試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁安徽省蚌埠市2025-2026學年高三上學期開學調(diào)研性監(jiān)測數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知全集，則（

）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則（

）A． B．5 C． D．3．若雙曲線的離心率為2，虛軸長為，則的實軸長為（

）A．1 B． C．2 D．34．不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．如圖，在邊長為3的正三角形中，點，分別在邊，上，且，則（

）

A．3 B． C． D．7．已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為243，則展開式中的系數(shù)為（

）A．10 B．32 C．40 D．808．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．二、多選題9．設是不同的直線，是不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知隨機變量，隨機變量，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11．在中，角的對邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為直角三角形B．若，則為直角三角形C．若，則邊上的中線長為2D．若為銳角三角形，則的取值范圍是三、填空題12．計算：．13．已知橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過點的直線與相交于兩點，則的面積的最大值為．14．現(xiàn)有個箱子，每個箱子均有個小球，第個箱子中有個白球，其余為黑球，在這個箱子中任取一個箱子，再從該箱子中依次選出3個小球，若第3次選出的小球恰為黑球的概率是，則．四、解答題15．7月1日，電影《哪吒之魔童鬧?！罚ㄒ韵潞喎Q《哪吒2》在中國內(nèi)地電影院線正式下映，結(jié)束了自今年1月29日以來153天的線下放映．據(jù)統(tǒng)計，《哪吒2》在中國內(nèi)地最終斬獲154.4億元票房，總觀影人次3.24億，兩項數(shù)據(jù)均創(chuàng)下中國影史紀錄，并遙遙領先第二名，成為了又一部現(xiàn)象級電影．下表統(tǒng)計了《哪吒2》上映前15天累計票房到達（單位：億元）與所用時間（單位：天）的數(shù)據(jù)：累計票房20406080100用時4791015(1)利用表中的數(shù)據(jù)，計算相關系數(shù)（結(jié)果精確到0.01），并推斷兩個變量的線性相關程度；(2)求關于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預測153天時的累計票房，判斷這種預測方法是否合理．參考公式：經(jīng)驗回歸方程，其中．相關系數(shù)．參考數(shù)據(jù)：．16．已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．17．如圖，在四棱錐中，是正三角形，．(1)求證：平面平面；(2)設，若點均在球的球面上且點在平面內(nèi)．（i）求四棱錐的體積；（ii）求平面與平面的夾角的余弦值．18．已知拋物線的焦點為為坐標原點，上存在點到和的距離都等于．(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線交拋物線于點，直線與相交于另一點，直線與相交于另一點．（i）求證：；（ii）求證：直線經(jīng)過定點．19．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，求的極大值；(3)若，求證：的所有零點之和大于且小于．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《安徽省蚌埠市2025-2026學年高三上學期開學調(diào)研性監(jiān)測數(shù)學試卷》參考答案題號12345678910答案BACDBDCABDACD題號11答案ABD1．B【分析】利用補集的含義可得答案.【詳解】因為，所以.故選：B.2．A【分析】利用復數(shù)除法法則得到，進而由模長公式得到答案.【詳解】，故.故選：A3．C【分析】由題知離心率，虛軸長，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合推出，從而得出雙曲線實軸長.【詳解】已知離心率，虛軸長為，所以，.由雙曲線的性質(zhì)可知，，則，解得，因為，所以，所以雙曲線實軸長為.故選：C4．D【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為等價的不等式組求解.【詳解】不等式可化為，等價于，解得或，所以原不等式的解集為.故選：D.5．B【分析】根據(jù)輔助角公式化簡題設函數(shù)，結(jié)合平移知識求解即可.【詳解】由，，則將函數(shù)的圖象向右平移的最小正值為個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以的最小值為.故選：B.6．D【分析】分別以為基底表示出，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律計算可得結(jié)果.【詳解】依題意由可得,所以，;因此.故選：D7．C【分析】依題令，代入原式求得，寫出二項展開式的通項，賦值即可求得展開式中的系數(shù).【詳解】根據(jù)題意，在中，令，可得，解得，則二項式的展開式的通項為，其中，令，則展開式中的系數(shù)為.故選：C.8．A【分析】分析易得在上單調(diào)遞增，，進而結(jié)合單調(diào)性解不等式即可求解.【詳解】的定義域為，所以在上單調(diào)遞增，而，所以，由，則，由的單調(diào)性可得，，即，解得或，故不等式的解集為.故選：A．9．BD【分析】借助于長方體模型可說明A,C錯誤；利用線面垂直的性質(zhì)，面面平行的判定定理可判斷B,D正確.【詳解】對于A，如圖，在長方體中，取直線分別為，平面為平面，顯然滿足，但是相交直線，故A錯誤；對于B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，垂直于同一個平面的兩直線互相平行，可知B正確；對于C，如上圖，取直線為直線，平面為平面，平面為平面，顯然滿足，但,故C錯誤；對于D，根據(jù)面面平行的判定方法，垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，可知D正確.故選：BD.10．ACD【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性判斷A；利用正態(tài)分布和二項分布的期望性質(zhì)建立方程，求解參數(shù)判斷C；結(jié)合正態(tài)分布和二項分布的方差性質(zhì)判斷B，D即可.