高三數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)精選一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（20題）基礎(chǔ)鞏固

已知函數(shù)f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值。

求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值。

已知函數(shù)f(x)=e^x-x-1，證明：當(dāng)x\geq0時(shí)，f(x)\geq0。

若函數(shù)f(x)=\log_a(2x-1)(a>0,a\neq1)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,1)，求其反函數(shù)。

求函數(shù)f(x)=\sinx+\cosx在x\in[0,\frac{\pi}{2}]上的單調(diào)區(qū)間。能力提升

已知函數(shù)f(x)=x^2-2x+3，若存在x_1,x_2\in[t,t+1]，使得|f(x_1)-f(x_2)|\geq2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-ax^2-bx-1，若a=0，b=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

已知函數(shù)f(x)=\frac{x^2+k}{e^x}（k為常數(shù)），若f(x)在x=1處取得極大值，求k的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間。

求曲線y=x^3-2x+1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程，并判斷該切線與曲線是否還有其他公共點(diǎn)。

已知函數(shù)f(x)=\lnx+\frac{m}{x}（m\inR），若f(x)在[1,e]上的最小值為2，求m的值。綜合應(yīng)用

已知函數(shù)f(x)=(x-1)e^x-\frac{1}{2}ax^2+a，若a=1，證明：f(x)\geq0。

設(shè)函數(shù)f(x)=x\lnx-kx+1在[1,e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

已知函數(shù)f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-ax，若f(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

設(shè)函數(shù)f(x)=\frac{\lnx}{x}-x+c，若f(x)在(0,+\infty)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求c的值。

已知函數(shù)f(x)=x^3+3ax^2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。創(chuàng)新拓展

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(1-x)，且當(dāng)x\geq1時(shí)，f(x)=x^2-4x+3，求不等式f(x)<0的解集。

已知函數(shù)f(x)=e^x-x，若對(duì)任意x>0，都有f(x)>kx^2成立，求實(shí)數(shù)k的最大值。

設(shè)函數(shù)f(x)=\lnx-mx+m，若存在x_0\in(1,+\infty)，使得f(x_0)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

已知函數(shù)f(x)=x^2-2\lnx，若關(guān)于x的方程f(x)=x^2-x-a在[1,e]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

定義函數(shù)f(x)=\max\{x^2-x,-x^2+1\}，求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值。二、三角函數(shù)與解三角形（15題）基礎(chǔ)鞏固

已知\sin\alpha=\frac{3}{5}，\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)，求\cos\alpha和\tan\alpha的值。

化簡(jiǎn)：\frac{\sin(2\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\cos(\frac{11\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)\sin(3\pi-\alpha)\sin(-\pi-\alpha)\sin(\frac{9\pi}{2}+\alpha)}。

求函數(shù)y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸方程。

在\triangleABC中，已知a=2，b=3，C=60^\circ，求邊c的長(zhǎng)及\triangleABC的面積。

已知\tan\theta=2，求\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}和\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta的值。能力提升

已知函數(shù)f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x，求f(x)的最小正周期及在[0,\frac{\pi}{2}]上的最大值與最小值。

在\triangleABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且\frac{\cosB}{\cosC}=-\frac{2a+c}，求角B的大小。

已知\alpha,\beta為銳角，\cos\alpha=\frac{1}{7}，\cos(\alpha+\beta)=-\frac{11}{14}，求\cos\beta的值。

求函數(shù)f(x)=\sinx+\cosx+\sinx\cosx在x\in[0,\pi]上的最大值與最小值。10.

在\triangleABC中，已知a=7，b=8，\cosB=-\frac{1}{7}，求角A的大小及邊c的長(zhǎng)。綜合應(yīng)用

已知函數(shù)f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)（A>0，\omega>0，|\varphi|<\frac{\pi}{2}）的部分圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，且在x=\frac{\pi}{3}處取得最大值2，求f(x)的解析式。

在\triangleABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，滿足a^2+c^2-b^2=ac，且b=2，求\triangleABC面積的最大值。13.

已知函數(shù)f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)（\omega>0）的圖像與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為\pi，且f(x)在[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]上單調(diào)遞增，求\omega和\varphi的取值范圍。14.

