《抽象代數(shù)初步》課程大綱一、課程簡(jiǎn)介該教程是面向本科大二年級(jí)數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生，在修完《高等代數(shù)》、《解析幾何》之后的后繼課程。本課程主要研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)及其相互關(guān)系，它從具體的算術(shù)和方程求解中抽象出來(lái)，探討更為普遍的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如群、環(huán)、域等。這些結(jié)構(gòu)不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，還在計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠掌握抽象代數(shù)的基本理論和方法，還能培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)幾何、數(shù)論等高級(jí)課程奠定基礎(chǔ)。課程注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，通過(guò)大量例題和習(xí)題幫助學(xué)生深入理解抽象概念，并了解其在現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)中的應(yīng)用。教學(xué)安排本課程可一學(xué)期講授完成。具體課時(shí)如下安排：第一章群論（約22課時(shí)）1.1集合（2課時(shí)），1.2群（3課時(shí)），1.3置換群（3課時(shí)），1.4子群（4課時(shí)），1.5同態(tài)（3課時(shí)），1.6商群（3課時(shí)），1.7群作用（3課時(shí)），1.8群直積（2課時(shí)）。第二章環(huán)論（約20課時(shí)）2.1環(huán)的概念（4課時(shí)），2.2環(huán)同態(tài)與理想（3課時(shí)），2.3商環(huán)與積環(huán)（4課時(shí)），2.4交換環(huán)（3課時(shí)），2.5唯一分解性（4課時(shí)），2.6分式域（2課時(shí)）。第三章域與伽羅瓦理論（約11課時(shí)）3.1域的擴(kuò)張（3課時(shí)），3.2分裂域（4課時(shí)），3.3伽羅瓦群（4課時(shí)）。教學(xué)內(nèi)容本課程每章節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)如下：群論§1.1集合集合的概念、基本運(yùn)算以及映射的相關(guān)概念屬回顧復(fù)習(xí)的內(nèi)容，可簡(jiǎn)單帶過(guò)。等價(jià)關(guān)系與商集是這節(jié)的一個(gè)核心部分，并貫穿到后面的諸多章節(jié)，例如陪集、商群、群作用、商環(huán)等。【重點(diǎn)與難點(diǎn)】1.注意區(qū)分逆映射與逆像的符號(hào)和含義。2.理解基數(shù)的含義。3.掌握等價(jià)關(guān)系的含義，了解完全代表系，掌握商集的內(nèi)涵?！?.2群群的概念由公理化給出，較為恰當(dāng)和易于接受的方式是從以前接觸的實(shí)例加以總結(jié)歸納，進(jìn)而得到群的概念。運(yùn)用魔方作為群的例子展示可提升學(xué)生的興趣。以橢圓曲線作為群的例子，可簡(jiǎn)略提及，開(kāi)拓學(xué)生視野?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.掌握群的概念，注意群的概念里隱含者乘法的封閉性。2.群的單位元和逆元的唯一性。3.群的階。4.交換群與非交換群的例子。5.元素的冪。6.元素乘積的逆元。§1.3置換群置換群在群論中具有重要地位，它是群論發(fā)展的歷史起點(diǎn)之一，也是理解抽象群概念的直觀模型。該節(jié)內(nèi)容包括置換、循環(huán)的概念與性質(zhì)；軌道與置換的結(jié)構(gòu)表示；置換的矩陣表示；奇偶置換?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.掌握置換、循環(huán)的概念與表達(dá)，熟悉n元對(duì)稱群的例子。2.理解軌道的概念及其在置換結(jié)構(gòu)表示中的應(yīng)用。3.循環(huán)的逆元的表示。4.