+2k^2}-km\cdot\frac{4km}{1+2k^2}+m^2=0化簡(jiǎn)得2(1+k^2)(m^2-2)-4k^2m^2+m^2(1+2k^2)=0\implies3m^2=4(1+k^2)。1.已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+3^n（n\in\mathbb{N}^*）。（1）求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b_n=\frac{a_n}{3^n}，求數(shù)列\(zhòng){b_n\}的前n項(xiàng)和T_n。答案：構(gòu)造等比數(shù)列，兩邊同除以3^{n+1}得：\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}令c_n=\frac{a_n}{3^n}，則c_{n+1}=\frac{2}{3}c_n+\frac{1}{3}，變形為c_{n+1}-1=\frac{2}{3}(c_n-1)。數(shù)列\(zhòng){c_n-1\}是以c_1-1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}為首項(xiàng)，\frac{2}{3}為公比的等比數(shù)列。故c_n-1=-\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=-\left(\frac{2}{3}\right)^n，即c_n=1-\left(\frac{2}{3}\right)^n。通項(xiàng)公式a_n=3^n\cdotc_n=3^n-2^n。由（1）知b_n=\frac{a_n}{3^n}=1-\left(\frac{2}{3}\right)^n，前n項(xiàng)和：T_n=\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n