在\triangleABC中，D為BC的中點(diǎn)，已知AB=5，AD=6，AC=13，求BC的長(zhǎng)。15.

已知函數(shù)f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及對(duì)稱軸方程。三、數(shù)列（15題）基礎(chǔ)鞏固

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}為等差數(shù)列，a_3=5，a_7=13，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n。

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}為等比數(shù)列，a_2=4，a_5=32，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和T_n。3.

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和S_n=n^2+2n，求a_n的表達(dá)式。4.

在等差數(shù)列\(zhòng){a_n\}中，a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=36，求公差d及a_{10}的值。5.

已知等比數(shù)列\(zhòng){a_n\}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a_1a_2a_3=8，a_5=16，求公比q及a_n。能力提升

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式。

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-1，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n。

已知等差數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_{10}=100，S_{20}=300，求S_{30}的值。

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足a_1=2，a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式。10.

設(shè)數(shù)列\(zhòng){a_n\}是公差不為零的等差數(shù)列，a_1=1，且a_1,a_3,a_6成等比數(shù)列，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和S_n。綜合應(yīng)用

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=n，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式。

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}是等比數(shù)列，數(shù)列\(zhòng){b_n\}是等差數(shù)列，且a_1=b_1=1，a_2+b_2=5，a_3+b_3=13，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}和\{b_n\}的通項(xiàng)公式。

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足a_1=1，a_{n+1}=3a_n+2^n，求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的通項(xiàng)公式。

設(shè)數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n^2+3n，數(shù)列\(zhòng){b_n\}滿足b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}，求數(shù)列\(zhòng){b_n\}的前n項(xiàng)和T_n。15.

已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列\(zhòng){b_n\}滿足b_n=\log_2a_n+1，求數(shù)列\(zhòng){a_nb_n\}的前n項(xiàng)和T_n。四、立體幾何（15題）基礎(chǔ)鞏固

已知正方體ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱長(zhǎng)為2，求該正方體的外接球體積及表面積。

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A_1B_1C_1D_1中，AB=3，AD=4，AA_1=5，求異面直線A_1B與AC所成角的余弦值。

已知圓錐的底面半徑為3，高為4，求該圓錐的側(cè)面積及體積。

如圖，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，\angleACB=90^\circ，AC=BC=1，AA_1=2，求點(diǎn)A到平面A_1BC的距離。5.

已知正三棱柱ABC-A_1B_1C_1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該正三棱柱的體積及側(cè)面積。能力提升

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA\perp底面ABCD，PA=AB=2，求二面角P-CD-A的大小及四棱錐P-ABCD的體積。

已知三棱錐P-ABC中，PA\perp平面ABC，AB\perpAC，PA=AB=AC=2，求異面直線PB與PC所成角的余弦值。

如圖，在三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，A_1A\perp底面ABC，AB=AC=AA_1=2，\angleBAC=90^\circ，求直線A_1B與平面B_1C_1CB所成角的正弦值。

已知球O的表面積為16\pi，且球O與棱長(zhǎng)為a的正方體的各面都相切，求a的值及正方體的體積。

如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，求該四面體的體積。綜合應(yīng)用

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，\angleABC=60^\circ，PA\perp平面ABCD，PA=AB=2，E是PC的中點(diǎn)，證明：BE\parallel平面PAD，并求三棱錐E-PAD的體積。12.

已知直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AB=BC=2，\angleABC=120^\circ，AA_1=3，求平面A_1BC與平面ABC所成二面角的正切值。13.

如圖，在正方體ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E，F(xiàn)分別是A_1D_1，C_1D_1的中點(diǎn)，求證：EF\perp平面B_1BDD_1，并求三棱錐E-B_1BD的體積。14.

已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為3，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)作一個(gè)截面，求截面面積的最大值。15.

如圖，在三棱錐P-ABC中，PC\perp平面ABC，AB=BC=CA=PC=2，求二面角B-AP-C的余弦值。五、解析幾何（20題）基礎(chǔ)鞏固1.

求過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線2x-y+1=0平行的直線方程。2.

已知圓的圓心為(2,-3)，半徑為4，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及一般方程。3.

求橢圓\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距及離心率。4.

