2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在智能制造與機(jī)械設(shè)計(jì)工程中的實(shí)踐運(yùn)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)某機(jī)械零件的輪廓線可以近似看作由參數(shù)方程$$\begin{cases}x=R(1-\cost)\\y=R(t-\sint)\end{cases}$$（其中$R$為常數(shù)，$t\in[0,2\pi]$）描述。當(dāng)零件繞其中心旋轉(zhuǎn)時(shí)，其表面會(huì)形成螺旋面。為分析該螺旋面的性質(zhì)，需要計(jì)算其在$t=\frac{\pi}{2}$處的切平面方程。首先，計(jì)算該螺旋面上一點(diǎn)處的切向量。設(shè)螺旋面的參數(shù)方程為$$\mathbf{r}(t,\theta)=\left(R(1-\cost),R(t-\sint),h\theta\right)$$其中$h$為螺旋面的螺距，$\theta$為旋轉(zhuǎn)角度。計(jì)算$\mathbf{r}_t$和$\mathbf{r}_\theta$：$$\mathbf{r}_t=\left(R\sint,R(1-\cost),0\right),\quad\mathbf{r}_\theta=\left(0,0,h\right)$$在$t=\frac{\pi}{2}$處，$\mathbf{r}_t=\left(R,\frac{\pi}{2}R,0\right)$。計(jì)算切向量$\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta$：$$\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\R&\frac{\pi}{2}R&0\\0&0&h\end{vmatrix}=\left(\frac{\pi}{2}hR,-hR,0\right)$$該切向量為切平面的法向量。在$t=\frac{\pi}{2}$時(shí)，螺旋面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為$\left(R,\frac{\pi}{2}R,0\right)$。因此，切平面方程為：$$\frac{\pi}{2}hR(x-R)-hR\left(y-\frac{\pi}{2}R\right)=0$$化簡(jiǎn)得：$$\pix-2y+\piR=0$$二、在智能制造的零件加工過(guò)程中，需要精確控制刀具路徑以減少加工時(shí)間和保證表面質(zhì)量。假設(shè)某段加工路徑可由函數(shù)$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$描述，其中$a,b,c,d$為待定系數(shù)。已知該路徑在點(diǎn)$(1,2)$處的切線斜率為6，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$(0,1)$和$(2,3)$。根據(jù)題意，列出方程組求解$a,b,c,d$：1.$f(1)=a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d=2$2.$f'(1)=3a(1)^2+2b(1)+c=6$3.$f(0)=d=1$4.$f(2)=a(2)^3+b(2)^2+c(2)+d=3$將$d=1$代入方程組：1.$a+b+c+1=2\impliesa+b+c=1$2.$3a+2b+c=6$3.$8a+4b+2c+1=3\implies8a+4b+2c=2\implies4a+2b+c=1$用方程(1)和$(4a+2b+c=1)$構(gòu)造新方程組：$$\begin{cases}a+b+c=1\\4a+2b+c=1\end{cases}$$用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程：$$(4a+2b+c)-(a+b+c)=1-1\implies3a+b=0\impliesb=-3a$$將$b=-3a$代入方程$a+b+c=1$：$$a-3a+c=1\implies-2a+c=1\impliesc=2a+1$$將$b=-3a$和$c=2a+1$代入方程$3a+2b+c=6$驗(yàn)證：$$3a+2(-3a)+(2a+1)=3a-6a+2a+1=-a+1$$需滿(mǎn)足$-a+1=6\implies-a=5\impliesa=-5$。然后計(jì)算$b$和$c$：$$b=-3(-5)=15,\quadc=2(-5)+1=-10+1=-9$$得到$a=-5,b=15,c=-9,d=1$。因此，該加工路徑的函數(shù)為$f(x)=-5x^3+15x^2-9x+1$。三、在機(jī)械設(shè)計(jì)中，零件的疲勞壽命與其承受的循環(huán)應(yīng)力有關(guān)。某實(shí)驗(yàn)研究得到一組關(guān)于循環(huán)應(yīng)力$\sigma$(單位MPa)和對(duì)應(yīng)疲勞壽命$N$(單位cycles)的數(shù)據(jù)點(diǎn)：(100,50000),(200,20000),(300,8000),(400,3200),(500,1500)。假設(shè)疲勞壽命$N$與循環(huán)應(yīng)力$\sigma$之間符合威布爾分布的對(duì)數(shù)線性模型$\ln(-\ln(N))=a+b\sigma$。首先，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為$\ln(-\ln(N))$和$\sigma$：1.$\sigma=100,\ln(-\ln(N))=\ln(-\ln(50000))\approx\ln(0.013)\approx-4.317$2.$\sigma=200,\ln(-\ln(N))=\ln(-\ln(20000))\approx\ln(0.029)\approx-3.537$3.$\sigma=300,\ln(-\ln(N))=\ln(-\ln(8000))\approx\ln(0.057)\approx-2.856$4.$\sigma=400,\ln(-\ln(N))=\ln(-\ln(3200))\approx\ln(0.110)\approx-2.208$5.$\sigma=500,\ln(-\ln(N))=\ln(-\ln(1500))\approx\ln(0.219)\approx-1.515$使用最小二乘法擬合線性模型$Y=a+b\sigma$，其中$Y=\ln(-\ln(N))$。