2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在突發(fā)疾病學(xué)研究中的幫助考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試述微分方程在描述突發(fā)疾?。ㄈ鐐魅静。﹤鞑?dòng)態(tài)中的作用。選擇一個(gè)具體的傳播模型（如SIR模型），列出其基本方程，并解釋方程中各參數(shù)的生物學(xué)意義以及微分方程求解（或分析）的基本步驟及其結(jié)果（如平衡點(diǎn)、穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)判斷）的流行病學(xué)含義。二、簡述概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在突發(fā)疾病學(xué)研究中的應(yīng)用。舉例說明至少三種不同的統(tǒng)計(jì)方法（如假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析、置信區(qū)間估計(jì)）如何被用于分析突發(fā)疾病數(shù)據(jù)，并闡述每種方法的主要目的和基本原理。同時(shí)，討論在分析突發(fā)疾病數(shù)據(jù)時(shí)可能遇到的主要挑戰(zhàn)（如數(shù)據(jù)稀疏性、偏倚等）及其應(yīng)對思路。三、某地區(qū)發(fā)生了一起突發(fā)性呼吸道疾病爆發(fā)。假設(shè)初步調(diào)查認(rèn)為其傳播可能符合SEIR模型，但模型中潛伏期（D）和傳染期（C）難以精確區(qū)分。現(xiàn)有可用的數(shù)據(jù)是過去N天內(nèi)每日新增病例數(shù)的時(shí)間序列。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)方法或策略，利用這些數(shù)據(jù)來估計(jì)SEIR模型中的關(guān)鍵參數(shù)（如基本再生數(shù)R0、潛伏期D、傳染期C），并簡述該方法的數(shù)學(xué)原理以及可能存在的局限性。四、在建立用于預(yù)測突發(fā)疾病傳播趨勢的數(shù)學(xué)模型時(shí)，模型的校準(zhǔn)過程至關(guān)重要。請解釋模型校準(zhǔn)的基本概念及其目的。假設(shè)你已經(jīng)建立了一個(gè)簡化的SIR模型，并使用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步校準(zhǔn)?，F(xiàn)在需要評估該模型預(yù)測未來一個(gè)月內(nèi)重癥病例數(shù)量的不確定性。請簡述至少兩種可以采用的方法（數(shù)學(xué)上或概念上），并說明選擇這些方法的基本理由。五、討論數(shù)學(xué)建模在突發(fā)疾病早期預(yù)警和干預(yù)效果評估中的作用。分別舉例說明數(shù)學(xué)模型如何幫助識別潛在的爆發(fā)風(fēng)險(xiǎn)以及如何定量評估不同干預(yù)措施（如隔離、疫苗接種、社交距離）對控制疾病傳播的效果。在討論中，應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)工具如何將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為可分析的計(jì)算或推導(dǎo)問題。六、設(shè)有一個(gè)由K個(gè)相互連接的社區(qū)組成的區(qū)域，社區(qū)間通過一定的交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行人口流動(dòng)。突發(fā)疾病可能通過這些流動(dòng)進(jìn)行傳播。請簡要描述如何利用圖論或網(wǎng)絡(luò)分析的數(shù)學(xué)工具來描述這個(gè)區(qū)域的結(jié)構(gòu)以及疾病傳播的潛在風(fēng)險(xiǎn)。說明如何通過數(shù)學(xué)計(jì)算（如中心性度量、路徑分析）來識別傳播網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，并解釋這些節(jié)點(diǎn)對于疾病防控策略的潛在意義。試卷答案一、答案：微分方程是描述突發(fā)疾病傳播動(dòng)態(tài)的核心數(shù)學(xué)工具，它能夠精確刻畫疾病感染者、易感者等不同群體數(shù)量隨時(shí)間的變化率，從而揭示疾病的傳播規(guī)律。以SIR模型為例，其基本方程組通常為：?S/?t=-βSI/N?E/?t=βSI/N-γE?I/?t=γE-δI?R/?t=δI其中，S(t),E(t),I(t),R(t)分別代表t時(shí)刻易感者、潛伏者、感染者和康復(fù)者（移除者）的數(shù)量；N為總?cè)丝跀?shù)；β為傳染率，γ為潛伏期到感染期的轉(zhuǎn)化率，δ為感染期到康復(fù)期的轉(zhuǎn)化率。求解這些微分方程（通常先求平衡點(diǎn)，分析其穩(wěn)定性來判斷疾病是否會被清除或會持續(xù)存在），可以得到不同群體數(shù)量隨時(shí)間演變的函數(shù)，其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性（如判斷R0<1時(shí)疾病最終會被清除）直接決定了疾病傳播的結(jié)局，為理解疾病動(dòng)態(tài)和制定防控策略提供了關(guān)鍵的數(shù)學(xué)依據(jù)。解析思路：首先明確微分方程在建模中的作用是描述變化率。其次，選擇一個(gè)經(jīng)典的模型（SIR），寫出其方程組。然后，解釋方程中每個(gè)變量的含義和每個(gè)參數(shù)（β,γ,δ）的生物學(xué)意義。