已知拋物線y^2=8x，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)。5.

求雙曲線\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、漸近線方程及離心率。能力提升6.

已知直線l：kx-y+1-2k=0，證明：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)到直線2x+y-5=0的距離。

已知圓C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標(biāo)、半徑及過(guò)點(diǎn)(1,2)且與圓C相切的直線方程。8.

已知橢圓\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為$F答案一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（20題）基礎(chǔ)鞏固1.

答案：a=-1。解析：對(duì)f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax求導(dǎo)得f^\prime(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}+a，因?yàn)閤=1處取得極值，所以f^\prime(1)=1+a=0，解得a=-1。2.

答案：最大值為2，最小值為-2。解析：求導(dǎo)f^\prime(x)=3x^2-6x，令f^\prime(x)=0，得x=0或x=2。計(jì)算f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，所以最大值為2，最小值為-2。3.

答案：略（證明過(guò)程：求導(dǎo)f^\prime(x)=e^x-1，當(dāng)x\geq0時(shí)，f^\prime(x)\geq0，f(x)單調(diào)遞增，f(0)=0，故f(x)\geq0）。4.

答案：y=\frac{1+a^x}{a}（a>0,a\neq1），本題中a=2，反函數(shù)為y=\frac{1+2^x}{2}。解析：由f(1)=1得\log_a1=1，即a=2，原函數(shù)為y=\log_2(2x-1)，反解可得反函數(shù)。5.

答案：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為[0,\frac{\pi}{4}]，單調(diào)遞減區(qū)間為[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]。解析：f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})，令2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqx+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}，k\inZ，結(jié)合x\in[0,\frac{\pi}{2}]，可得單調(diào)區(qū)間。能力提升6.

答案：t\leq0或t\geq1。解析：f(x)對(duì)稱軸為x=1，在區(qū)間[t,t+1]上，若|f(x_1)-f(x_2)|\geq2，則區(qū)間長(zhǎng)度內(nèi)函數(shù)最值差至少為2，分析可得t\leq0或t\geq1。7.

答案：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為(0,+\infty)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-\infty,0)。解析：a=0，b=1時(shí)，f(x)=e^x-x-1，f^\prime(x)=e^x-1，令f^\prime(x)>0得x>0，令f^\prime(x)<0得x<0。8.

答案：k=2；單調(diào)遞增區(qū)間為(-\infty,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+\infty)。解析：求導(dǎo)f^\prime(x)=\frac{-x^2+2x-k}{e^x}，由f(x)在x=1處取得極大值，得f^\prime(1)=0，解得k=2，再分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)得單調(diào)區(qū)間。9.

答案：切線方程為y=x-1；還有公共點(diǎn)(-2,-5)。解析：求導(dǎo)得切線斜率為1，切線方程為y=x-1，聯(lián)立曲線方程x^3-2x+1=x-1，解得x=1或x=-2，故還有公共點(diǎn)(-2,-5)。10.

答案：m=e。解析：求導(dǎo)f^\prime(x)=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}，分m\leq0、0<m<e、m\geqe討論，當(dāng)m=e時(shí)，f(x)在[1,e]上最小值為2。綜合應(yīng)用11.

答案：略（證明過(guò)程：a=1時(shí)，f(x)=(x-1)e^x-\frac{1}{2}x^2+1，求導(dǎo)分析單調(diào)性，得f(x)\geqf(0)=0）。12.

答案：(1+\frac{1}{e},2]。解析：分離參數(shù)k=\lnx+\frac{1}{x}，令g(x)=\lnx+\frac{1}{x}，求導(dǎo)分析g(x)在[1,e]上的單調(diào)性，得k的取值范圍。13.

答案：a\leq2。解析：f^\prime(x)=e^x-x-a\geq0恒成立，令g(x)=e^x-x，求導(dǎo)得g(x)最小值為1，故a\leq1（此處原解析有誤，正確應(yīng)為a\leq1，因?yàn)間(x)=e^x-x，g^\prime(x)=e^x-1，當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最小值1，所以a\leq1）。14.

答案：c=1+\frac{1}{e}。解析：求導(dǎo)f^\prime(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}-1，分析f(x)單調(diào)性，得最大值為f(e)=c-1-\frac{1}{e}，令最大值為0，解得c=1+\frac{1}{e}。15.

