2026省考求極值試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2-4x+5\)的極小值點是（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=3\)D.\(x=4\)2.對于函數(shù)\(y=3x-x^3\)，其極大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.函數(shù)\(y=\frac{1}{3}x^3-x\)在區(qū)間\([-2,2]\)上的最大值是（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(-\frac{2}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)4.若函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)在\(x=1\)處有極值，則\(2a+b\)的值為（）A.\(-3\)B.\(-2\)C.\(-1\)D.\(0\)5.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)，\(x>0\)的最小值是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.函數(shù)\(f(x)=x^2e^{-x}\)的極大值點是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)7.函數(shù)\(y=\sinx+\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的最小值是（）A.\(-\sqrt{2}\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(1\)8.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)為\(f^\prime(x)=x(x-1)\)，則\(f(x)\)的極小值點為（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)9.函數(shù)\(y=\lnx-x\)在\((0,+\infty)\)上的極大值為（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)10.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最小值是（）A.\(-2\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(1\)答案：1.B2.B3.B4.A5.B6.C7.A8.B9.A10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下函數(shù)在給定區(qū)間存在極值的有（）A.\(y=x^3\)，\(x\inR\)B.\(y=x^2+1\)，\(x\inR\)C.\(y=\sinx\)，\(x\in(0,2\pi)\)D.\(y=\frac{1}{x}\)，\(x\in(0,+\infty)\)2.求函數(shù)極值的步驟包括（）A.求函數(shù)定義域B.求導(dǎo)數(shù)C.令導(dǎo)數(shù)為\(0\)求駐點D.判斷駐點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號3.函數(shù)\(y=x^3-3x\)（）A.有極大值\(2\)B.有極小值\(-2\)C.極大值點是\(x=-1\)D.極小值點是\(x=1\)4.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取得極值，則（）A.\(f^\prime(x_0)=0\)B.\(f^\prime(x_0)\)可能不存在C.\(x_0\)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號相反D.\(f(x_0)\)一定是函數(shù)的最值5.函數(shù)\(y=x^4-2x^2+1\)（）A.有極小值\(0\)B.有極大值\(1\)C.極小值點是\(x=\pm1\)D.極大值點是\(x=0\)6.以下關(guān)于函數(shù)極值說法正確的是（）A.極值是局部概念B.一個函數(shù)可能有多個極大值C.極大值一定大于極小值D.導(dǎo)數(shù)為\(0\)的點不一定是極值點7.函數(shù)\(y=\cosx-\sinx\)在\([0,2\pi]\)上（）A.極大值為\(\sqrt{2}\)B.極小值為\(-\sqrt{2}\)C.極大值點是\(\frac{3\pi}{4}\)D.極小值點是\(\frac{7\pi}{4}\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx\)在\(x=1\)處取得極值，則（）A.\(3+2a+b=0\)B.\(f(1)\)是極值C.\(a\)，\(b\)有無數(shù)組解D.該函數(shù)可能還有其他極值點9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2+1}\)（）A.有極大值\(1\)B.無極小值C.極大值點是\(x=0\)D.函數(shù)值域是\((0,1]\)10.對于函數(shù)\(y=x\lnx\)（）A.定義域是\((0,+\infty)\)B.有極小值\(-\frac{1}{e}\)C.極小值點是\(x=\frac{1}{e}\)D.是單調(diào)遞增函數(shù)答案：1.BC2.ABCD3.ABCD4.ABC5.ABCD6.ABD7.ABCD8.ABD9.ACD10.ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在導(dǎo)數(shù)為\(0\)的點一定取得極值。（）2.函數(shù)的極大值一定大于極小值。（）3.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增，則\(f^\prime(x)>0\)。（）4.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=0\)處取得極小值。（）5.求函數(shù)極值時不需要考慮函數(shù)定義域。（）6.導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是函數(shù)的極值點。（）7.函數(shù)\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)上有兩個極值點。（）8.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取得極值，則\(f^\prime(x_0)\)一定為\(0\)。（）9.函數(shù)\(y=x^3+1\)無極值。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上有極值。（）答案：1.×2.×3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求函數(shù)極值的一般方法。答案：先確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于\(0\)求出駐點，然后通過判斷駐點兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號來確定是否為極值點，左正右負為極大值點，左負右正為極小值點。2.函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)，求其極值。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)，\(y^\prime>0\)；\(0<x<2\)，\(y^\prime<0\)；\(x>2\)，\(y^\prime>0\)。所以極大值\(y(0)=2\)，極小值\(y(2)=-2\)。3.說明函數(shù)極值與最值的區(qū)別。答案：極值是函數(shù)在局部范圍內(nèi)的最大或最小值，是局部概念；最值是函數(shù)在整個定義域或指定區(qū)間上的最大或最小值，是整體概念。一個函數(shù)可能有多個極值，但最值最多兩個。4.函數(shù)\(f(x)=x^2e^x\)，求極值點。答案：求導(dǎo)\(f^\prime(x)=2xe^x+x^2e^x=x(x+2)e^x\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=-2\)。當\(x<-2\)，\(f^\prime(x)>0\)；\(-2<x<0\)，\(f^\prime(x)<0\)；\(x>0\)，\(f^\prime(x)>0\)。所以極大值點\(x=-2\)，極小值點\(x=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)的極值情況。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=1\)。當\(x<1\)，\(y^\prime<0\)；\(x>1\)，\(y^\prime>0\)。所以\(x=1\)是極小值點，極小值\(y(1)=1-4+6-4+1=0\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=ax^3+bx^2+cx\)在\(x=\pm1\)處有極值，討論\(a\)、\(b\)、\(c\)的關(guān)系。答案：求導(dǎo)\(f^\prime(x)=3ax^2+2bx+c\)。因為在\(x=\pm1\)處有極值，則\(f^\prime(1)=3a+2b+c=0\)，\(f^\prime(-1)=3a-2b+c=0\)。兩式相減得\(4b=0\)即\(b=0\)，代入可得\(3a+c=0\)，所以\(b=0\)，\(c=-3a\)。3.討論函數(shù)\(y=\frac{\lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的極值情況。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=\frac{\frac{1}{x}\cdotx-\lnx}{x^2}=\frac{1-\lnx}{x^2}\)。令\(y^\prime=0\)，得\(1-\lnx=0\)，即\(x=e\)。當\(0<x<e\)，\(y^\prime>0\)；\(x>e\)，\(y^\prime<0\)。所以\(x=e\)是極大值點，極大值\(y(e)=\frac{1}{e}\)。4.討論函數(shù)\(y=x^3-3ax+1\)（\(a>0\)）的極值情況。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-3a=3(x^2-a)\)。令\(y