高考數(shù)學等差數(shù)列多選題專項訓練復習題及答案一、等差數(shù)列多選題1．首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，則下列4個命題中正確的有（）A．若，則，；B．若，則使的最大的n為15；C．若，，則中最大；D．若，則.解析：ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一檢驗選項，即可得答案.【詳解】對于A：因為正數(shù)，公差不為0，且，所以公差，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，，故A正確；對于B：因為，則，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n為15，故B正確；對于C：因為，則，，則，即，所以則中最大，故C錯誤；對于D：因為，則，又，所以，即，故D正確，故選：ABD【點睛】解題的關(guān)鍵是先判斷d的正負，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對求和公式進行變形，求得項的正負，再分析和判斷，考查等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應用，屬中檔題.2．公差為的等差數(shù)列，其前項和為，，，下列說法正確的有（）A． B． C．中最大 D．解析：AD【分析】先根據(jù)題意得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，中最大，，即：.進而得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正確，BC錯誤.故選：AD.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題.3．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，則（）A．a(chǎn)6＞0B．C．Sn＜0時，n的最小值為13D．數(shù)列中最小項為第7項解析：ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a(chǎn)1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0時，n的最小值為13．數(shù)列中，n≤6時，＞0.7≤n≤12時，＜0．n≥13時，＞0．進而判斷出D是否正確．【詳解】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a(chǎn)1＞0．S13＝＝13a7＜0．∴Sn＜0時，n的最小值為13．數(shù)列中，n≤6時，＞0，7≤n≤12時，＜0，n≥13時，＞0．對于：7≤n≤12時，＜0．Sn＞0，但是隨著n的增大而減??；an＜0，但是隨著n的增大而減小，可得：＜0，但是隨著n的增大而增大．∴n＝7時，取得最小值．綜上可得：ABCD都正確．故選：ABCD．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．4．設等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，則（）A． B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．時，的最小值為13 D．數(shù)列中最小項為第7項解析：ACD【分析】由已知得，又，所以，可判斷A；由已知得出，且，得出時，，時，，又，可得出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，可判斷B；由，可判斷C；判斷，的符號，的單調(diào)性可判斷D；【詳解】由已知得，，又，所以，故A正確；由，解得，又，當時，，時，，又，所以時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B不正確；由于，而，所以時，的最小值為13，故C選項正確；當時，，時，，當時，，時，，所以當時，，，，時，為遞增數(shù)列，為正數(shù)且為遞減數(shù)列，所以數(shù)列中最小項為第7項，故D正確；【點睛】本題考查等差數(shù)列的公差，項的符號，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最值項，屬于較難題.5．(多選題)等差數(shù)列的前n項和為，若，公差，則下列命題正確的是（）A．若，則必有=0B．若，則必有是中最大的項C．若，則必有D．若，則必有解析：ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)依次分析即可得答案.【詳解】解：對于A.，若，則，所以，所以，故A選項正確；對于B選項，若，則，由于，公差，故，故，所以是中最大的項；故B選項正確；C.若，則，由于，公差，故，故，的符號不定，故必有，無法確定；故C正確，D錯誤．故選：ABC．【點睛】本題考查數(shù)列的前項和的最值問題與等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．6．在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則為常數(shù)也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列解析：BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，將這k個式子累加得，，，k為常數(shù)是等方差數(shù)列，故C正確；對于D，是等差數(shù)列，，則設是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，屬于中檔題.7．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．數(shù)列是等差數(shù)列C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項解析：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接判斷AD選項，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項.【詳解】A.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以是與的等差中項，故D正確.故選：ABD【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，屬于基礎題型.8．已知無窮等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．D．當時，解析：AD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可以求，，即可求公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷四個選項是否正確.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以等差數(shù)列公差，所以是遞減數(shù)列，故最大，選項A正確；選項不正確；，所以，故選項C不正確；當時，，即，故選項D正確；故選：AD【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和，屬于基礎題.9．等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．解析：ABD【分析】先根據(jù)題意可知前9項的和最小，判斷出正確；根據(jù)題意可知數(shù)列為遞減數(shù)列，則，又，進而可知，判斷出不正確；利用等差中項的性質(zhì)和求和公式可知，，故正確.【詳解】根據(jù)題意可知數(shù)列為遞增數(shù)列，，，前9項的和最小，故正確；，故正確；，故正確；，，，故不正確.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列的綜合應用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.10．等差數(shù)列的前n項和記為，若，，則（）A． B．C． D．當且僅當時，解析：AB【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及可分析出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列中，所以，又，所以，所以，，故AB正確，C錯誤；因為，故D錯誤，故選：AB【點睛】關(guān)鍵點睛：本題突破口在于由得到，結(jié)合，進而得到，考查學生邏輯推理能力.11．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，記該數(shù)列為，則的通項公式為（）A．B．且C．D．解析：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，再驗證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，數(shù)列遞推公式的應用，本題運算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．12．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且，，則（）A． B． C． D．解析：BD【分析】由等差數(shù)列下標和性質(zhì)結(jié)合前項和公式，求出，可判斷C，D，由等差數(shù)列基本量運算，可得公差，判斷出A，B．【詳解】因為，所以．因為，，所以公差．故選：BD13．已知數(shù)列滿足，()，數(shù)列的前項和為，則（）A． B．C． D．解析：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯.【詳解】由可知，即，當時，則，即得到，故選項B正確；無法計算，故A錯；，所以，則，故選項C正確，選項D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：由遞推公式求通項公式的常用方法：（1）累加法，形如的數(shù)列，求通項時，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的數(shù)列，求通項時，常用累乘法求解；（3）構(gòu)造法，形如（且，，）的數(shù)列，求通項時，常需要構(gòu)造成等比數(shù)列求解；（4）已知與的關(guān)系求通項時，一般可根據(jù)求解.14．設數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．解析：ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設，則，所以當時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；,所以因此，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)列性質(zhì)的綜合應用，屬于難題.15．題目文件丟失！16．題目文件丟失！17．題目文件丟失！18．在等差數(shù)列中，公差，前項和為，則（）A． B．，，則C．若，則中的最大值是 D．若，則解析：AD【分析】對于，作差后利用等差數(shù)列的通項公式運算可得答案；對于，根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式得到和，進而可得，由此可知，故不正確；對于，由得到，，然后分類討論的符號可得答案；對于，由求出及，根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列可求得.【詳解】對于，因為，且，所以，所以，故正確；對于，因為，，所以，即，，即，因為，所以，所以，即，故不正確；對于，因為，所以，所以，即，當時，等差數(shù)列遞增，則，所以中的最小值是，無最大值；當時，等差數(shù)列遞減，則，所以中的最大值是，無最小值，故不正確；對于，若，則，時，，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，故正確.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握等差數(shù)列的通項公式、前項和公式是解題關(guān)鍵.19．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．數(shù)列的前n項和為 B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列解析：ABC【分析】數(shù)列的前項和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項公式可得，，時，，進而求出．【詳解】數(shù)列的前項和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得，∴時，，，對選項逐一進行分析可得，A，B，C三個選項錯誤，D選項正確.故選：ABC.【點睛】本題考