人教版中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)和幾何綜合專題匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．定義：若拋物線的頂點(diǎn)和與x軸的兩個交點(diǎn)所組成的三角形為等邊三角形時．則稱此拋物線為正拋物線．概念理解：（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．試證明：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線；問題探究：（2）已知一條拋物線經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF＝2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；應(yīng)用拓展：（3）將拋物線y1＝﹣x2+2x+9向下平移9個單位后得新的拋物線y2．拋物線y2的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個交點(diǎn)分別為M、N（M在N左側(cè)），把△PMN沿x軸正半軸無滑動翻滾，當(dāng)邊PN與x軸重合時記為第1次翻滾，當(dāng)邊PM與x軸重合時記為第2次翻滾，依此類推…，請求出當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)為軸上的動點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線，其中旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別記為．（1）若，求原拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）條件下，當(dāng)四邊形的面積為時，求的值；（3）探究滿足什么條件時，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形?請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC及拋物線的解析式，并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若P為線段BD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn)，過P作直線1∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．小明對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究.已知當(dāng)自變量的值為或時，函數(shù)值都為；當(dāng)自變量的值為或時，函數(shù)值都為．探究過程如下，請補(bǔ)充完整．（1）這個函數(shù)的表達(dá)式為；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個函數(shù)的圖象并寫出這個函數(shù)的--條性質(zhì)：；（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問題：①直線與函數(shù)有三個交點(diǎn)，則；②已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出不等式的解集：．5．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接CM，將線段MC繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD，連接CD、BD．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線l的表達(dá)式；（2）①請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示），并求點(diǎn)D落在直線l上時t的值；②求點(diǎn)M運(yùn)動的過程中線段CD長度的最小值．6．已知拋物線有最低點(diǎn)為F．（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E（-1，3）時，①求拋物線的解析式；②點(diǎn)M是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，與直線交于點(diǎn)N，求線段長度的最大值；（2）將拋物線G向右平移m個單位得到拋物線．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x之間存在一個函數(shù)，求這個函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）記（2）所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的交點(diǎn)為P，請結(jié)合圖象求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．7．如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線L的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）拋物線與拋物線L關(guān)于直線對稱，P是拋物線L的B、M段上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線與點(diǎn)Q，點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線L的對稱軸對稱點(diǎn)分別為M、N．試探究是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8．如圖，拋物線的圖象交x軸于、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，連接．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作的角平分線，交對稱軸于交點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，求的長；（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)F是線段上的一動點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)O和點(diǎn)B重合，連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與的重疊部分為，請?zhí)骄?，在坐?biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使以點(diǎn)D、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．9．已知函數(shù)，某興趣小組對其圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探究，請補(bǔ)充完整探究過程．…－3－2－112345……－6－22－2－1－2…（1）請根據(jù)給定條件直接寫出的值；（2）如圖已經(jīng)畫出了該函數(shù)的部分圖像，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，補(bǔ)充該函數(shù)圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）若，結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求此拋物線的表達(dá)式：（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．二、中考幾何壓軸題11．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時，請直接寫出tan∠BAE的值．12．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長線上的一點(diǎn)，將QD繞點(diǎn)Q順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長．13．（問題情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為直線BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為α，連接CQ．（特例分析）（1）當(dāng)α＝90°，點(diǎn)P在線段BC上時，過P作PF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，如圖①，易得圖中與△APF全等的一個三角形是，∠ACQ＝°．（拓展探究）（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上，AB：AC＝m：n時，如圖②，試求線段BP與CQ的比值；（問題解決）（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時，請直接寫出線段CQ的長．14．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長．15．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC于F，將腰AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過C作CE垂直于直線BB′，垂足為E，連接CB′．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時，的度數(shù)為_______；連接EF，則的值為________．（2）拓展探究：當(dāng)，且時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；②解決問題：當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，請直接寫出的值．