2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)平行四邊形的綜合復(fù)習(xí)含詳細(xì)答案一、平行四邊形1．問題發(fā)現(xiàn)：（）如圖①，點(diǎn)為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，請過點(diǎn)畫一條直線，使其同時平分平行四邊形的面積和周長．問題探究：（）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為．已知點(diǎn)為矩形外一點(diǎn)，請過點(diǎn)畫一條同時平分矩形面積和周長的直線，說明理由并求出直線，說明理由并求出直線被矩形截得線段的長度．問題解決：（）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸正半軸上，軸，軸，且，，點(diǎn)為五邊形內(nèi)一點(diǎn)．請問：是否存在過點(diǎn)的直線，分別與邊與交于點(diǎn)、，且同時平分五邊形的面積和周長?若存在，請求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】（1）作圖見解析；（2），；（3），．【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，作直線PO，直線PO將平行四邊形ABCD的面積和周長分別相等的兩部分．（2）連接AC，BD交于點(diǎn)，過、P點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積和周長分為分別相等的兩部分．（3）存在，直線平分五邊形面積、周長．試題解析：（）作圖如下：（）∵，，∴設(shè)，，，∴，交軸于，交于，．（）存在，直線平分五邊形面積、周長．∵在直線上，∴連交、于點(diǎn)、，設(shè)，，，，∴直線，聯(lián)立，得，∴，．2．如圖，四邊形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是邊AB的中點(diǎn).已知AD=1，AB=2.（1）設(shè)BC=x，CD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）當(dāng)∠B=70°時，求∠AEC的度數(shù)；（3）當(dāng)△ACE為直角三角形時，求邊BC的長.【答案】（1）；（2）∠AEC=105°；（3）邊BC的長為2或.【解析】試題分析：（1）過A作AH⊥BC于H，得到四邊形ADCH為矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出結(jié)論．（2）取CD中點(diǎn)T，連接TE，則TE是梯形中位線，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70°．又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到結(jié)論．（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEC=90°時，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，解△ABH即可得到結(jié)論．②當(dāng)∠CAE=90°時，易知△CDA∽△BCA，由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論．試題解析：解：（1）過A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90°，得四邊形ADCH為矩形．在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，∴，則（2）取CD中點(diǎn)T，聯(lián)結(jié)TE，則TE是梯形中位線，得ET∥AD，ET⊥CD，∴∠AET=∠B=70°．又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，∴∠AEC=70°＋35°=105°．（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠AEC=90°時，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，則在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2．②當(dāng)∠CAE=90°時，易知△CDA∽△BCA，又，則（舍負(fù)）易知∠ACE<90°，所以邊BC的長為．綜上所述：邊BC的長為2或．點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題．考查了梯形中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握梯形中常見的輔助線作法．3．已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，且.現(xiàn)將紙片折疊，折痕為EF（點(diǎn)E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上，①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時，EF與DP交于點(diǎn)G，若，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：（Ⅱ）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OD，邊DC上，當(dāng)OP取最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）。【答案】（I）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（II）【解析】【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo);②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出是菱形，設(shè)菱形的邊長為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;(Ⅱ)當(dāng)O,P,F點(diǎn)共線時OP的長度最短.【詳解】解：（I）①∵折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)∵四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為②∵折痕為EF，點(diǎn)P為點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn).∵四邊形OBCD是矩形，，；∴四邊形DEPF是平行四邊形.，是菱形.設(shè)菱形的邊長為x，則，，在中，由勾股定理得解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（Ⅱ）【點(diǎn)睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考壓軸題．4．如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求證：AF=BF+EF．【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90°，AB=AD，進(jìn)而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的對應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代換可得證.【詳解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF與△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF．點(diǎn)睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥DB，垂足為點(diǎn)D，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，點(diǎn)C落在點(diǎn)G的位置，折痕為EF，EF交對角線BD于點(diǎn)P．（1）連結(jié)CG，請判斷四邊形DBCG的形狀，并說明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度數(shù)．【答案】（1）四邊形BCGD是矩形，理由詳見解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及矩形的判定解答即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）四邊形BCGD是矩形，理由如下，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折疊可知，BC＝DG，∴四邊形BCGD是平行四邊形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四邊形BCGD是矩形；（2）由折疊可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜邊上的中線，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等邊三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線DE交x軸于點(diǎn)E（30，0），交y軸于點(diǎn)D（0，40），直線AB：y＝x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，交直線DE于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線AB于點(diǎn)F，以EF為一邊向右作正方形EFGH．（1）求邊EF的長；（2）將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒個單位的速度勻速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移過程中邊F1G1始終與y軸垂直，設(shè)平移的時間為t秒（t＞0）．