2/2第一章勾股定理（時間：120分，滿分：120分）一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）下列各組數(shù)據(jù)中是勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】本題考查勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．據(jù)此進(jìn)行解題即可．【詳解】解：A、由題可知，三個數(shù)都不是正整數(shù)，故不符合題意；B、由題可知，數(shù)不是正整數(shù)，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故符合題意；故選：D．2．（23-24七年級下·山東濟南·期末）勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查勾股定理的證明過程，關(guān)鍵是要牢記勾股定理的概念，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．分別利用每個圖形面積的兩種不同的計算方法，再建立等式，再整理即可判斷．【詳解】解：A、大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積和，，以上公式為完全平方公式，故A選項不能說明勾股定理，B、由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，，整理可得，故B選項可以證明勾股定理，C、大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，，整理得，故C選項可以證明勾股定理，D、整個圖形的面積等于兩個三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個小正方形的面積加上兩個直角三角形的面積，，整理得，故D選項可以證明勾股定理，故選：A．3．（23-24八年級下·山西朔州·期末）如圖，學(xué)校有一塊直角三角形菜地，，．為方便勞作，準(zhǔn)備在菜地中間修建一條小路．測量發(fā)現(xiàn)，，，，則的長為（

）A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定，勾股定理；由得，設(shè)，則可得，利用勾股定理建立方程求得x的值，即可得結(jié)果．【詳解】解：，；設(shè)，則，，在中，由勾股定理有：，即，解得；即．故選：B．4．（23-24八年級下·山東濰坊·期末）蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動，小亮想利用所學(xué)的勾股定理知識測算公園里一架秋千立柱的高度．如圖，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度為0.4米，將踏板往前推送，使秋千繩索到達(dá)的位置，測得推送的水平距離為3米，此時秋千踏板離地面的垂直高度為1.4米，則立柱的高度為（

）A．3米 B．4米 C．米 D．米【答案】D【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，勾股定理，求出繩索的長是解題關(guān)鍵．設(shè)繩索的長度為，則，，進(jìn)而得出，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到立柱的高度．【詳解】解：設(shè)繩索的長度為，則，，∴，由題意得：，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，即立柱的高度為，故選：D．5．（23-24八年級下·四川綿陽·期末）如圖，在中，，，是中線，，，那么斜邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理、三角形中線的定義，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)三角形中線的定義可得，即，再利用勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：在中，，在中，，∴，∵，是中線，∴，，∴，∴，∴，∴，故選：C．6．（23-24八年級下·湖北咸寧·期末）如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，b的面積分別為5和13，則c的面積為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了對勾股定理的理解能力，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)已知及全等三角形的判定可得到，從而得到的面積的面積的面積．【詳解】解：如圖，，，，在和中，，，，根據(jù)勾股定理得，得．的面積的面積的面積．故選：C．7．（23-24七年級下·重慶·期末）如圖1，，，，以這個直角三角形兩直角邊為邊作正方形．圖2由圖1的兩個小正方形向外分別作直角邊之比為的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形，…，按此規(guī)律，則圖6中所有正方形的面積和為（

）A．200 B．175 C．150 D．125【答案】B【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．根據(jù)題意分別計算出圖1、圖2和圖3中正方形的面積，得出規(guī)律即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，圖1中所有正方形面積和為：，圖2中所有正方形面積和，，圖3中所有正方形面積和，?∴第n個圖形中所有正方形的面積和為，∴圖6中所有正方形的面積和為：，故B正確．故選：B．8．（23-24八年級下·浙江臺州·期末）如圖，一條小巷的左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為1.5米，梯子頂端到地面距離為2米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面距離為2.4米，則小巷的寬度為（