16．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合下述情境，提出一個數(shù)學(xué)問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是矩形．探究展示：“興趣小組”提出的問題是：“如圖2，連接CE．求證：AE⊥CE．”并展示了如下的證明方法：證明：如圖3，分別連接AC，BD，EF，AF．設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．又∵四邊形BEDF是矩形，∴EF經(jīng)過點(diǎn)O，∴OE=OF=EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四邊形AECF是平行四邊形．（依據(jù)1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四邊形AECF是矩形．（依據(jù)2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述證明過程中“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是什么？拓展再探：（2）“創(chuàng)新小組”受到“興趣小組”的啟發(fā)，提出的問題是：“如圖4，分別延長AE，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，求證：EB=PB．”請你幫助他們寫出該問題的證明過程．（3）“智慧小組”提出的問題是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面積．請你解決“智慧小組”提出的問題．17．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長．18．綜合與實(shí)踐背景閱讀：“旋轉(zhuǎn)”即物體繞一個點(diǎn)或一個軸做圓周運(yùn)動．在中國古典專著《百喻經(jīng)·口誦乘船法而不解用喻》中記載：“船盤回旋轉(zhuǎn)，不能前進(jìn)．”而圖形旋轉(zhuǎn)即：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點(diǎn)按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．綜合實(shí)踐課上，“睿智”小組專門探究了正方形的旋轉(zhuǎn)，情況如下：在正方形中，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對應(yīng)點(diǎn)）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作猜想：（1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，連接，，，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_______；線段與的數(shù)量關(guān)系是________．探究驗(yàn)證：（2）如圖2，在（1）的條件下，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，順次連接點(diǎn)，，，，．判斷四邊形的形狀，并說明理由．拓展延伸：（3）如圖3，若，在正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn)．連接，并過點(diǎn)作于點(diǎn)．請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出的值．19．綜合與實(shí)踐動手操作利用旋轉(zhuǎn)開展教學(xué)活動，探究圖形變換中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，將等腰直角三角形的邊繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，，，連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)．思考探索（1）在圖1中：①求證：；②的面積為______；③______．拓展延伸（2）如圖2，若為任意直角三角形，．、、分別用、、表示．請用、、表示：①的面積：______；②的長：______；（3）如圖3，在中，，，，，，連接．①的面積為______；②點(diǎn)是邊的高上的一點(diǎn)，當(dāng)______時，有最小值______．20．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．求證：；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，若，，求的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、二次函數(shù)壓軸題1．A解析：（1）詳見解析；（2）y＝或y＝；（3）當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜邊BC的中線可得AD＝CD，由拋物線對稱性可得AD＝AC，即證得△ACD是等邊三角形．（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為G，根據(jù)正拋物線定義得△EFG是等邊三角形，又易求E、F坐標(biāo)，即能求G點(diǎn)坐標(biāo)．由于不確定點(diǎn)G縱坐標(biāo)的正負(fù)號，故需分類討論，再利用頂點(diǎn)式求拋物線解析式．（3）根據(jù)題意求出拋物線y2的解析式，并按題意求出P、M、N的坐標(biāo)，得到等邊△PMN，所以當(dāng)△PMN翻滾時，每3次為一個周期，點(diǎn)P回到x軸上方，且橫坐標(biāo)每多一個周期即加6，其規(guī)律為當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時，橫坐標(biāo)為：+n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此時點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】解：（1）證明：∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD＝BD＝CD＝BC∵拋物線以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)∴AD＝AC∴AD＝AC＝CD∴△ACD是等邊三角形∴以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線．（2）∵E（1，0）且EF＝2，點(diǎn)F在x軸上且E在F的左邊∴F（3，0）∵一條經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F的拋物線為正拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為G∴△EFG是等邊三角形∴xG＝①當(dāng)G（2，）時，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+把點(diǎn)E（1，0）代入得：a+＝0∴a＝﹣∴y＝﹣（x﹣2）2+②當(dāng)G（2，﹣）時，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣把點(diǎn)E（1，0）代入得：a﹣＝0∴a＝∴y＝（x﹣2）2﹣綜上所述，這條拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣（3）∵拋物線y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12∴y1向下平移9個單位后得拋物線y2＝﹣（x﹣）2+3∴P（，3），M（0，0），N（2，0）∴PM＝MN＝PN＝2∴△PMN是等邊三角形∴第一次翻滾頂點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)镻1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）即每翻滾3次為一個周期，當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為：+n×2＝（2n+1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解、性質(zhì)運(yùn)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．第（3）題的解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)等邊△PMN每3次翻滾看作一個周期，點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的特征，是規(guī)律探索的典型題．2．B解析：（1）（2）；（3）時，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形，理由見解析【分析】（1）因?yàn)?，所以，將代入得關(guān)于b和c的二元一次方程組，解方程組得到b和c即可求得原拋物線的解析式；（2）連接，延長與軸交于點(diǎn)，根據(jù)題（1）可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，繼而求出直線BC的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)題意易知四邊形是平行四邊形，繼而可知，由此可知ME＝10，繼而即可求解點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)平行四邊形為菱形時，應(yīng)有，故點(diǎn)在之間，繼而可證根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴將代入得：解得：∴原拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）連接，并延長與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的項點(diǎn)為直線的解析式為：拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)四邊形是平行四邊形，（3）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)當(dāng)平行四邊形為菱形時，應(yīng)有，故點(diǎn)在之間，當(dāng)時，即二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，，∴，所以時，存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，注意挖掘題目中的隱藏條件．