①當(dāng)點(diǎn)F1移動到點(diǎn)B時，求t的值；②當(dāng)G1，H1兩點(diǎn)中有一點(diǎn)移動到直線DE上時，請直接寫出此時正方形E1F1G1H1與△APE重疊部分的面積．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根據(jù)已知點(diǎn)E（30，0），點(diǎn)D（0，40），求出直線DE的直線解析式y(tǒng)=-x+40，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出F點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①易求B（0，5），當(dāng)點(diǎn)F1移動到點(diǎn)B時，t=10÷=10；②F點(diǎn)移動到F'的距離是t，F(xiàn)垂直x軸方向移動的距離是t，當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到直線DE上時，在Rt△F'NF中，=，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，，t=4，S=×(12+)×11=；當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到直線DE上時，在Rt△F'PK中，=，PK=t-3，F(xiàn)'K=3t-9，在Rt△PKG'中，＝＝，t=7，S=15×（15-7）=120.【詳解】（1）設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，將點(diǎn)E（30，0），點(diǎn)D（0，40），∴，∴，∴y＝﹣x+40，直線AB與直線DE的交點(diǎn)P（21，12），由題意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴當(dāng)點(diǎn)F1移動到點(diǎn)B時，t＝10＝10；②當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到直線DE上時，F(xiàn)點(diǎn)移動到F'的距離是t，在Rt△F'NF中，=，∴FN＝t，F(xiàn)'N＝3t，∵M(jìn)H'＝FN＝t，EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t，在Rt△DMH'中，，∴，∴t＝4，∴EM＝3，MH'＝4，∴S＝；當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到直線DE上時，F(xiàn)點(diǎn)移動到F'的距離是t，∵PF＝3，∴PF'＝t﹣3，在Rt△F'PK中，，∴PK＝t﹣3，F(xiàn)'K＝3t﹣9，在Rt△PKG'中，＝＝，∴t＝7，∴S＝15×（15﹣7）＝120.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．7．已知，點(diǎn)是的角平分線上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)有一個直角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩直角邊，分別與直線，相交于點(diǎn)，點(diǎn).（1）如圖1，若，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（2）如圖2，若點(diǎn)在射線上，且與不垂直，則（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請說明理由；如不成立，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.（3）如圖3，若點(diǎn)在射線的反向延長線上，且，，請直接寫出線段的長度.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【解析】【分析】（1）先證四邊形為矩形，再證矩形為正方形，由正方形性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證四邊形為正方形，再證，可得；（3）根據(jù)，可得.【詳解】解：（1）∵，，，∴四邊形為矩形.∵是的角平分線，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，.∴.（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵平分，，∴四邊形為正方形，由（1）得：，在和中，，∴，∴，∴.（3），，∴.∵，，∴，∴，∴，的長度為.【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：矩形，正方形的判定和性質(zhì).熟練運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.8．正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在對角線AC上，連AE．(1)如圖1，連EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周長；(2)如圖2，若AF＝AB，過點(diǎn)F作FG⊥AC交CD于G，點(diǎn)H在線段FG上(不與端點(diǎn)重合)，連AH．若∠EAH＝45°，求證：EC＝HG+FC．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由正方形性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC＝AB＝4，求出AF＝3，CF＝AC﹣AF＝，求出△CEF是等腰直角三角形，得出EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF的周長；（2）延長GF交BC于M，連接AG，則△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，CG＝CF，證出BM＝DG，證明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再證明△ABE≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝AB＝4，∵4AF＝3AC＝12，∴AF＝3，∴CF＝AC﹣AF＝，∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝，∴△AEF的周長＝AE+EF+AF＝；（2）證明：延長GF交BC于M，連接AG，如圖2所示：則△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM＝CG，CG＝CF，∴BM＝DG，∵AF＝AB，∴AF＝AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG＝DG，∴BM＝FG，∵∠BAC＝∠EAH＝45°，∴∠BAE＝∠FAH，∵FG⊥AC，∴∠AFH＝90°，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE＝FH，∵BM＝BE+EM，F(xiàn)G＝FH+HG，∴EM＝HG，∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，∴EC＝HG+FC．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．（1）如圖1，將矩形折疊，使落在對角線上，折痕為，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為______.（2）小明手中有一張矩形紙片，，.（畫一畫）如圖2，點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在所在直線上，折痕設(shè)為（點(diǎn)，分別在邊，上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3，點(diǎn)在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在射線上，折痕為，點(diǎn)分別落在點(diǎn)，處，若，求的長.【答案】（1）21；（2）畫一畫；見解析；算一算：【解析】【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問題；（2）【畫一畫】，如圖2中，延長BA交CE的延長線由G，作∠BGC的角平分線交AD于M，交BC于N，直線MN即為所求；【算一算】首先求出GD=9-，由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行線的性質(zhì)得出∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，證出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理證出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不變性，可知FB′=FB，由此即可解決問題．【詳解】（1）如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性質(zhì)可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=21°，故答案為21．（2）【畫一畫】如圖所示：【算一算】如3所示：∵AG=，AD=9，∴GD=9-，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=，∴BF=BC-CF=9，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB′=，∴B′D=DF-FB′=.【點(diǎn)睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用翻折不變性解決問題．10．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE=BF．連接DE，過點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C．（1）請判斷：FG與CE的關(guān)系是___；（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；（3）如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．