1/10專題10二次函數(shù)中的特殊四邊形存在性問題的四類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、二次函數(shù)中的平行四邊形存在性問題類型二、二次函數(shù)中的矩形存在性問題類型三、二次函數(shù)中的菱形存在性問題類型四、二次函數(shù)中的正方形存在性問題壓軸專練類型一、二次函數(shù)中的平行四邊形存在性問題1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設(shè)動點P、Q，分以AB為邊或?qū)蔷€兩類，利用平行四邊形對邊平行且相等或?qū)蔷€互相平分性質(zhì)分析。2.解題技巧：用中點坐標(biāo)公式（對角線中點重合）列方程，結(jié)合拋物線表達(dá)式消元；借向量平行（坐標(biāo)差相等）簡化關(guān)系，注意動點范圍。3.解題方法：代數(shù)法聯(lián)立中點或向量方程求解；輔以幾何法（平移定點得動點軌跡），驗證四點不共線及圖形合理性。例1．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點）、A兩點，且二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，點B在y軸上，．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P，連接，，求面積的最大值；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式】如圖，拋物線與x軸交于、兩點點在點左側(cè)，直線與拋物線交于、兩點，其中點的橫坐標(biāo)為．(1)求、兩點的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求三角形面積的最大值；(3)點是拋物線上的動點，在軸上是否存在點，使、、、這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出所有滿足條件的點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．類型二、二次函數(shù)中的矩形存在性問題1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設(shè)動點P、Q，分以AB為邊或?qū)蔷€，利用矩形“對角線互相平分且相等”或“平行四邊形+一角為直角”的性質(zhì)分析。2.解題技巧：用中點坐標(biāo)公式（對角線中點重合）和勾股定理（對角線等長）列方程，借拋物線表達(dá)式消元；結(jié)合斜率（垂直時積為-1）驗直角，限定動點范圍。3.解題方法：代數(shù)法聯(lián)立對角線條件方程求解；先證平行四邊形再驗證直角（斜率法），結(jié)合圖形驗合理性。例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸分別相交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線經(jīng)過B、C兩點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)拋物線的頂點為M，點N是y軸上一點，點Q是平面內(nèi)一點，是否存在以B、M、N、Q為頂點的四邊形是以BM為邊的矩形？若存在，請求出點N、Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式】如圖1，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點、B，與y軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式．(2)求三角形的面積；(3)若點P是拋物線在一象限內(nèi)上方一動點，連接，是否存在點P，使四邊形的面積為18，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(4)如圖2，若點Q是拋物線上一動點，在平面內(nèi)是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，為邊的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型三、二次函數(shù)中的菱形存在性問題1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設(shè)動點P、Q，分以AB為邊（鄰邊相等）或?qū)蔷€（對角線垂直平分）兩類，利用菱形“四邊相等”或“平行四邊形+鄰邊相等”性質(zhì)分析。2.解題技巧：用距離公式表邊長（四邊相等），中點坐標(biāo)公式（對角線平分），斜率乘積-1（對角線垂直）列方程，結(jié)合拋物線消元，限定動點范圍。3.解題方法：代數(shù)法聯(lián)立平行四邊形與鄰邊相等方程；先證平行四邊形，再驗四邊相等或?qū)蔷€垂直，結(jié)合圖形驗合理性。例3．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸分別交于點，點，點是直線上方的拋物線上一動點.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，，并把沿軸翻折，得到四邊形，若四邊形為菱形，請求出此時點的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標(biāo)和四邊形的最大面積.【變式】如圖，拋物線與x軸交于點和點．與y軸交于點C，連接，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)點P是直線下方拋物線上的一個動點，過點P作的平行線l，交線段于D．①試探究：在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；②設(shè)拋物線的對稱軸與直線l交于點M，與直線交于點N．當(dāng)時，請直接寫出的長．類型四、二次函數(shù)中的正方形存在性問題1.解題思路：確定拋物線定點（如A、B），設(shè)動點P、Q，分以AB為邊（鄰邊等且垂直）或?qū)蔷€（對角線等且垂直平分），利用正方形“四邊等+四角直”或“菱形+矩形”性質(zhì)分析。2.解題技巧：用距離公式（邊等）、斜率積-1（垂直）、中點重合（對角線平分）列方程，借拋物線消元，結(jié)合圖形限動點范圍。3.解題方法：代數(shù)法聯(lián)立鄰邊等與垂直方程；先證矩形再驗鄰邊等，或先菱形再驗直角，結(jié)合圖形驗合理性。例4．如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點是第二象限拋物線上的動點，軸，交直線于點，點在軸上，點在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，，D為拋物線的頂點．(1)求a，b的值．(2)如圖2，連接，在線段上有一動點P（不與點O，B重合），過點P作軸，交直線于點E，①當(dāng)直線經(jīng)過點D時，求的長；②以為邊在的左側(cè)作正方形，當(dāng)點F在拋物線上時，求點P的坐標(biāo)．一、解答題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（、為常數(shù)）與軸交于、兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點．(1)求該拋物線的解析式：(2)若，請求出點的坐標(biāo)；(3)連接，直線上有一動點，點為坐標(biāo)平面上一個動點，若以、、、四點為頂點的四邊形為正方形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．2．已知拋物線的圖象經(jīng)過點，．其對稱軸為直線，與軸的另一交點為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點在線段上，過點作軸于點，以為對角線作正方形（點在右側(cè)），當(dāng)點在拋物線上時，求點的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，，，試證明為直角三角形；(3)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使以為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點，與y軸交于C點．(1)求拋物線表達(dá)式；(2)點P是直線上方的拋物線上的一動點（不與B、C重合），是否存在點P，使的面積最大．若存在，請求出的最大面積，若不存在，試說明理由；(3)若點M在x軸上，點N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M點坐標(biāo)．5．綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸為直線．(1)求拋物線的解析式；(2)圖2中，對稱軸直線與軸交于點H，連接，求四邊形的面積；(3)點是直線上一點，點是平面內(nèi)一點，是否存在以BC為邊，以點B，C，F(xiàn)，G為頂點的菱形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A在點B的左側(cè)，點Р是直線下方的拋物線上一動點．(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)．(2)過點P作x軸的垂線，交于點E，過點E作y軸的垂線，交y軸于點F，求的最大值以及此時P點的坐標(biāo)．(3)將拋物線沿方向平移個單位，點H是新拋物線的頂點，點Q是新拋物線對稱軸上的一個動點，點M是平面內(nèi)一點，若以A，Q、H、M為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的M點坐標(biāo)．7．如圖，拋物線與軸交于，頂點為．(1)求拋物線的解析式；(2)為拋物線上一點，當(dāng)時，求點坐標(biāo)；(3)點是軸上的一個動點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一個動點，是否存在這樣的點、，使得以為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出的坐標(biāo)；若不存在說明理由．8．如圖1，拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)P是拋