第第頁(yè)人教A版高一（上）數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)1.4.1充分條件與必要條件教學(xué)設(shè)計(jì)課題1.4充分條件與必要條件課型新授課課時(shí)2課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解充分條件、必要條件與充要條件的意義．2．結(jié)合具體命題掌握判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法．3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要性的證明．學(xué)習(xí)重點(diǎn)充分條件與必要條件概念的概念的理解；學(xué)習(xí)難點(diǎn)必要條件的理解;充分條件、必要條件的判斷方法學(xué)情分析本節(jié)內(nèi)容比較抽象，首先從命題出發(fā)，分清命題的條件和結(jié)論，看條件能否推出結(jié)論，從而判斷命題的真假；然后從命題出發(fā)結(jié)合實(shí)例引出充分條件、必要條件、充要條件這三個(gè)概念，再詳細(xì)講述概念，最后再應(yīng)用概念進(jìn)行論證.核心知識(shí)判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法1.4.1充分條件與必要條件教師個(gè)人復(fù)備引入新知:一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．判斷為真的語(yǔ)句是真命題，判斷為假的語(yǔ)句是假命題．中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p，則q”“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論．下面我們將進(jìn)一步探究“若p，則q”形式的命題中p和q的關(guān)系．思考探究知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件思考：下列“若,則”形式的命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?(1)若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)平行四邊形是菱形;(2)若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等,則這兩個(gè)三角形全等;(3)若,則;(4)若平面內(nèi)兩條直線和均垂直于直線,則.在命題(1)(4)中,由條件通過(guò)推理可以得出結(jié)論,所以它們是真命題.在命題(2)(3)中,由條件不能得出結(jié)論,所以它們是假命題.一般地,“若,則”為真命題,是指由通過(guò)推理可以得出.這時(shí),我們就說(shuō),由可以推出,記作并且說(shuō),是的充分條件(sufficientcondition),是的必要條件(necessarycondition).如果“若,則”為假命題,那么由條件不能推出結(jié)論,記作.此時(shí),我們就說(shuō)不是的充分條件,不是的必要條件.上述命題(1)(4)中的是的充分條件,是的必要條件,而命題(2)(3)中的不是的充分條件,不是的必要條件.總結(jié)新知“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件典例講解例1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？（1）若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；（2）若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；（3）若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形對(duì)角線互相垂直；（4）若，則；（5）若，則；（6）若x，y為無(wú)理數(shù)，則為無(wú)理數(shù).【解析】（1）這是一條平行四邊形的判定定理，，所以p是q的充分條件.（2）這是一條相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分條件.（3）這是一條菱形的性質(zhì)定理，，所以p是q的充分條件.（4）由于，但，，所以p不是q的充分條件.（5）由等式的性質(zhì)知，，所以p是q的充分條件（6）為無(wú)理數(shù)，但為有理數(shù)，，所以p不是q的充分條件.思考例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件,即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎?如果不唯一,那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎?我們說(shuō)是的充分條件,是指由條件可以推出結(jié)論,但這并不意味著只能由這個(gè)條件才能推出結(jié)論.一般來(lái)說(shuō),對(duì)給定結(jié)論,使得成立的條件是不唯一的.例如,我們知道,下列命題均為真命題:(1)若四邊形的兩組對(duì)邊分別相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;(2)若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;(3)若四邊形的兩條對(duì)角線互相平分,則這個(gè)四邊形是平行四邊形.所以,“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.事實(shí)上,例1中命題(1)及上述命題(1)(2)(3)均是平行四邊形的判定定理.所以,平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件,即這個(gè)條件能充分保證四邊形是平行四邊形.類似地,平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)充分條件,例如“內(nèi)錯(cuò)角相等”這個(gè)條件就充分保證了“兩條直線平行”.一般地,數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（1）若四邊形為平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等；（2）若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形；（4）若，則；（5）若，則；（6）若為無(wú)理數(shù)，則x，y為無(wú)理數(shù).【解析】（1）這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理，，所以，q是p的必要條件.（2）這是三角形相似的一條性質(zhì)定理，，所以，q是p的必要條件.（3）如圖1.4-1，四邊形的對(duì)角線互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要條件.（4）顯然，，所以，q是p必要條件.（5）由于，但，，所以，q不是p的必要條件.（6）由于為無(wú)理數(shù)，但1，不全是無(wú)理數(shù)，，所以，q不是p的必要條件.一般地,要判斷“若,則”形式的命題中是否為的必要條件,只需判斷是否有“”,即“若,則”是否為真命題.思考例2中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件,即“這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等”.這樣的必要條件是唯一的嗎?如果不唯一,你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個(gè)其他必要條件嗎?我們說(shuō)是的必要條件,是指以為條件可以推出結(jié)論,但這并不意味著由條件只能推出結(jié)論.一般來(lái)說(shuō),給定條件,由可以推出的結(jié)論是不唯一的.例如,下列命題都是真命題:(1)若四邊形是平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等;(2)若四邊形是平行四邊形,則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等;(3)若四邊形是平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分.這表明,“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”“四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件.我們知道,例2中命題(1)及上述命題(1)(2)(3)均為平行四邊形的性質(zhì)定理.所以,平行四邊形的每條性質(zhì)定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件.類似地,平行線的每條性質(zhì)定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)必要條件,例如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件,也就是說(shuō),如果同位角不相等,那么就不可能有“兩直線平行”.一般地,數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.隨堂小練1.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？（1）若平面內(nèi)點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，則；（2）若兩個(gè)三角形的兩邊及一邊所對(duì)的角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；（3）若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的面積比等于周長(zhǎng)比的平方.【解析】（1）線段垂直平分線的性質(zhì)，，p是q的充分條件；（2）三角形的兩邊及一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等，，p不是q的充分條件；（3）相似三角形的性質(zhì)，，p是q的充分條件.【點(diǎn)睛】本題考查判斷是否為充分條件，屬于簡(jiǎn)單題.2.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（1）若直線l與⊙o有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則l為⊙（2）若x是無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù).【解析】（1）這是圓的切線定義，，所以q是p的必要條件；（2）由于是無(wú)理數(shù)，但不是無(wú)理數(shù)，，所以q不是p的必要條件.【點(diǎn)睛】本題考查判斷是否為必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.3.如圖，直線a與b被直線1所截，分別得到了，，和.請(qǐng)根據(jù)這些信息，寫出幾個(gè)“”的充分條件和必要條件.【解析】因?yàn)閮?nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到，所以“”的充分條件：，，；因?yàn)榭梢缘玫絻?nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以“”的必要條件：，，.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.課堂小結(jié):1.定義法判斷充分條件的步驟：(1)分清“條件p”與“結(jié)論q”.(