平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算一、單選題1．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則（

）A．2 B． C． D．2．已知平面向量的夾角為，且，則（

）A．4 B．4 C．8 D．83．已知向量，，若與的夾角為，則為（

）A． B． C． D．14．已知在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，，則（

）A．24 B．6 C．18 D．5．直角中，為的外心，（

）A．4 B． C．2 D．6．在中，已知，，，，分別是，邊上的中線，則（

）A． B． C． D．7．四邊形ABCD中，，，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．－38．梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E在線段BD上，點(diǎn)F在線段AC上，且，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．已知正三角形的邊長(zhǎng)為6，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與的夾角為120° D．11．是的重心，，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值為12．在△ABC中，，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，則B．若E是AB的中點(diǎn)，BF與CE相交于點(diǎn)Q，則C．若點(diǎn)P在線段AC上，則的值可以是－D．若E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則為定值三、填空題13．在中，已知，，，則____________.14．邊長(zhǎng)為2的正方形，E為的中點(diǎn)，則的值為___________．15．已知向量，，滿足，，，，，則_________.16．騎自行車是一種環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，的最大值為______.17．在中，，，E是中點(diǎn)，則______.18．在菱形ABCD中，，已知點(diǎn)M在線段EF上，且，則___，若點(diǎn)N為線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___．19．定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“”，記（其中是非零向量，的夾角）．若，均為單位向量，且，則________．20．已知同一平面上的和分別是邊長(zhǎng)為2和4的正三角形（其中A，B，O和C，D，O均按逆時(shí)針排列），則的取值范圍是______．21．在中，，則的取值范圍是____________．22．在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是_____．四、解答題23．已知，是夾角為60°的單位向量，設(shè).(1)求；(2)求的最小值.24．已知，與的夾角是.(1)求的值及的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)，？25．已知平面向量已知平面向量，，，且與的夾角為.(1)求；(2)求(3)若與垂直，求的值.26．如圖，在中，，為邊的中點(diǎn)．設(shè)向量，向量，求：(1)；(2)求．27．如圖，在平行四邊形中，若，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊BC，CD上，且．(1)以為基底分別表示，；(2)求的值．28．如圖，在平面四邊形中，，，，，、分別是，的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且.設(shè)，.(1)若，以，為基底表示向量與；(2)若，求的取值范圍.29．在如圖所示的平面圖形中，，，求：(1)設(shè)，求的值；(2)若且，求的最小值.30．已知向量?的夾角為，且，設(shè)，.(1)求；(2)試用來表示的值；(3)若與的夾角為鈍角，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案一、單選題1．【答案】B【分析】由向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是注意兩向量的夾角，在判斷向量夾角時(shí)是起點(diǎn)重合，判斷夾角.2．【答案】C【分析】直接利用數(shù)量定義求解即可【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄康膴A角為，且，所以，故選：C3．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，若與的夾角為，所以，故選：B.4．【答案】A【分析】由已知條件將用表示出來，然后再計(jì)算即可【詳解】因?yàn)椋?所以因?yàn)檫吶切蔚倪呴L(zhǎng)為6，所以，所以，故選：A5．【答案】B【分析】依題意可得為的中點(diǎn)，即可得到且，再代入求解即可．【詳解】解：直角中，，，為的外心，為的中點(diǎn)，即，且，，故選：B．6．【答案】D【分析】先求得，然后利用中線結(jié)合平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.【詳解】，，，則,,，，分別是，邊上的中線，則,，則，故選：D.7．【答案】D【分析】延長(zhǎng)交于，設(shè)，結(jié)合條件及數(shù)量積的定義可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】延長(zhǎng)交于，因?yàn)?，，∴，為等邊三角形，設(shè)，則，∴，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：D.8．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求得，，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求解即可【詳解】，，，，，．故選：D二、多選題9．【答案】CD【解析】分析知，，與的夾角是，進(jìn)而對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯(cuò)誤，D正確；由，所以，故A錯(cuò)誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點(diǎn)睛】本題考查正三角形的性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.10．【答案】AD【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則表示出、、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：，故A正確；同理可得，所以，故B錯(cuò)誤；如圖取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以與的夾角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確；故選：AD11．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)判斷A，根據(jù)投影向量的定義判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律判斷CD.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)為的重心時(shí)，如圖所示：四邊形為平行四邊形，根據(jù)重心性質(zhì)可得.則，∴A正確；對(duì)于B，∵在方向上的投影為，∴在方向上的投影向量為，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正確；對(duì)于D，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，，，則，顯然當(dāng)重合時(shí)，，取最小值，∴D正確.故選：ACD．12．【答案】AD【分析】以為基底，按題中要求表示出相關(guān)的向量，用數(shù)量積的公式計(jì)算即可.【詳解】選項(xiàng)A：若，則，則，故A正確.選項(xiàng)B：令，則所以；令，則.所以即，故B不正確.選項(xiàng)C：設(shè)，，則不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，即，所以不存在，故C不正確.選項(xiàng)D：設(shè)，則因?yàn)?，所以所?定值)，故D正確.故選：AD.三、填空題13．【答案】6【分析】用表示出后，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算律與定義計(jì)算，【詳解】由已知．故答案為：6．14．【答案】2【分析】以為基底，分別表示，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】，故答案為：215．【答案】6【分析】由，得，兩邊平方化簡(jiǎn)可得答案【詳解】由，得，兩邊平方，得，因?yàn)?，所以，?故答案為：.16．【解析】，則當(dāng)與同向，即時(shí)，取得最大值為.17．【答案】2【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解即可.【詳解】.故答案為：2.18．【答案】