3．D解析：（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）四邊形PMAC的面積的最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【分析】（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC及拋物線的解析式，把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，然后根據(jù)S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四邊形PMAC與p的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）由題意得PQ∥AC且PQ=AC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出x，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，同樣的方法求解即可．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)．∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)，∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．∵點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)D(1，4)，∴，得，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．∵P為線段BD上的一個動點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，﹣2p+6)．∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，∴S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，∵1＜p＜3，∴當(dāng)p時，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）∵直線l∥AC，以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PQ∥AC且PQ=AC．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，此時，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，此時，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，整理得：x2﹣4x﹣3=0，解得：x1=2，x2=2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，﹣3)或(1，﹣3)，綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法等知識，綜合性強(qiáng)、具有一定的難度，屬于中考壓軸題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）如圖所示，見解析；性質(zhì)：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；或：當(dāng)或時，函數(shù)有最小值；（3）①；②或．【分析】（1）將，；，；，代入，得到：，，，即可求解析式為；（2）描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，函數(shù)關(guān)于對稱；（3）①從圖象可知：當(dāng)時，，時直線與函數(shù)有三個交點(diǎn)；②與的交點(diǎn)為或，結(jié)合圖象，的解集為．【詳解】解：（1）將，；，；，代入，得到：，解得，故答案為．（2）如圖：函數(shù)關(guān)于直線對稱，（3）①當(dāng)時，，時直線與函數(shù)有三個交點(diǎn)，故答案為1；②與的交點(diǎn)為或或x=3，結(jié)合圖象，的解集為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題類比函數(shù)探究過程探究絕對值函數(shù)與不等式組關(guān)系；能夠準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．5．A解析：（1）A（﹣3，0），y＝﹣x+；（2）①點(diǎn)D落在直線l上時，t＝6﹣2；②CD的最小值為．【分析】（1）解方程求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的表達(dá)式；（2）①分點(diǎn)M在AO上運(yùn)動、點(diǎn)M在OB上運(yùn)動兩種情況，DN⊥x軸于N，證明△MCO≌△DMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出t；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短解答．【詳解】（1）當(dāng)y＝0時，﹣x2﹣x+=0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（1，0），當(dāng)x＝0時，y＝，即C（0，），設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，解得，，則直線l的表達(dá)式為y＝﹣x+；（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動時，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，由題意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，則∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，∴∠MCO＝∠DMN，在△MCO與△DMN中，，∴△MCO≌△DMN（AAS），∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，∴D（t﹣3+，t﹣3）；同理，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（﹣3+t+，t﹣3）將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BC的解析式y(tǒng)＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，t＝6﹣2，即點(diǎn)D落在直線l上時，t＝6﹣2；②∵△COD是等腰直角三角形，∴CM＝MD，∴線段CM最小時，線段CD長度的最小，∵M(jìn)在AB上運(yùn)動，∴當(dāng)CM⊥AB時，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，根據(jù)勾股定理得，CD的最小值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn).6．E解析：（1）①；②2；（2）；（3）【分析】（1）①把點(diǎn)E（-1，3）代入求出m的值即可；②先求出直線EF的解析式，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，得到MN的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）寫出拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)平移規(guī)律即可得到的頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即，消去，得到與的函數(shù)關(guān)系式，再由即可求得的取值范圍；（3）求出拋物線怛過點(diǎn)A（2，-3），函數(shù)H的圖象恒過點(diǎn)B（2，-4），從圖象可知兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)P應(yīng)在A，B之間，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)在A，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間，從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)E（-1，3）∴∴∴拋物線的解析式為：②如圖，∵點(diǎn)F為拋物線的最低點(diǎn)，∴∴設(shè)直線EF的解析式為：把E（-1，3），F(xiàn)（1，-5）代入得，解得，∴直線EF的解析式為：設(shè)，則∴∵∴當(dāng)時，MN有最大值，最大值為2；（2）∵拋物線∴平移后的拋物線∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴∴∴∵∴∴∴與的函數(shù)關(guān)系式為：（3）如圖，函數(shù)的圖象為射線，時，；時，∴函數(shù)H的圖象恒過點(diǎn)（2，-4）∵拋物線，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴拋物線G恒過點(diǎn)A（2，-3）由圖象可知，若拋物線G與函數(shù)H的圖象有交點(diǎn)P，則有∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想等知識，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．