/海南省洋浦中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某三胎家庭，若每次生男孩還是生女孩是隨機(jī)的，則3個(gè)孩子都是男孩的概率為（

）A． B． C． D．2．若的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，則邊上的高所在直線的斜率為（

）A．2 B．-2 C． D．3．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是5，設(shè)事件第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，設(shè)事件第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是5，設(shè)事件至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)，下列說法不正確的是（

）A．與互斥 B．C．與對(duì)立 D．與相互獨(dú)立4．已知事件相互獨(dú)立，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，則“兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為（

）A． B． C． D．15．設(shè)，向量，，且，，則（

）．A． B．3 C． D．46．某電子圖書平臺(tái)通過大數(shù)據(jù)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，讀者選擇類圖書的概率為，選擇類圖書的概率為兩類圖書都不選的概率為，則兩類圖書都選的概率為（）A． B． C． D．7．已知平面內(nèi)有四點(diǎn)，，，，且為空間中一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．8．如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面上，三條棱都在平面的同側(cè)，若頂點(diǎn)到平面的距離分別為，則頂點(diǎn)到平面的距離是（

）

A． B．2 C． D．二、多選題9．某次數(shù)學(xué)考試的一道多項(xiàng)選擇題，要求是“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會(huì)做，則下列表述正確的有（

）A．甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得2分的概率是B．乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得5分的概率是C．丙同學(xué)隨機(jī)至少選擇一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是D．丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是10．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．D．向量在向量上的投影向量為11．（多選）給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算，規(guī)定：①為同時(shí)與垂直的向量；②，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長(zhǎng)方體中中，，，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知直線的傾斜角為，直線，若直線過點(diǎn)，則．13．設(shè)，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是．14．如圖，邊長(zhǎng)為4正方形中，、分別為、中點(diǎn)，將，沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則直線與夾角余弦值的最大值為．四、解答題15．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體(1)求與面所成角的正弦值(2)求點(diǎn)B到直線的距離.16．如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正四面體，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)用，，表示向量，并求的模長(zhǎng)；(2)求證：，．17．甲、乙兩人參加射擊訓(xùn)練，甲每次擊中目標(biāo)的概率都是，乙每次擊中目標(biāo)的概率都是，假設(shè)每人每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若甲、乙各射擊1次，求甲擊中目標(biāo)次數(shù)等于乙擊中目標(biāo)次數(shù)的概率；(2)若甲、乙各射擊2次，求甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)2次的概率.18．如圖，在四棱錐中，為矩形，且(1)求證：平面；(2)求線段長(zhǎng)；(3)若（與在平面的兩側(cè)），設(shè)三棱錐體積為，四棱錐體積為，且．求平面與平面所成夾角的余弦值．19．在三棱錐中，已知均是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱.現(xiàn)對(duì)其四個(gè)頂點(diǎn)隨機(jī)貼上寫有數(shù)字的八個(gè)標(biāo)簽中的四個(gè)，表示頂點(diǎn)所貼數(shù)字，為側(cè)棱上一點(diǎn).(1)求事件“”的概率；(2)求事件“為偶數(shù)”的概率；(3)若，求“二面角的平面角大于”的概率.

參考答案題號(hào)12345678910答案AACCBBACABCBC題號(hào)11答案ACD1．A【詳解】設(shè)孩子是男孩記為，孩子為女孩記為，則樣本點(diǎn)為，，，，，，，，其中都是男孩為，故3個(gè)孩子都是男孩的概率，故選：A．2．A【詳解】，，，設(shè)邊上的高所在直線的斜率為，，.故選：.3．C【詳解】若中依次表示第一、二次對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)，所有情況有種，由題意，事件的基本事件有，共4種，事件的基本事件有，共18種，所以有，共2種，事件的基本事件有，共6種，事件的基本事件有，共27種，由上，與互斥，，A、B對(duì)，，，，則，D對(duì)，顯然與不互斥，更不對(duì)立，C錯(cuò).故選：C4．C【詳解】因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，所以則“兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為,故選：C5．B【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以，故，則.故選：B6．B【詳解】設(shè)事件“讀者選擇類圖書”，事件“讀者選擇類圖書”，則，可得，又，所以.故選：.7．A【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共面，所以，故.故選：A8．C【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面距離為，①點(diǎn)到平面距離為，②由①②可得，所以到平面的距離為.故選：C.