置換所對(duì)應(yīng)的置換矩陣?！?.4子群子群是群論中的一個(gè)基本概念，它在研究群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)中扮演著核心角色。子群不僅幫助我們理解群的內(nèi)部構(gòu)造，還為研究群的分類、表示和應(yīng)用提供了重要工具。本節(jié)內(nèi)容包括以下方面：子群的判定，循環(huán)子群的概念，群中元素的階，兩個(gè)元素生成的群的例子，陪集的概念和性質(zhì)，指數(shù)與拉格朗日定理。【重點(diǎn)與難點(diǎn)】1.有限群的子群的判定。2.循環(huán)群中任意元素是階數(shù)的計(jì)算。3.二面體群、交錯(cuò)群與哈密爾頓四元數(shù)群的結(jié)構(gòu)。4.陪集與子群給出的等價(jià)關(guān)系。5.拉格朗日定理?！?.5同態(tài)群同態(tài)是研究群的核心概念，用以比較不同群之間的結(jié)構(gòu)，識(shí)別群的類別。正規(guī)子群的引入可以作為同態(tài)的核進(jìn)行，也可以通過(guò)左右陪集的分解介紹，二者是等價(jià)的。進(jìn)而引入單群，可簡(jiǎn)單俯瞰歷史上有限單群的分類問(wèn)題及魔群的“月光猜想”，提高學(xué)生興趣?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.群同態(tài)的概念和性質(zhì)，注意群同態(tài)保持元素乘積的順序。2.核的性質(zhì)與正規(guī)子群的概念。3.自同構(gòu)群、內(nèi)自同構(gòu)群和中心的概念?！?.6商群探討陪集空間上是否具有典范的群結(jié)構(gòu)，便引出了商群的問(wèn)題。商群和正規(guī)子群相聯(lián)系，因?yàn)槎x商群的陪集空間恰好是正規(guī)子群對(duì)應(yīng)的陪集空間。商群也和同態(tài)聯(lián)系在一起，同態(tài)基本定理就是表述商群與同態(tài)像的同構(gòu)關(guān)系。此外，對(duì)應(yīng)定理是一個(gè)基本定理，探討滿同態(tài)之間子群與正規(guī)子群的對(duì)應(yīng)關(guān)系。作為對(duì)應(yīng)定理的應(yīng)用，我們探討了有限交換群中元素的階的問(wèn)題?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.商群的概念。2.同態(tài)基本定理。3.對(duì)應(yīng)定理。4.循環(huán)群的結(jié)構(gòu)。5.有限交換群的子群和元素的階?！?.7群作用群作用是研究群的性質(zhì)的重要工具。將群作用在合適是對(duì)象上，可以反映出群的特性。對(duì)群作用的空間分析，我們有軌道的概念和空間元素的穩(wěn)定化子。元素的穩(wěn)定化子所對(duì)應(yīng)的陪集空間與元素的軌道中包含的元素有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。群作用給出等價(jià)關(guān)系，其等價(jià)類就是軌道，從而作用空間可以劃分為軌道的無(wú)交并。群到自身的一個(gè)典范作用是共軛作用，作為應(yīng)用可以得到柯西定理的證明?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.群作用的概念與例子。2.軌道與穩(wěn)定化子的概念和關(guān)系。3.共軛作用。4.柯西定理。§1.8群直積與半直積群的直積與半直積是構(gòu)造新的群的常用手法，也是研究群結(jié)構(gòu)的工具。群的直積實(shí)際上就是集合的笛卡爾積，運(yùn)算是對(duì)應(yīng)分量相乘。內(nèi)直積也可以通過(guò)子群滿足的性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)。運(yùn)用直積探究了有限群的最小非平凡正規(guī)子群的結(jié)構(gòu)，并借助此結(jié)論證明5階及以上交錯(cuò)群的單性。群的半直積也是常用構(gòu)造群的方法，推廣了直積的概念?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.群直積的概念與性質(zhì)。2.5階及以上交錯(cuò)群的單性。3.正規(guī)化子的概念。4.群半直積的概念。§1.9有限生成的交換群有限生成的交換群結(jié)構(gòu)比較清楚，包含自由部分和撓部分，是這兩部分的直和。自由部分由其秩唯一決定，撓部分的結(jié)構(gòu)也有明顯的特點(diǎn)。有理數(shù)域上的橢圓曲線的群就是有限生成的交換群。