7．D解析：（1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）存在，．【分析】（1）將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求出拋物線L的表達(dá)式，再由拋物線對稱軸公式可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意可求得拋物線的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則可由已知分別表示出點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)，利用正方形的性質(zhì)則可列出方程，求解后即可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【詳解】解：（1）將代入得：，解得，∴該拋物線L的表達(dá)式為：；∵拋物線的頂點(diǎn)為D，∴當(dāng)時，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）存在；如圖所示：∵拋物線與拋物線L關(guān)于直線對稱，，∴，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得，∴拋物線的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵PQ∥y軸，則Q的橫坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線L的對稱軸對稱點(diǎn)分別為M、N．∴M、N的橫坐標(biāo)為5－m．∴PM＝5－m－m＝5－2m．∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，∴PQ＝（）－（）＝，當(dāng)PM＝PQ時，四邊形為正方形，∴解得，∵P是拋物線L的B、M段上的一點(diǎn)，∴m＜5－m，解得m＜．∴．∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．D解析：（1）；（2）；（3）存在，；；．【分析】(1)利用頂點(diǎn)式，求出拋物線的解析式即可；(2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線BE的解析式，構(gòu)建方程組確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；(3)分三種情形：當(dāng)時，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，再利用平移的性質(zhì)求解，當(dāng)時，且點(diǎn)G在上時，求得；，即可得出結(jié)論，當(dāng)，且點(diǎn)G在上時，利用平移的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)C，∴設(shè)拋物線的解析式為，把A代入可得，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1中，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于F，令則解得：，，∴，∴，∵BE平分，∴，∴，∴直線BD的解析式為，由，解得，或，∴，∴；（3）①如圖所示：當(dāng)時，∵拋物線的頂點(diǎn)C，點(diǎn)H在第三象限,點(diǎn)與點(diǎn)C重合，此時；，由平移性質(zhì)得，②如圖所示：當(dāng)且點(diǎn)在上時，則點(diǎn)H在第三象限,此時；，由平移性質(zhì)得③如圖所示：當(dāng)且點(diǎn)在上時，點(diǎn)H在第三象限,同理可得：，，，由平移性質(zhì)得，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．9．（1），，；（2）見詳解；（3）x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先將（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中，列方程組解出可得a和b的值，寫出函數(shù)解析式，計算當(dāng)x=4時m的值即可；（2）描點(diǎn)并連線畫圖，根據(jù)圖象寫出一條性質(zhì)即可；（3）畫y=x-3的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)論．【詳解】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中得：，解得：，∴y=（a≠0），當(dāng)x=4時，m=；（2）如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；（3）∵a（x1）2+≥x4，∴a（x1）2++1≥x3，如圖所示，由圖象得：x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，描點(diǎn)，畫函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析．10．A解析：（1）；（2），當(dāng)m＝2時，PN的最大值為；（3）Q(1，3)或(，)【分析】（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解．（2）由PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）即可求解．（3）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三種情況，當(dāng)AC＝AQ時，構(gòu)造直角三角形AMQ利用勾股定理可求坐標(biāo)，AC＝CQ時，先求BQ再求MB，即可得到坐標(biāo)，CQ＝AQ時，聯(lián)立解得不合題意．【詳解】解：（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，則拋物線的表達(dá)式為，（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，當(dāng)m＝2時，PN的最大值為．（3）存在，理由：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），則AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，將點(diǎn)B（4，0）、C（0，4）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得解得∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4…①，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n把點(diǎn)A（﹣3，0）、C（0，4）代入得解得∴直線AC的表達(dá)式為：y＝x+4，設(shè)直線AC的中點(diǎn)為K（﹣，2），過點(diǎn)M與CA垂直直線的表達(dá)式中的k值為﹣，設(shè)過點(diǎn)K與直線AC垂直直線的表達(dá)式為y＝﹣x+q把K（﹣，2）代入得2=﹣×（﹣）+q解得q=∴y＝﹣x+…②，①當(dāng)AC＝AQ時，如圖1，則AC＝AQ＝5，設(shè)：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故點(diǎn)Q（1，3），②當(dāng)AC＝CQ時，如圖1，CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，則QM＝MB＝，故點(diǎn)Q（，）．③當(dāng)CQ＝AQ時，聯(lián)立①②，，解得，x＝（舍去），綜上所述點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或Q（，）．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．二、中考幾何壓軸題11．（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG解析：（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問題．（3）如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識．12．（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過點(diǎn)A解析：（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，，則，由（1）可知BD+BE=BC，由此即可得；（3）過Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長線于點(diǎn)F，先證∠BQF=120°，BQ=QF，進(jìn)而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，，進(jìn)而可證得，再根據(jù)cos∠EBD==cos60°=可求得，進(jìn)而求得，最后根據(jù)AQ=BQ－AB即可得到答案．【詳解】解：（1）理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°∴∠EAB=∠DAC在△ABE與△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD，∵BD+CD=BC∴BD+BE=BC∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=∴BD+BE=；（2）結(jié)論：，理由如下：過點(diǎn)A作AH⊥BC，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠ABC=30°，在Rt△ABH中，cos∠ABH==cos30°=∴BH=AB，∴由（1）同理可知BD+BE=BC，∴；（3）過Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長線于點(diǎn)F，∴∴∠QFC=∠QBF=30°，∠BQF=120°∴BQ=QF由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，∴cos∠EBD==cos60°=∵，∴AQ=BQ－AB=．