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－##【分析】先利用平面向量基本定理求出，再求出，用基底表示，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求解最值.【詳解】設(shè),則，所以，解得，所以；平方可得,所以.設(shè)，則，；所以整理可得，當(dāng)時(shí)，取到最小值.故答案為：7，.19．【答案】【分析】由數(shù)量積的定義可得，的夾角，利用新定義和向量模長(zhǎng)的計(jì)算公式以及數(shù)量積的定義可得答案．【詳解】，且，，又，則；，故答案為：20．【答案】【分析】設(shè)，則，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)，所以，，，，．故答案為：．21．【答案】【分析】由向量數(shù)量積的定義及正弦定理、兩角差的正弦公式變形得，由等腰三角形的性質(zhì)及向量的加法法則得邊上的中線長(zhǎng)，這樣可用角表示出邊，然后由數(shù)量積的定義求得數(shù)量積，利用二倍角公式，余弦函數(shù)的性質(zhì)得其范圍．【詳解】記，，，由正弦定理得，，，所以，，設(shè)是邊上的中線，如圖，則，，，，，，，則，，，所以．故答案為：．22．【答案】【分析】根據(jù)平面向量運(yùn)算法則得到，利用數(shù)量積公式得到，設(shè)，從而得到，結(jié)合求出取值范圍.【詳解】因?yàn)槭堑闹芯€，所以，故，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)或3時(shí)，.故答案為：.四、解答題23．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積定義直接計(jì)算可得；（2）利用性質(zhì)，將所求問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)最值問題.(1)由向量，為夾角為60°的單位向量，可得，.所以.(2)∵，∴，∴.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為.24．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由定義求出數(shù)量積，再利用模長(zhǎng)公式及向量數(shù)量積的運(yùn)算律即得；（2）由于，可得，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解．【詳解】（1）∵，與的夾角是，∴，；（2）由題意，，即，解得，即時(shí)，.25．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意，根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積的定義式，可得答案；（2）由（1），根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，求解模長(zhǎng)，可得答案；（3）根據(jù)垂直向量的數(shù)量積性質(zhì)，可得答案.（1），，.（2），∴.（3）若與垂直，則，即，∴，即，∴.26．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算出即可.（2）變形，然后利用數(shù)量級(jí)的運(yùn)算率計(jì)算即可.【詳解】（1），.（2）.27．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加減法法則結(jié)合已知條件求解即可，（2）由（1）可得，化簡(jiǎn)計(jì)算即可（1）因?yàn)?，所以，，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，所?（2）因?yàn)椋?，所?8．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算可求得向量與；（2）先表示向量，再運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，從而可求得取值范圍.(1)解：，所以；因?yàn)?，所以，所以?2)解：，所以，又，，，所以，所以因?yàn)椋?，所以，所以的取值范圍?29．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量減法得，再根據(jù)向量共線可得，進(jìn)而得答案；（2）由題知，設(shè)設(shè)，進(jìn)而得，再結(jié)合二次函數(shù)