2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——圖論與網(wǎng)絡(luò)分析的研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的連通無向圖中，至少有________條邊。一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的無向圖，其鄰接矩陣是一個(gè)________矩陣。2.設(shè)無向圖G=(V,E)，|V|=6,|E|=10。若G是歐拉圖，則G中歐拉回路的長度為________。若G是哈密頓圖，則G中哈密頓回路的長度為________。3.Prim算法和Kruskal算法都是用于求解無向連通圖的最小生成樹的算法。Prim算法適用于邊稀疏的圖，通常使用________來實(shí)現(xiàn)；Kruskal算法適用于邊稠密的圖，通常使用________來實(shí)現(xiàn)。4.在有向圖G=(V,A)中，如果從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)v存在一條有向路徑，則稱u是v的________，v是u的________。5.設(shè)網(wǎng)絡(luò)N=(V,A,C)中，|V|=6，|A|=10。若N的最大流量為30，根據(jù)最大流最小割定理，N中至少存在一個(gè)割集S，使得|{(u,v)∈A|u∈S,v∈S^}|=________。二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列關(guān)于樹的說法中，錯(cuò)誤的是：A.樹是連通且無圈的無向圖。B.樹的任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在唯一的一條路徑。C.樹的頂點(diǎn)數(shù)n和邊數(shù)e之間滿足關(guān)系n=e+1。D.任何一棵非平凡的樹至少有兩個(gè)度數(shù)為1的頂點(diǎn)。2.對(duì)于有向圖G=(V,A)，如果從任意頂點(diǎn)u∈V到任意頂點(diǎn)v∈V（u≠v）都存在一條有向路徑，則稱G是：A.強(qiáng)連通圖。B.弱連通圖。C.半連通圖。D.不連通圖。3.Dijkstra算法用于求解有向帶權(quán)圖中，從源點(diǎn)s到所有其他頂點(diǎn)的：A.最長路徑長度。B.短路長度。C.最小路徑長度。D.平均路徑長度。4.在Ford-Fulkerson算法中，用于尋找增廣路徑的搜索方法通常是：A.深度優(yōu)先搜索（DFS）。B.廣度優(yōu)先搜索（BFS）。C.并行搜索。D.隨機(jī)搜索。5.下列圖論問題中，屬于NP完全問題的是：A.最小生成樹問題。B.最短路徑問題。C.判定一個(gè)圖是否是哈密頓圖。D.判定一個(gè)圖是否是連通圖。三、判斷題（每題2分，共10分，請(qǐng)?jiān)陬}后括號(hào)內(nèi)打√或×）1.任何無向圖的最小生成樹都是唯一的。（）2.如果一個(gè)無向圖是歐拉圖，那么它一定包含一條歐拉回路。（）3.如果一個(gè)有向圖是強(qiáng)連通的，那么它也是弱連通的。（）4.Floyd-Warshall算法能夠求解有向帶權(quán)圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路徑。（）5.在網(wǎng)絡(luò)流問題中，增廣路徑上的瓶頸容量就是該路徑能夠增加的最大流量。（）四、計(jì)算題（每題8分，共32分）1.給定無向圖G的鄰接矩陣如下：```v0v1v2v3v00101v11010v20101v31010```（1）畫出該圖G。（2）求圖G的一棵最小生成樹，請(qǐng)給出構(gòu)造過程（Prim算法或Kruskal算法）。2.給定有向帶權(quán)圖G=(V,A)如下，其中V={v0,v1,v2,v3}，A包含以下邊及其權(quán)重（<u,v,w>表示從u到v的邊權(quán)重為w）：A={<v0,v1,4>,<v0,v2,1>,<v1,v2,2>,<v1,v3,1>,<v2,v3,3>}（1）使用Dijkstra算法求從源點(diǎn)v0到所有其他頂點(diǎn)的最短路徑長度。