計(jì)算$\sum\sigma,\sumY,\sum\sigma^2,\sum\sigmaY$：$$\sum\sigma=100+200+300+400+500=1500$$$$\sumY=-4.317-3.537-2.856-2.208-1.515=-14.433$$$$\sum\sigma^2=100^2+200^2+300^2+400^2+500^2=10^4(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)=10^4\times55=550000$$$$\sum\sigmaY=100(-4.317)+200(-3.537)+300(-2.856)+400(-2.208)+500(-1.515)=-431.7-707.4-856.8-883.2-757.5=-3636.6$$樣本數(shù)量$n=5$。計(jì)算斜率$b$：$$b=\frac{n\sum\sigmaY-(\sum\sigma)(\sumY)}{n\sum\sigma^2-(\sum\sigma)^2}=\frac{5(-3636.6)-(1500)(-14.433)}{5(550000)-(1500)^2}$$$$b=\frac{-18183+21649.5}{2750000-2250000}=\frac{3466.5}{500000}=0.006933$$計(jì)算截距$a$：$$a=\frac{\sumY-b\sum\sigma}{n}=\frac{-14.433-0.006933\times1500}{5}=\frac{-14.433-10.4}{5}=\frac{-24.833}{5}=-4.9666$$得到回歸方程為$\ln(-\ln(N))\approx-4.9666+0.006933\sigma$。四、在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常需在給定約束條件下尋找某個(gè)函數(shù)的最小值或最大值。例如，設(shè)計(jì)一個(gè)體積為定值$V_0$的圓柱形罐體，使其表面積最小，以節(jié)省材料。設(shè)圓柱的半徑為$r$，高為$h$，體積$V=\pir^2h$，表面積$S=2\pir^2+2\pirh$。在體積$V_0$固定的情況下，即$V=\pir^2h=V_0$，要求表面積$S$最小。首先，利用約束條件消去一個(gè)變量。由$h=\frac{V_0}{\pir^2}$代入表面積公式：$$S(r)=2\pir^2+2\pir\left(\frac{V_0}{\pir^2}\right)=2\pir^2+\frac{2V_0}{r}$$對(duì)$S(r)$求導(dǎo)數(shù)：$$S'(r)=4\pir-\frac{2V_0}{r^2}$$令$S'(r)=0$求極值點(diǎn)：$$4\pir=\frac{2V_0}{r^2}\implies4\pir^3=2V_0\implies2\pir^3=V_0\impliesr^3=\frac{V_0}{2\pi}$$解得：$$r=\left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}$$為確定此點(diǎn)是否為極小值，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)：$$S''(r)=4\pi+\frac{4V_0}{r^3}$$由于$V_0>0$,$r>0$,故$S''(r)>4\pi>0$。因此，在$r=\left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}$處，$S(r)$取得極小值，也是最小值。此時(shí)，對(duì)應(yīng)的高度$h$為：$$h=\frac{V_0}{\pir^2}=\frac{V_0}{\pi\left(\left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}\right)^2}=\frac{V_0}{\pi\left(\frac{V_0^{2/3}}{(2\pi)^{2/3}}\right)}=\frac{V_0^{1/3}(2\pi)^{2/3}}{\pi}=2\left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}$$因此，當(dāng)圓柱的半徑$r=\left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}$，高$h=2\left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}$時(shí)，其表面積最小。此時(shí)，罐體的高是半徑的兩倍。試卷答案一、切平面方程為$\pix-2y+\piR=0$。解析思路：首先寫(xiě)出螺旋面的參數(shù)方程。計(jì)算參數(shù)方程對(duì)參數(shù)$t$和$\theta$的偏導(dǎo)數(shù)，得到切向量$\mathbf{r}_t$和$\mathbf{r}_\theta$。在給定點(diǎn)$t=\frac{\pi}{2}$處，求出具體的$\mathbf{r}_t$和$\mathbf{r}_\theta$值。計(jì)算這兩個(gè)切向量的叉積，得到切平面的法向量。最后，利用點(diǎn)法式方程寫(xiě)出切平面方程，并化簡(jiǎn)。二、$a=-5,b=15,c=-9,d=1$。加工路徑的函數(shù)為$f(x)=-5x^3+15x^2-9x+1$。解析思路：根據(jù)題意，列出關(guān)于系數(shù)$a,b,c,d$的線性方程組，方程分別來(lái)源于函數(shù)值和切線斜率條件。將已知的$d=1$代入方程組簡(jiǎn)化。利用代入消元法或矩陣方法求解剩余的三個(gè)未知數(shù)$a,b,c$。將求得的系數(shù)代入函數(shù)表達(dá)式，得到最終的函數(shù)形式。三、回歸方程為$\ln(-\ln(N))\approx-4.9666+0.006933\sigma$。解析思路：將原始數(shù)據(jù)$(\sigma,N)$轉(zhuǎn)換為$(\sigma,\ln(-\ln(N)))$形式的數(shù)據(jù)對(duì)。使用最小二乘法原理，計(jì)算線性模型$Y=a+b\sigma$中的斜率$b$和截距$a$。具體計(jì)算涉及求和$\sum\sigma,\sumY,\sum\sigma^2,\sum\sigmaY$，以及代入$b$和$a$的計(jì)算公式。最后