【詳解】對于A，因為隨機變量，且，所以結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可得，故A正確；對于C，由正態(tài)分布的期望性質(zhì)得，由二項分布性質(zhì)得，而，則，解得，此時隨機變量變，故C正確；對于B，由二項分布的方差性質(zhì)得，而，則，由方差的性質(zhì)得，故B錯誤；對于D，由方差性質(zhì)得，故D正確.故選：ACD11．ABD【分析】由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，計算可得為直角可判斷A；由已知可得，進而可求得可判斷B；由已知可得，結(jié)合余弦定理可得，分別在和中利余弦定理可求得判斷C；由已知求得，邊化角可得，可求得范圍判斷D.【詳解】由條件，，利用正弦定理，可知，又，因此或（舍），所以．選項A，，則，角為直角，所以為直角三角形，故A正確．選項B，，而，由正弦定理，，又，所以，則，所以角為直角，所以為直角三角形，故B正確．選項C，取的中點，由，則，得．由余弦定理，，即，所以．由，可得，從而在和中分別用余弦定理，，代入數(shù)據(jù)，，解得邊上的中線長為，故C錯誤．選項D，為銳角三角形，則，解得，而由正弦定理，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，從而的取值范圍是，故D正確．故選：ABD.12．1【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式計算.【詳解】.故答案為：1.13．2【分析】設，聯(lián)立方程組求出面積為，令，結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，，故設，，聯(lián)立得，，則，則，故的面積，令，則，等號成立時，，故的面積的最大值為2.故答案為：214．9【分析】由條件概率公式，且從箱子中依次選出3個小球，每次選到黑球的概率相等及全概率公式即可得出.【詳解】記“選到第個箱子”為事件，“從箱子中依次選出3個小球且第3個小球是黑球”為事件，則，每個箱子均有個小球，第個箱子中有個白球和個黑球，又因為從箱子中依次選出3個小球，每次選到黑球的概率相等，所以第3次選出的小球恰為黑球和第1次選出的小球為黑球的概率都是，由全概率公式，,解得．故答案為：9.15．(1)兩個變量具有很強的相關程度(2)，預測153天時的累計票房為1151.56億元，該預測方法不合理【分析】（1）先計算，代入相關系數(shù)公式計算即可；（2）先計算，進而得經(jīng)驗回歸方程，令，代入回歸方程即可求解.【詳解】（1）由題意有，則所以兩個變量具有很強的相關程度．（2）由題意有，所求經(jīng)驗回歸方程為，令，得，預測153天時的累計票房為1151.56億元，遠超過實際票房，故該預測方法不合理．16．(1)(2)【分析】（1）利用累加法可求得數(shù)列的通項公式；（2）由題可得，利用錯位相減求得數(shù)列的前項和即可.【詳解】（1）由條件，當時，，所以累加得又，所以，取也成立，所以．（2）由，相減，得，所以．17．(1)證明見解析(2)（i）4；（ii）【分析】（1）先得到，結(jié)合得平面，故平面平面；（2）（i）解法一：作出輔助線，得到四邊形的面積，由面面垂直得到線面垂直，四棱錐的高為，并求出，由錐體體積公式得到答案；解法二：先得到四棱錐的高為，建立空間直角坐標系，設，，其中，根據(jù)半徑相等得到方程組，求出，從而利用錐體體積公式得到答案；（ii）解法一：作出輔助線，得到為二面角的平面角，求出各邊長，由余弦定理和三角函數(shù)可得，進而由余弦定理可得，得到答案．解法二：建立坐標系，寫出點的坐標，求出兩平面的法向量，利用向量夾角余弦公式求出平面與平面夾角余弦值.【詳解】（1）由條件得，，則是線段的中垂線，所以．又平面，所以平面，而平面，故平面平面；（2）（i）解法一：如圖所示，記與交于點，連接，由題意，為四邊形的外接圓圓心，即四點共圓，由條件，可得是線段的中垂線，所以，故，則是四邊形的外接圓直徑，點為的中點．因為，所以，四邊形的面積為．取的中點，連接，則．因為為的中點，所以．由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即四棱錐的高為．又平面，則，而，所以，四棱錐的體積為．解法二：記與交于點，連接，由為的中點，所以．由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即四棱錐的高為．以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由是正三角形，可知，，由點在平面內(nèi)，設，，其中，設，可得方程組，解得，．所以，四邊形的面積為．又，四棱錐的體積為．（ii）解法一：作，垂足為點，連接．由為公共邊，則，所以且，即為二面角的平面角．由，在中，由余弦定理，，則，所以．又，在中，由余弦定理，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．解法二：由（i）知，，因為，設平面的法向量為，由，取，則，所以平面的法向量為．因為，設平面的法向量為，由，取，則，所以平面的法向量為．，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意先判斷在的中垂線上，再利用兩點間距離公式建立方程求出，進而得到，最后求出拋物線方程即可.（2）（i）聯(lián)立方程組求出和，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積得到即可.（ii）利用三點共線求出，同理得到，再結(jié)合和建立方程，得到，進而確定定點即可.【詳解】（1）如圖，作出符合題意的圖形，

由題意得，則，而，可得在的中垂線上，故設點的坐標為，由兩點間距離公式得，解得，而點在上，則，即，解得，故拋物線的方程為．（2）（i）如圖，設直線的方程為，并記點，

聯(lián)立方程組，消去得，易知，則，，而，則，可知，即．（ii）由題意，點，設直線的方程為，并記點，聯(lián)立方程組，消去得，則，由三點共線，可得，得到，將代入化簡，得，所以，而，可知，同理可得，則，解得，故直線的方程為，過定點．19．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）對求導，并求出，得切點和切線的斜率，再利用點斜式可得直線方程；（2）對求導，通過導函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而得到的極大值；（3）對求導，結(jié)合的單調(diào)性，確定的零點，從而得函數(shù)的極值點分布.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理即可確定函數(shù)的零點個數(shù)及范圍，利用三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到的所有零點之和與的大小關