（2）寫出算法執(zhí)行過程中，得到的最短路徑長度集合dist和已確定最短路徑的頂點(diǎn)集合S的變化情況（只需記錄關(guān)鍵步驟）。3.給定網(wǎng)絡(luò)N=(V,A,C)，其中V={s,a,b,t},A包含以下邊及其容量（<u,v,c>表示從u到v的邊的容量為c）：A={<s,a,10>,<s,b,5>,<a,b,2>,<a,t,10>,<b,t,10>}（1）畫出該網(wǎng)絡(luò)N。（2）使用Ford-Fulkerson算法求網(wǎng)絡(luò)N的最大流量，請(qǐng)給出至少一個(gè)增廣路徑的尋找過程和相應(yīng)的流量調(diào)整過程。4.給定有向圖G=(V,A)，其中V={v0,v1,v2,v3,v4},A包含以下邊：A={<v0,v1>,<v0,v2>,<v1,v3>,<v2,v3>,<v3,v4>,<v4,v0>}（1）畫出該圖G。（2）判斷圖G是否是強(qiáng)連通圖。如果是，請(qǐng)給出一個(gè)強(qiáng)連通分量；如果不是，請(qǐng)說明理由，并找出所有強(qiáng)連通分量。五、證明題（每題10分，共20分）1.證明：任何無向連通圖至少包含n-1條邊，其中n是圖的頂點(diǎn)數(shù)。2.證明：如果無向圖G是哈密頓圖，那么對(duì)于G中任意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)u和v，G-u和G-v都包含哈密頓回路（其中G-u表示從G中刪除頂點(diǎn)u及其關(guān)聯(lián)的所有邊得到的圖）。---試卷答案一、填空題1.n-1;零一2.|E|+1;n3.優(yōu)先隊(duì)列;并查集4.前驅(qū);后繼5.4二、選擇題1.D2.A3.C4.B5.C三、判斷題1.×2.√3.√4.√5.√四、計(jì)算題1.（1）畫出的圖G如下（頂點(diǎn)標(biāo)為v0,v1,v2,v3）：```v0---v1|/||/||/|1v3---v2```（2）使用Prim算法（以v0為起始點(diǎn)）構(gòu)造最小生成樹過程：*初始化：U={v0},V-U={v1,v2,v3},最小生成樹邊集T={}。*在邊集{(u∈U,v∈V-U)|<u,v>∈E}中選最小權(quán)重邊：邊<v0,v2>(權(quán)重1)。U={v0,v2},V-U={v1,v3},T={<v0,v2>}.*在邊集{(u∈U,v∈V-U)|<u,v>∈E}中選最小權(quán)重邊：邊<v0,v1>(權(quán)重1)。U={v0,v1,v2},V-U={v3},T={<v0,v2>,<v0,v1>}.*在邊集{(u∈U,v∈V-U)|<u,v>∈E}中選最小權(quán)重邊：邊<v2,v3>(權(quán)重1)。U={v0,v1,v2,v3},V-U={},T={<v0,v2>,<v0,v1>,<v2,v3>}.*結(jié)束。得到一棵最小生成樹，邊集為{T={<v0,v2>,<v0,v1>,<v2,v3>}}，總權(quán)重為1+1+1=3。（注：使用Kruskal算法構(gòu)造過程類似，最終得到的最小生成樹邊集可能不同，但總權(quán)重相同）。2.（1）使用Dijkstra算法求從v0到所有頂點(diǎn)的最短路徑長度（假設(shè)圖中不存在負(fù)權(quán)重邊）：*初始化：dist={d(v0)=0,d(v1)=∞,d(v2)=∞,d(v3)=∞}，S={v0}。*考慮v0的鄰接點(diǎn)v1,v2：選擇d(v2)=1最小。u=v2。dist={d(v0)=0,d(v1)=∞,d(v2)=1,d(v3)=∞}，S={v0,v2}。*考慮v2的鄰接點(diǎn)v1,v3：選擇d(v1)=2（d(v1)更新為min(∞,1+2)=2）。u=v1。dist={d(v0)=0,d(v1)=2,d(v2)=1,d(v3)=∞}，S={v0,v2,v1}。*考慮v1的鄰接點(diǎn)v2,v3：選擇d(v3)=1（d(v3)更新為min(∞,2+1)=3）。u=v3。dist={d(v0)=0,d(v1)=2,d(v2)=1,d(v3)=3}，S={v0,v2,v1,v3}。*考慮v3的鄰接點(diǎn)v1（v0已在S中）：無需更新。