該群是當(dāng)前數(shù)論研究的前沿領(lǐng)域之一，尤其是相關(guān)的BSD猜想?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.撓群的概念與結(jié)構(gòu)。2.有限交換p群的結(jié)構(gòu)。3.有限生成交換群的結(jié)構(gòu)。環(huán)論§2.1環(huán)的概念環(huán)是帶有加法和乘法兩種運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。環(huán)的基本分類有含幺環(huán)與不含幺環(huán)、交換環(huán)與非交換環(huán)。交換環(huán)又包括整環(huán)、域、域上的多項(xiàng)式環(huán)等；非交換環(huán)包括矩陣環(huán)、除環(huán)、四元數(shù)代數(shù)等。由環(huán)的概念可以導(dǎo)出環(huán)滿足的一些基本性質(zhì)。子環(huán)是環(huán)的子集，且構(gòu)成環(huán)。環(huán)中元素可分為可逆元、不可逆元；不可逆元又包括零因子和非零因子。最后，有限環(huán)有一些特性，如有限整環(huán)是域，有限除環(huán)也是域?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.環(huán)的概念。2.環(huán)的基本例子。3.零環(huán)、子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域、四元數(shù)。4.單位、單位群、零因子。5.有限環(huán)的性質(zhì)。§2.2環(huán)同態(tài)與理想環(huán)同態(tài)是研究環(huán)性質(zhì)的重要手段與方法，具體說(shuō)就是保持環(huán)運(yùn)算的映射，分為一般環(huán)同態(tài)和環(huán)同構(gòu)。和環(huán)同態(tài)相伴的對(duì)象就是核與像，那么同態(tài)核就是理想，同態(tài)像就是子環(huán)。理想是研究環(huán)的又一工具，分為左、右理想和雙邊理想。根據(jù)理想的生成集可分為無(wú)限生成理想和有限生成理想，特別地，一個(gè)元素生成的理想是主理想。理想之間有和、積、交等基本運(yùn)算?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.環(huán)同態(tài)的概念。2.核與像的性質(zhì)。3.理想的概念。4.有限生成理想、主理想。5.理想的運(yùn)算?！?.3商環(huán)與積環(huán)商環(huán)是環(huán)關(guān)于理想的商集，并賦予其典范的加法和乘法。環(huán)的特征是環(huán)的一個(gè)重要屬性。環(huán)同態(tài)基本定理則是描述環(huán)關(guān)于同態(tài)核的商環(huán)與其像同構(gòu)。環(huán)同態(tài)之間理想存在一個(gè)典范對(duì)應(yīng)。積環(huán)是一些環(huán)的直積并賦予典范的運(yùn)算。環(huán)中有一些特殊元素稱為冪等元，利用冪等元可以給出交換環(huán)是積環(huán)的一個(gè)刻畫(huà)。中國(guó)剩余定理描述了環(huán)與一些互素的理想對(duì)應(yīng)的商環(huán)的積環(huán)的同構(gòu)關(guān)系。【重點(diǎn)與難點(diǎn)】1.商環(huán)的概念。2.環(huán)同態(tài)定理。3.環(huán)特征。4.積環(huán)的概念與性質(zhì)。5.冪等元及其性質(zhì)。6.中國(guó)剩余定理?！?.4交換環(huán)交換環(huán)是一類基本的環(huán)，本節(jié)主要研究域上的多項(xiàng)式環(huán)的基本性質(zhì)，也包括交換環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)。域上的多項(xiàng)式環(huán)的基本性質(zhì)和高等代數(shù)里面研究的大體一致，包括帶余除法、根與整除的關(guān)系。特別地，域上多項(xiàng)式的根的個(gè)數(shù)不超過(guò)其次數(shù)。域的有限乘法子群一定是循環(huán)群。兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因子不因其域的擴(kuò)大而改變。主理想環(huán)的每個(gè)理想都是主理想，整數(shù)環(huán)、域上的一元多項(xiàng)式環(huán)都是主理想整環(huán)。