2025年極限函數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)x趨近于0時(shí)，(1-cosx)/x2的極限是A.0B.1/2C.1D.2答案：B2.函數(shù)f(x)=(x2-1)/(x-1)在x趨近于1時(shí)的極限是A.0B.1C.2D.不存在答案：C3.若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)+g(x)]等于A.A+BB.A-BC.A×BD.A/B答案：A4.當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，(3x+1)/(2x-1)的極限是A.0B.1C.3/2D.不存在答案：C5.函數(shù)y=sinx/x在x趨近于0時(shí)的極限是A.0B.1C.-1D.不存在答案：B6.lim(x→0)(e^x-1)/x等于A.0B.1C.eD.不存在答案：B7.若lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=∞，則lim(x→a)f(x)g(x)是A.0B.∞C.不確定D.1答案：C8.當(dāng)x趨近于0時(shí)，ln(1+x)/x的極限是A.0B.1C.-1D.不存在答案：B9.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x在x趨近于2時(shí)的極限是A.一4B.0C.2D.4答案：B10.lim(x→∞)(1+1/x)^x等于A.0B.1C.eD.∞答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)在x趨近于0時(shí)極限存在的有A.sinxB.1/xC.e^xD.cosx答案：ACD2.若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，下列正確的是A.lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-BB.lim(x→a)[f(x)g(x)]=A×BC.當(dāng)B≠0時(shí)，lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/BD.lim(x→a)[kf(x)]=kA（k為常數(shù)）答案：ABCD3.當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，極限為0的函數(shù)有A.1/x2B.e^(-x)C.1/xD.sinx/x答案：ABC4.下列關(guān)于極限的說(shuō)法正確的是A.若lim(x→a)f(x)存在，則f(a)一定存在B.極限與函數(shù)在某點(diǎn)是否有定義無(wú)關(guān)C.無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量D.兩個(gè)無(wú)窮小量的商不一定是無(wú)窮小量答案：BD5.函數(shù)f(x)=(x2-4)/(x-2)在x趨近于2時(shí)A.極限為4B.在x=2處無(wú)定義C.可通過(guò)化簡(jiǎn)求極限D(zhuǎn).極限不存在答案：ABC6.當(dāng)x趨近于0時(shí)，與x等價(jià)的無(wú)窮小量有A.sinxB.tanxC.ln(1+x)D.1-cosx答案：ABC7.若lim(x→a)f(x)=A>0，lim(x→a)g(x)=B，則A.lim(x→a)[f(x)g(x)]=AB>0B.lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B>0C.存在δ>0，當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，f(x)>0D.存在δ>0，當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，g(x)>0答案：ABC8.下列極限運(yùn)算正確的是A.lim(x→0)(sin2x)/x=2B.lim(x→0)(1-cosx)/x2=1/2C.lim(x→∞)xsin(1/x)=1D.lim(x→0)x3sin(1/x)=0答案：ACD9.函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)極限存在的充要條件是A.左極限存在B.右極限存在C.左極限等于右極限D(zhuǎn).f(a)有定義答案：ABC10.當(dāng)x趨近于0時(shí)，下列函數(shù)中是無(wú)窮小量的有A.x2sin(1/x)B.xln(1+x)C.sinx-xD.1-cosx答案：ABCD三、判斷題1.若lim(x→a)f(x)存在，lim(x→a)g(x)不存在，則lim(x→a)[f(x)+g(x)]不存在。答案：正確2.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。答案：錯(cuò)誤3.函數(shù)在某點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值。答案：錯(cuò)誤4.當(dāng)x趨近于0時(shí)，x2是比x高階的無(wú)窮小量。答案：正確5.若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，且A=B，則f(x)=g(x)。答案：錯(cuò)誤6.極限lim(x→∞)sinx不存在。答案：正確7.兩個(gè)無(wú)窮小量的和還是無(wú)窮小量。答案：正確8.函數(shù)f(x)=1/x在x趨近于0時(shí)極限為0。答案：錯(cuò)誤9.若lim(x→a)f(x)存在，則lim(x→a)[f(x)]2=[lim(x→a)f(x)]2。答案：正確10.當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度比冪函數(shù)快。答案：正確四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述極限的定義。極限是描述函數(shù)在某一變化過(guò)程中的趨勢(shì)。設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x0|<δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限。2.求極限lim(x→∞)(2x2+3x+1)/(3x2+2x-1)的方法是什么？可將分子分母同時(shí)除以x2，得到lim(x→∞)(2+3/x+1/x2)/(3+2/x-1/x2)，當(dāng)x趨近于無(wú)窮時(shí)，1/x和1/x2都趨近于0，所以極限為2/3。3.說(shuō)明無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。無(wú)窮小量（非零）的倒數(shù)是無(wú)窮大量，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的乘積不一定是無(wú)窮小量，可能是常數(shù)或無(wú)窮大量等，需具體分析。比如x趨近于0時(shí)，x是無(wú)窮小量，1/x是無(wú)窮大量，x×(1/x)=1。4.怎樣判斷函數(shù)在某點(diǎn)極限是否存在？判斷函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0極限是否存在，需分別判斷左極限和右極限是否存在且相等。即計(jì)算lim(x→x0?)f(x)和lim(x→x0?)f(x)，若lim(x→x0?)f(x)=lim(x→x0?)f(x)=A，則lim(x→x0)f(x)=A，函數(shù)在該點(diǎn)極限存在；若兩者不相等或至少有一個(gè)不存在，則函數(shù)在該點(diǎn)極限不存在。五、討論題1.討論函數(shù)f(x)=(x2-1)/(x-1)在x趨近于1時(shí)的極限情況及函數(shù)的連續(xù)性。當(dāng)x趨近于1時(shí)，f(x)=(x2-1)/(x-1)化簡(jiǎn)為f(x)=x+1，極限為2。但原函數(shù)在x=1處無(wú)定義，所以函數(shù)在x=1處不連續(xù)。雖然極限存在，但函數(shù)在該點(diǎn)斷開(kāi)，連續(xù)性被破壞。2.對(duì)于極限lim(x→0)(sinx)/x=1，如何從直觀上理解？當(dāng)x趨近于0時(shí)，sinx的圖像與直線y=x非常接近。在原點(diǎn)附近，sinx和x的變化趨勢(shì)幾乎相同，所以它們的比值趨近于1?？梢韵胂笠粋€(gè)半徑為1的單位圓，當(dāng)圓心角x很小時(shí)，對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)sinx與弦長(zhǎng)x近似相等，從而(sinx)/x趨近于1。3.討論無(wú)窮小量在極限運(yùn)算中的作用。無(wú)窮小量在極限運(yùn)算中很重要。比如在計(jì)算復(fù)雜函數(shù)極限時(shí)，可通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小替換簡(jiǎn)化計(jì)算。像當(dāng)x趨近于0時(shí)，sinx等價(jià)于x，ln(1+x)等價(jià)于x等，利用這些替換能快速得出極限值。同時(shí)，無(wú)窮小量的性質(zhì)也有助于理解極限的概念和判斷極限的存在性等