9．ABC【詳解】甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，包含的樣本點(diǎn)為A，B，C，D，事件“能得2分”包含的樣本點(diǎn)為C，D，故“能得2分”的概率為，A正確；乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，包含的樣本點(diǎn)為，事件“能得5分”包含的樣本點(diǎn)為CD，故“能得5分”的概率為，B正確；丙同學(xué)隨機(jī)至少選擇一個(gè)選項(xiàng)，選擇一項(xiàng)或選擇兩項(xiàng)共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，選擇三項(xiàng)或全選，包含的樣本點(diǎn)為，事件“能得分”包含的樣本點(diǎn)為C，D，CD，故“能得分”的概率為，C正確；丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，由C的分析可知，樣本點(diǎn)共有11個(gè)，事件“能得分”包含的樣本點(diǎn)為CD，故“能得分”的概率為，D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．BC【詳解】由，，得，可得，即向量與向量的夾角不是，所以A錯(cuò)誤；由題意得，，則，即，所以B正確；由題意得，，則，所以，所以C正確；向量在向量上的投影向量為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11．ACD【詳解】解:選項(xiàng):同時(shí)與垂直，且構(gòu)成右手系，故，即成立；所以選項(xiàng)A正確.B選項(xiàng):，，所以；所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C選項(xiàng):連接,．，所以是一個(gè)與方向相同的向量,且.，與共線，且方向相同，，與共線，且方向相同，因?yàn)?所以，與共線，且方向相同，因此；所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng):，由A選項(xiàng)知:，所以．所以D選項(xiàng)正確.故選:ACD12．6【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以．又直線，則，解得．故答案為：13．【詳解】直線的傾斜角與斜率

如圖，，則原問題可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率的取值范圍．連接，則，當(dāng)?shù)膬A斜角是銳角時(shí)，，隨著傾斜角的增大，斜率由增大至正無窮；當(dāng)?shù)膬A斜角是鈍角時(shí)，，隨著傾斜角的增大，斜率由負(fù)無窮增大至．所以3或．故答案為：14．【詳解】取中點(diǎn)，連接，且延長(zhǎng)線過點(diǎn)，因?yàn)?，，所以平面，根?jù)對(duì)稱性可知在底面平面內(nèi)的射影點(diǎn)必在上，記為點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，過點(diǎn)垂直于方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，所以，不妨設(shè)，所以，所以，取等號(hào)時(shí)，所以直線PM與BF夾角余弦值的最大值為，故答案為：．15．(1)(2)【詳解】（1）連接，因?yàn)樵搸缀误w為長(zhǎng)方體，則面，面，所以，所以是直角，是與面所成角的平面角，又因?yàn)?，所以其正弦值為，?）因?yàn)?，所以，，所以直線的方向向量，又，所以在上的投影長(zhǎng)為，所以點(diǎn)到直線的距離為16．(1)；(2)證明見解析。【詳解】（1），，所以；（2），所以，所以，同理可證，所以。17．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)“甲擊中目標(biāo)次”，“乙擊中目標(biāo)次”.設(shè)為“甲擊中目標(biāo)次數(shù)等于乙擊中目標(biāo)次數(shù)”，則，與互斥，所以.（2）設(shè)“甲擊中目標(biāo)2次”，“乙擊中目標(biāo)2次”.法一：設(shè)“甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)2次”，“甲、乙兩人都未擊中目標(biāo)2次”，與互為對(duì)立事件，，所以.法二：設(shè)“甲、乙兩人中至少有一人擊中目標(biāo)2次”，則兩兩互斥，所以.18．(1)證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）在中，，，解得，，，又為矩形，，，平面，平面，平面；（2）由（1）知，平面，，平面，平面，，在三角形中，，，又，；（3）取的中點(diǎn)，平面，平面，平面平面，，平面平面，平面平面,平面內(nèi)，平面，又，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得到，令，得，，則；設(shè)平面的法向量，則，得到，解得，令，，則，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，即平面與平面所成夾角的余弦值.19．(1)(2)(3)【詳解】（1）由于、是從8個(gè)數(shù)字中選取兩個(gè)不同的數(shù)字，若，則有種；若，則有種；依此類推，可得樣本空間的個(gè)數(shù)為56個(gè)，又因?yàn)闈M足的基本事件有，，，，，，，，，，，，共12個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概率知識(shí)得：；（2）用表示“、均為奇數(shù)”的事件，若，則有種；若，則有種；依此類推，可知事件包含12個(gè)樣本點(diǎn)，用表示“、均為偶數(shù)”的事件，同上可知，事件也包含12個(gè)樣本點(diǎn)，又從1～8個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字標(biāo)簽貼在C?D頂點(diǎn)的樣本空間有56個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概率知識(shí)得：，記“為偶數(shù)”為事件，則，故；（3）如圖，取邊的中