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)圖形的判定及性質(zhì)以及能夠作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．13．（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF解析：（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，從而可得結(jié)論，（2）過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，再證明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性質(zhì)可得答案，（3）分情況討論：當(dāng)P在CB的延長線上時，證明△APC≌△QPC，利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案，當(dāng)P在BC的延長線上時，連接AQ，利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ACQ≌△PCQ，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠PAF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC，∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案為：△PQC，90；（2）如圖②，過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠FAP＝∠CPQ，由旋轉(zhuǎn)可得，PA＝PQ，∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴，∴（3）如圖，當(dāng)P在CB的延長線上時，∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如圖，當(dāng)P在BC的延長線上時，連接AQ，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．綜上所述，線段CQ的長為2或8．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行推算．14．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．15．（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直解析：（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，分兩種情況討論，利用三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30°，BF=FC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B==70°，∵AC=AB′，∠B′AC=120°-40°=80°，∴∠AB′C==50°，∴∠CB′E=180°-70°-50°=60°，連接EF，∵BF=FC，則EF為直角三角形BEC斜邊上的中線，∴EF=BF=FC，在Rt△ABF中，，∴；（2）①兩個結(jié)論成立，理由如下：連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，等腰△ABB′中，∠BAB′=α，則∠AB′B==90°?α，等腰△AB′C中，∠CAB′=α?120°，則∠AB′C==150°?α，∴；∵AB=AC，AF⊥BC．∴∠FAC=60°，Rt△CEB′中，=sin60°=，Rt△CFA中，=sin60°=，∴，∵∠FCE=∠ACB′=30°+∠ACE，∴△CEF~△CB′A∴；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，分以下兩種情況討論，（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E在FA的延長線上時，如圖，由①可知，∠B'=60°，∵CE⊥BB'，而BC=2EF=2BF，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB+B'E=，∴；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在AF的延長線上時，如圖，同理可得，∠CB'E=60°，BC=2EF=2BF，∵CE⊥BB'，∴∠CEB'=∠CEB=90°，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB-B'E=，∴；綜上，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．16．（1）依據(jù)1：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性解析：（1）依據(jù)1：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見解析；（3）4【分析】（1）借助問題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠1=∠4，再由矩形性質(zhì)證得∠PBA=∠EBC，得出△PBA≌△EBC，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．結(jié)合（2）所得結(jié)論利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=PM=ME，設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．則根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）依據(jù)1：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．依據(jù)2：對角線相等的平行四邊形是矩形．（2）證明：連接CE，由題意得，∠CEA=90°，∴∠1+∠2=180°-∠AEC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠3+∠4=180°-∠ABC=90°．∵∠2=∠3．∴∠1=∠4．∵四邊形EBFD是矩形，∴∠EBF=90°．∴∠PBE=180°-∠EBF=90°．∴∠PBE=∠ABC．∴∠PBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．即∠PBA=∠EBC．∴△PBA≌△EBC．∴PB=EB．（3）解：過點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．由（2）可知，PB=BE，∠PBE=90°．∴BM=PM=ME．設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°．∴AB=2BM，tan∠BAM=，解得x=1．∴AB=2，∴S正方形ABCD=2×2=4．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握特殊四邊形、全等三角形及三角函數(shù)等相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：4；（2）若點(diǎn)在右側(cè)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點(diǎn)在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．18．（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=O解析：（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=OD，利用SAS可證明△AOA′≌△DOD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AA′=DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOB′=，根據(jù)可得△OAA′∽△OBB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)即可得出，根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)平角的定義及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得，利用AAS可證明△ABM≌△A′B′N，可得AM=A′N，利用AAS可證明△APM≌△A′PN，可得，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A′OP=∠AOA′=，∠QOB′=，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠POQ=∠A′OB′，即可證明△OQP∽△OB′A′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，∵將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，∴△AOA′≌△DOD′，∴AA′=DD′，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴OB=，∴OA=，∵將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴∠BOB′=∠AOA′=，∵，∴△OAA