最后，說明通過求解微分方程（包括求平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析）可以得到疾病傳播的動(dòng)態(tài)趨勢，并解釋數(shù)學(xué)結(jié)果（特別是平衡點(diǎn)穩(wěn)定性與基本再生數(shù)R0的關(guān)系）在流行病學(xué)上的重要意義。二、答案：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在突發(fā)疾病學(xué)研究中應(yīng)用廣泛。假設(shè)檢驗(yàn)可用于判斷某項(xiàng)干預(yù)措施（如疫苗接種）是否顯著降低了發(fā)病率（如進(jìn)行卡方檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)比較干預(yù)組與對照組發(fā)病率）；回歸分析可用于建立疾病傳播指標(biāo)（如新增病例數(shù)）與環(huán)境因素（如溫度、濕度、人口密度）或干預(yù)措施強(qiáng)度之間的定量關(guān)系，預(yù)測疾病發(fā)展趨勢；置信區(qū)間估計(jì)可用于估計(jì)某地區(qū)潛伏期平均長度、人群感染概率或基本再生數(shù)R0的范圍，反映估計(jì)的不確定性。分析突發(fā)疾病數(shù)據(jù)的主要挑戰(zhàn)包括數(shù)據(jù)往往具有時(shí)空不確定性、可能存在漏報(bào)和偏倚、數(shù)據(jù)量可能不足或更新不及時(shí)等，應(yīng)對策略需采用合適的抽樣方法、數(shù)據(jù)清洗技術(shù)、考慮不確定性的統(tǒng)計(jì)模型（如貝葉斯方法）以及結(jié)合專家知識進(jìn)行模型調(diào)整。解析思路：先列舉統(tǒng)計(jì)方法在突發(fā)疾病研究中的具體應(yīng)用實(shí)例，并簡述每種方法的目的和原理。然后，重點(diǎn)討論分析此類數(shù)據(jù)時(shí)普遍面臨的主要挑戰(zhàn)，并給出相應(yīng)的應(yīng)對思路，體現(xiàn)對實(shí)際問題的理解。三、答案：針對數(shù)據(jù)為每日新增病例數(shù)時(shí)間序列且潛伏期、傳染期難以精確區(qū)分的問題，可以采用以下策略估計(jì)SEIR模型參數(shù)：1.基于峰值時(shí)間偏差的方法：利用模型預(yù)測的感染人數(shù)峰值時(shí)間與實(shí)際數(shù)據(jù)峰值時(shí)間的偏差，結(jié)合模型結(jié)構(gòu)，反推潛伏期和傳染期的綜合影響，進(jìn)而估計(jì)參數(shù)。2.似然函數(shù)法：構(gòu)建包含潛伏期和傳染期變動(dòng)的復(fù)雜似然函數(shù)（如使用截?cái)喾植蓟蚧旌戏植寄M發(fā)病時(shí)間），結(jié)合每日新增數(shù)據(jù)，通過最大化似然函數(shù)來估計(jì)所有參數(shù)，但這需要更復(fù)雜的計(jì)算。3.簡化模型或啟發(fā)式方法：考慮一個(gè)平均潛伏期和平均傳染期，將SEIR模型簡化為形式更簡單的SIR模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。數(shù)學(xué)原理主要涉及微分方程模型建立、時(shí)間序列分析、優(yōu)化算法（如最大似然估計(jì)）等。局限性在于：基于峰值偏差的方法精度有限；復(fù)雜似然函數(shù)法計(jì)算量大且對模型假設(shè)敏感；簡化模型丟失了潛伏期和傳染期動(dòng)態(tài)變化的信息。解析思路：首先點(diǎn)明問題的核心困難（潛伏期、傳染期區(qū)分）。然后，提出至少兩種具體的數(shù)學(xué)方法或策略，并簡要說明其基本原理。接著，分析這些方法的計(jì)算或理論基礎(chǔ)。最后，客觀指出每種方法可能存在的局限性，體現(xiàn)批判性思維。四、答案：模型校準(zhǔn)是指調(diào)整模型參數(shù)，使得模型的模擬結(jié)果（如預(yù)測的病例數(shù)時(shí)間曲線）盡可能接近或擬合實(shí)際觀測數(shù)據(jù)的過程。其目的是提高模型的預(yù)測精度和現(xiàn)實(shí)代表性。評估模型預(yù)測未來重癥病例數(shù)量不確定性的方法：1.敏感性分析：分析模型輸出對輸入?yún)?shù)（如初始感染數(shù)、R0、重癥轉(zhuǎn)化率等）變化的敏感程度，識別關(guān)鍵參數(shù)，并估計(jì)參數(shù)不確定性對預(yù)測結(jié)果的影響。2.蒙特卡洛模擬：基于參數(shù)的概率分布（而非單一值），進(jìn)行大量隨機(jī)抽樣和模型重演，生成一系列可能的預(yù)測結(jié)果，形成預(yù)測分布，從而量化預(yù)測的不確定性。選擇這些方法的原因是它們能夠系統(tǒng)地考慮參數(shù)的不確定性，提供比單一確定性預(yù)測更全面和可靠的評估。解析思路：首先解釋模型校準(zhǔn)的概念和目的。然后，提出評估預(yù)測不確定性的具體方法（敏感性分析和蒙特卡洛模擬），并簡述其基本思想。最后，說明選擇這些方法的原因，強(qiáng)調(diào)其處理不確定性的優(yōu)勢。五、答案：數(shù)學(xué)建模在突發(fā)疾病早期預(yù)警中作用顯著。通過建立包含潛伏期和傳播率的動(dòng)態(tài)模型（如SEIR），可以模擬疾病在不同情景下的傳播趨勢，當(dāng)模型預(yù)測未來某個(gè)區(qū)域或人群的感染人數(shù)將迅速超過閾值時(shí)，即可提前發(fā)出預(yù)警。在干預(yù)效果評估方面，數(shù)學(xué)模型可以模擬實(shí)施不同干預(yù)措施（如關(guān)閉學(xué)校、強(qiáng)制隔離）后的疾病傳播曲線，通過與未干預(yù)或基準(zhǔn)情景的模擬結(jié)果比較，定量評估各項(xiàng)措施對降低R0、減緩傳播速度、減少總病例數(shù)的效果。數(shù)學(xué)工具將復(fù)雜的