u=v1（下一個(gè)未確定頂點(diǎn)）。dist不變，S={v0,v2,v1,v3}。*所有頂點(diǎn)已在S中，算法結(jié)束。最短路徑長度為：dist(v1)=2,dist(v2)=1,dist(v3)=3。（2）關(guān)鍵步驟變化記錄：*初始：dist={0,∞,∞,∞},S={v0}。*擴(kuò)展v2：dist={0,∞,1,∞},S={v0,v2}。*擴(kuò)展v1：dist={0,2,1,∞},S={v0,v2,v1}。*擴(kuò)展v3：dist={0,2,1,3},S={v0,v2,v1,v3}。*結(jié)束。3.（1）畫出的網(wǎng)絡(luò)N如下（頂點(diǎn)標(biāo)為s,a,b,t，邊旁標(biāo)注容量）：```s---a(10)|/||/||/|5b---t(10)\/|\/|10a(2)```（2）使用Ford-Fulkerson算法求最大流量：*初始流量f=0，所有邊流量為0。尋找增廣路徑P1：s->a->t(殘容量分別為10,10)。瓶頸容量c_P1=min(10,10)=10。調(diào)整流量：f=f+c_P1=10。更新殘容量：邊(s,a)為0，邊(a,t)為0。邊(a,s)為10，邊(t,a)為10。網(wǎng)絡(luò)變?yōu)椋篳``s---a(0/10)|/||/||/|5b---t(10)\/|\/|10a(2)```*尋找增廣路徑P2：s->b->t(殘容量分別為5,10)。瓶頸容量c_P2=min(5,10)=5。調(diào)整流量：f=10+5=15。更新殘容量：邊(s,b)為0，邊(b,t)為5。邊(b,s)為5，邊(t,b)為5。網(wǎng)絡(luò)變?yōu)椋篳``s---a(0/10)|/||/||/|0/5b---t(10/5)\/|\/|10a(2)```*尋找增廣路徑P3：s->a->b(殘容量分別為10,5)。瓶頸容量c_P3=min(10,5)=5。調(diào)整流量：f=15+5=20。更新殘容量：邊(s,a)為5，邊(a,b)為0。邊(a,s)為15,邊(b,a)為5。邊(b,s)為0,邊(t,b)為10。網(wǎng)絡(luò)變?yōu)椋篳``s---a(5/10)|/||/||/|0/5b---t(10/5)\/|\/|10a(2)```*尋找增廣路徑P4：s->a->t(殘容量分別為5,5)。瓶頸容量c_P4=min(5,5)=5。調(diào)整流量：f=20+5=25。更新殘容量：邊(s,a)為0，邊(a,t)為0。邊(a,s)為20,邊(t,a)為10。邊(a,b)為5，邊(b,a)為5。邊(b,s)為0,邊(t,b)為10。網(wǎng)絡(luò)變?yōu)椋篳``s---a(0/5)|/||/||/|0/5b---t(10/5)\/|\/|10a(2)```*無法找到更多增廣路徑（s到t的路徑被阻斷）。算法結(jié)束。最大流量為25。4.（1）畫出的圖G如下（頂點(diǎn)標(biāo)為v0,v1,v2,v3,v4）：```v0->v1^||vvv2->v3->v4->v0```（2）判斷強(qiáng)連通性：*檢查是否存在從每個(gè)頂點(diǎn)到其他所有頂點(diǎn)的有向路徑：*從v0：能到v1,v2，不能到v3,v4。*從v1：能到v0,v2,v3，不能到v4。*從v2：能到v0,v1,v3,v4。*從v3：能到v0,v1,v2,v4。*從v4：能到v0,v1,v2,v3。*由于存在頂點(diǎn)（如v0）無法到達(dá)所有其他頂點(diǎn)，圖G不是強(qiáng)連通圖。*找出所有強(qiáng)連通分量：*強(qiáng)連通分量1：{v2,v3,v4}。在這個(gè)子圖中，每個(gè)頂點(diǎn)都可以到達(dá)其他兩個(gè)頂點(diǎn)。*強(qiáng)連通分量2：{v0,v1}。在這個(gè)子圖中，v0可以到達(dá)v1，v1可以到達(dá)v0。*（注：{v0,v1}也是一個(gè)強(qiáng)連通分量）。五、證明題1.證明：設(shè)無向連通圖G=(V,E)，|V|=n。要證明G至少有n-1條邊。*反證法：假設(shè)G的邊數(shù)e<n-1。*考慮從G中刪除任意一條邊e。由于G是連通的，刪除一條邊后，剩下的圖G'仍然是連通的（否則原圖就不是連通的