所有的代數(shù)整數(shù)構(gòu)成環(huán)?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.交換環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)的相關(guān)概念。2.根的概念和性質(zhì)。3.域的有限乘法子群。4.多項(xiàng)式函數(shù)。5.主理想整環(huán)的概念和例子。6.代數(shù)整數(shù)環(huán)的概念和例子?！?.5唯一分解性唯一分解整環(huán)是對(duì)整數(shù)和域上的多項(xiàng)式分解性質(zhì)的推廣。根據(jù)對(duì)素?cái)?shù)性質(zhì)推廣方式的不同又分為不可約元和素元。素元一定是不可約元，反之未必成立。但在唯一分解整環(huán)中素元與不可約元等價(jià)。素元的性質(zhì)推廣到理想是素理想，從商環(huán)的角度看即商環(huán)是整環(huán)所對(duì)應(yīng)的理想。按理想的包含關(guān)系則有極大理想，從商環(huán)的角度看即商環(huán)是域所對(duì)應(yīng)的理想?？紤]域上的多項(xiàng)式環(huán)的商環(huán)，則我們可以構(gòu)造任一多項(xiàng)式的根，特別地，復(fù)數(shù)域可以作為實(shí)數(shù)域的多項(xiàng)式環(huán)的商環(huán)。通過(guò)研究理想的升鏈條件可得到唯一分解整環(huán)的一個(gè)等價(jià)刻畫(huà)。進(jìn)一步可知，主理想整環(huán)都是唯一分解整環(huán)。對(duì)于二次代數(shù)整數(shù)環(huán)有至今尚未破解的高斯猜想?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.唯一分解整環(huán)的概念。2.不可約元和素元。3.非唯一分解整環(huán)的例子。4.素理想與極大理想。5.多項(xiàng)式根的構(gòu)造與克羅奈克定理。6.理想的升鏈條件。§2.6分式域與局部化對(duì)于一般的整環(huán)，都可以構(gòu)造分式域。分式域直觀上就是將整環(huán)的非零元變成分母，這中直觀可以通過(guò)等價(jià)關(guān)系嚴(yán)格構(gòu)造。如果選取的是整環(huán)的一般乘性子集，那么相應(yīng)的構(gòu)造就是局部化。交換環(huán)中的所有素理想的集合稱為素譜。在局部化之下，整環(huán)的與乘性子集不交的素理想與局部化環(huán)的素理想有一一對(duì)應(yīng)。【重點(diǎn)與難點(diǎn)】1.分式域的概念。2.局部化的構(gòu)造。3.素譜。4.素理想在局部化下的對(duì)應(yīng)。域與伽羅瓦理論§3.1域的擴(kuò)張將一個(gè)域看成更大域的子域就是域的擴(kuò)張，可分為有限擴(kuò)張、無(wú)限擴(kuò)張。添加有限個(gè)元素的擴(kuò)張是有限生成擴(kuò)張，特別地，添加一個(gè)元素的擴(kuò)張是單擴(kuò)張。添加代數(shù)元的擴(kuò)張是代數(shù)擴(kuò)張是代數(shù)擴(kuò)張。有限擴(kuò)張一定是代數(shù)擴(kuò)張。經(jīng)典的幾何作圖問(wèn)題可通過(guò)域擴(kuò)張的角度考慮。據(jù)此，我們證明三等分任意角、倍立方問(wèn)題、正七邊形的尺規(guī)作圖都是不可解的?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.有限擴(kuò)張、單擴(kuò)張、代數(shù)擴(kuò)張的概念。2.兩層有限擴(kuò)張的次數(shù)公式。3.有限擴(kuò)張與代數(shù)擴(kuò)張的關(guān)系。4.三等分任意角、倍立方、正七邊形的尺規(guī)作圖的域擴(kuò)張解釋。§3.2分裂域多項(xiàng)式的分裂域是包含該多項(xiàng)式根的最小域。了解常見(jiàn)的多項(xiàng)式的分裂域的例子。掌握多項(xiàng)式分裂域的存在性定理。了解分裂域在同構(gòu)下的唯一性，并由此得出具有相同元素的有限域一定是同構(gòu)的。了解分圓域的例子。掌握正規(guī)擴(kuò)張的概念，并了解分裂域用正規(guī)擴(kuò)張的刻畫(huà)?！局攸c(diǎn)與難點(diǎn)】1.分裂域的概念。2.分裂域的存在性和唯一性定理。3.正規(guī)擴(kuò)張的概念。4.分裂域與正規(guī)擴(kuò)張的關(guān)系。5.有限域的唯一性。6.分圓域?！?.3伽羅瓦群伽羅瓦