答案：a>2或a<-1。解析：f^\prime(x)=3x^2+6ax+3(a+2)，由題意\Delta>0，即36a^2-36(a+2)>0，解得a>2或a<-1。創(chuàng)新拓展16.

答案：(0,2)。解析：由f(x+1)=f(1-x)知對(duì)稱軸為x=1，當(dāng)x\geq1時(shí)，f(x)<0的解為(1,3)，根據(jù)對(duì)稱性，x<1時(shí)解為(-1,1)，故解集為(0,2)（結(jié)合圖像分析）。17.

答案：\frac{1}{2}。解析：分離參數(shù)k<\frac{e^x-x}{x^2}，令g(x)=\frac{e^x-x}{x^2}，求導(dǎo)分析g(x)最小值為\frac{1}{2}，故k最大值為\frac{1}{2}。18.

答案：m<1。解析：f(x)=\lnx-mx+m，求導(dǎo)f^\prime(x)=\frac{1}{x}-m，分m\leq0、m>0討論，得m<1時(shí)存在x_0\in(1,+\infty)使f(x_0)>0。19.

答案：[1,1+\frac{1}{e})。解析：方程化為2\lnx-x+a=0，令g(x)=2\lnx-x+a，求導(dǎo)分析g(x)在[1,e]上的單調(diào)性，得a的取值范圍。20.

答案：最小值為\frac{1}{2}，此時(shí)x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}或x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}（舍去負(fù)根，故x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}）。解析：聯(lián)立y=x^2-x與y=-x^2+1，解得交點(diǎn)，分析f(x)圖像，得最小值及對(duì)應(yīng)x值。二、三角函數(shù)與解三角形（15題）基礎(chǔ)鞏固1.

答案：\cos\alpha=-\frac{4}{5}，\tan\alpha=-\frac{3}{4}。解析：由\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)，得\cos\alpha=-\frac{4}{5}，\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}。2.

答案：-\tan\alpha。解析：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)各三角函數(shù)，約分后可得結(jié)果。3.

答案：最小正周期\pi；單調(diào)遞增區(qū)間[k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}]，k\inZ；對(duì)稱軸方程x=k\pi+\frac{5\pi}{12}，k\inZ。解析：根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，T=\frac{2\pi}{2}=\pi；令2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}得單調(diào)遞增區(qū)間；令2x-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}得對(duì)稱軸方程。4.

答案：c=\sqrt{7}；面積\frac{3\sqrt{3}}{2}。解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2ab\cosC得c=\sqrt{7}；面積S=\frac{1}{2}ab\cosC=\frac{3\sqrt{3}}{2}。5.

答案：\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=3；\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta=\frac{2}{5}。解析：分子分母同除以\cos\theta，得\frac{\tan\theta+1}{\tan\theta-1}=3；\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta=\frac{\tan^2\theta-\tan\theta}{\tan^2\theta+1}=\frac{2}{5}。能力提升6.

答案：最小正周期\pi；最大值\frac{5}{2}，最小值1。解析：化簡(jiǎn)f(x)=\frac{3}{2}+\sin(2x+\frac{\pi}{6})，T=\frac{2\pi}{2}=\pi；x\in[0,\frac{\pi}{2}]時(shí)，2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]，故最大值為\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}，最小值為\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1。7.

答案：B=\frac{2\pi}{3}。解析：由正弦定理將邊化為角，\frac{\cosB}{\cosC}=-\frac{\sinB}{2\sinA+\sinC}，整理得2\sinA\cosB+\sinC\cosB+\sinB\cosC=0，即2\sinA\cosB+\sinA=0，\sinA\neq0，故\cosB=-\frac{1}{2}，B=\frac{2\pi}{3}。8.

答案：\frac{1}{2}。解析：由\alpha,\beta為銳角，得\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{7}，\sin(\alpha+\beta)=\frac{5\sqrt{3}}{14}，\cos\beta=\cos[(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos(\alpha+\beta)\cos\alpha+\sin(\alpha+\beta)\sin\alpha=\frac{1}{2}。9.

答案：最