【答案】（1）FG=CE，F(xiàn)G∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】試題分析：（1）只要證明四邊形CDGF是平行四邊形即可得出FG=CE，F(xiàn)G∥CE；（2）構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對應(yīng)邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=C，F(xiàn)G∥CE；（3）證明△CBF≌△DCE后，即可證明四邊形CEGF是平行四邊形．試題解析：解：（1）FG=CE，F(xiàn)G∥CE；（2）過點(diǎn)G作GH⊥CB的延長線于點(diǎn)H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE與△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是矩形，∴GF=BH，F(xiàn)G∥CH，∴FG∥CE．∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF與△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF平行四邊形，∴FG∥CE，F(xiàn)G=CE．11．如圖，拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)C作CE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求AC、BE的交點(diǎn)F的坐標(biāo)（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，連結(jié)DC、DE，四邊形CDEF是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由．【答案】（1）y=x2+x﹣；（2）F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明見解析【解析】【分析】將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求得該拋物線的解析式；根據(jù)（1）題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對稱軸方程以及B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，由CE∥x軸，可知C、E關(guān)于對稱軸對稱。根據(jù)A、C點(diǎn)求得直線AC的解析式，根據(jù)B、E點(diǎn)求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程求得的解，即為F點(diǎn)的坐標(biāo)；由E、C、F、D的坐標(biāo)可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形．【詳解】（1）∵拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）∵y=x2+x﹣，∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，∵CE∥x軸，∴C、E關(guān)于對稱軸對稱，∵C（0，﹣），∴E（﹣2，﹣），∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴B（1，0），設(shè)直線AC、BE解析式分別為y=kx+b，y=k′x+b′，則由題意可得，，解得，，∴直線AC、BE解析式分別為y=﹣x﹣，y=x﹣，聯(lián)立兩直線解析式可得，解得，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，∴D（﹣1，﹣2），∵F（﹣1，﹣1），∴DF⊥x軸，且CE∥x軸，∴DF⊥CE，∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），∴DF和CE互相平分，∴四邊形CDEF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與二元一次方程組．12．如圖，拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B（，a）在拋物線上，點(diǎn)C是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，連接AB、BC，以AB、BC為鄰邊作□ABCD，記點(diǎn)C縱坐標(biāo)為n，（1）求a的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)D恰好落在拋物線上時，求n的值；（3）記CD與拋物線的交點(diǎn)為E，連接AE，BE，當(dāng)△AEB的面積為7時，n=___________．（直接寫出答案）【答案】（1），A（3，0）；（2）【解析】試題解析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出a的值，令y=0即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．（２）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可求解；（3）運(yùn)用△AEB的面積為7，列式計算即可得解.試題解析：（1）當(dāng)時，由，得（舍去），（1分）∴A（3，0）（2）過D作DG⊥軸于G，BH⊥軸于H.∵CD∥AB，CD=AB∴，∴，∴（3）13．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關(guān)系為；（2）深入探究：如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中點(diǎn)，連接CN，若BC=10，CN=，試求EF的長．【答案】（1）NC∥AB；理由見解析；（2）∠ABC=∠ACN；理由見解析；（3）；【解析】分析：（1）根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°從而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．（2）根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，得到BM=2，CM=8，再根據(jù)勾股定理即可得到答案．詳解：（1）NC∥AB，理由如下：∵△ABC與△MN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△ABM與△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN∥AB；（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵=1且∠ABC=∠AMN，∴△ABC～△AMN∴，∵AB=BC，∴∠BAC=（180°﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠MAN=（180°﹣∠AMN），∵∠ABC=∠AMN，∴∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，∴△ABM～△ACN，∴∠ABC=∠ACN；（3）如圖3，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN，∵，∴，∴△ABM～△ACN∴，∴=cos45°=，∴，∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，在Rt△AMC，AM=，∴EF=AM=2．點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．14．如圖1，在長方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m?1，將它沿EF折疊(點(diǎn)E.

F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P，連接EP.設(shè)，其中0<n?1.(1)如圖2，當(dāng)n=1(即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合)，求證：四邊形BEDF為菱形；(2)如圖3，當(dāng)(M為AD的中點(diǎn))，m的值發(fā)生變化時，求證：EP=AE+DP；(3)如圖1，當(dāng)m=2(即AB=2AD)，n的值發(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化?說明理由.【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；(3)值不變，理由見解析.【解析】試題分析：（1）由條件可知，當(dāng)n=1（即M點(diǎn)與D點(diǎn)重合），m=2時，AB=2AD，設(shè)AD=a，則AB=2a，由矩形的性質(zhì)可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結(jié)論.（2）延長PM交EA延長線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.（3）如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，通過證明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．∵FN=FC，∴AE=FC．∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF."∴BE="DF."∴BE=DE．Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.∴BE=2AD-AD=.∴.（2）如圖3，延長PM交EA延長線于G，∴∠GAM=90°．∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM=DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3），值不變，理由如下：如圖1，連接BM交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FK⊥AB于點(diǎn)K，交BM于點(diǎn)O，∵EM=EB，∠MEF=∠