）

A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長度的方法．在中，利用勾股定理計算出長，再在中利用勾股定理計算出長，然后可得的長．【詳解】解：在中，（米），在中，，（米），∴（米），故選：A．9．（23-24八年級下·河南安陽·階段練習(xí)）一艘輪船以海里/時的速度從港口出發(fā)向東北方向航行，另一艘輪船以海里/時的速度同時從港口出發(fā)向東南方向航行，離開港口小時后，兩船相距（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的運用，熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)兩艘輪船出發(fā)的方向，可以得到，結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】根據(jù)題意，如圖所示，可知，，，，在中，，，解得：，故兩船相距海里故選：A10．（23-24八年級下·安徽滁州·期末）如圖，一長方體狀包裝盒的長為，寬為，高為，點離點為，一只螞蟻如果要沿著包裝盒的表面從點爬到點去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是勾股定理最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：①把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖1：長方體的寬為，高為，點離點的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；②把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖2：長方體的寬為，高為，點離點的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；③把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖3：長方體的寬為，高為，點離點的距離是，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；螞蟻爬行的最短距離是．故選A．二．填空題（共8小題，每小題3分，共24分）11．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）在中，，點是直線上一點，，，連接，則線段的長為．【答案】或【分析】了勾股定理，分當(dāng)在線段上時，當(dāng)在線段延長線上時，再由勾股定理即可求解，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】由題意得：，如圖，當(dāng)在線段上時，

∴，在中由勾股定理得：，如圖，當(dāng)在線段延長線上時，

∴，在中由勾股定理得：，綜上可知：的長為或．12．（23-24八年級下·河南南陽·期末）如圖所示，有一張長方形紙片，，．現(xiàn)折疊該紙片使得邊與對角線重合，折痕為，點落在處，求．【答案】3【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；先利用勾股定理求出，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，即可求出．【詳解】解：∵，，，∴，由折疊得：，，，∴，，在中，，∴，∴，故答案為：3．13．（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，若，則【答案】34【分析】根據(jù)“垂美”四邊形的定義得到，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．本題考查的是勾股定理、“垂美”四邊形的定義，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．【詳解】解：四邊形為“垂美”四邊形，，，在中，，在中，，，在中，，在中，，，故答案為：34．14．（23-24八年級下·河南安陽·階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了“趙爽弦圖”．如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是52，每個直角三角形的長直角邊與短直角邊的比是，則小正方形的面積為．【答案】【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的長直角邊與短直角邊的長為，，根據(jù)勾股定理得到，解方程求出x的值，然后計算小正方形的面積即可．【詳解】解：設(shè)直角三角形的長直角邊與短直角邊的長為，，則，解得：或（舍去）∴小正方形的面積為，故答案為：．15．（23-24八年級下·福建廈門·期末）《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆?，則水深尺．【答案】12【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長為10尺，則尺，設(shè)尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深．【詳解】依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，∵尺，蘆葦生長在它的正中央，∴尺，在中，，解得：，即水深12尺，故答案為：12．16．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）如圖，在坡比（指坡面的垂直高度與水平寬度的比值）為的山坡種樹，要求株距（相鄰兩棵樹之間的水平距離）為5m，那么相鄰兩棵樹間的在坡面上的間距為m．【答案】【分析】本題考查勾股定理，根據(jù)坡比等于鉛直高與水平距離的比值，求出鉛直高，進(jìn)而利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，由題意，，，，∴，∴；故答案為：．17．（23-24八年級下·廣西來賓·期末）如圖，在港有甲、乙兩艘淮船，若甲船沿北偏東的方向以每小時6海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東的方向以每小時8海里的速度前進(jìn)，兩小時后，甲船到達(dá)島，乙船到達(dá)島．求島與島之間的距離為海里．【答案】20【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，證明為直角三角是解題的關(guān)鍵．由題意得是直角三角形，求得與的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得的長即可．【詳解】解：由題意知，，（海里），（海里），∴是直角三角形，在中，由勾股定理得：（海里）答：M島與N島之間的距離為20海里．故答案為：．18．（23-24八年級下·廣東惠州·期末）每年的秋分日是中國農(nóng)民豐收節(jié)，小彬用打印機制作了一個底面周長為，高為的圓柱糧倉模型．如圖是底面直徑，是高．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過，兩點（接頭不計），則裝飾帶的長度最短為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理得應(yīng)用最短路線問題，把圓柱側(cè)邊展開，可得裝飾帶的最短長度等于，利用勾股定理求出即可求解，找到裝飾帶長度的最短路線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓柱側(cè)面展開如圖所示，則，由題意可得，，∴，∴裝飾帶的最短長度，故答案為：．三．詳解題（共8小題，總分66分）19．（6分）19．（23-24八年級下·廣東茂名·期末）定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形．現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線相交于點O，若，求．【答案】61．【分析】本題考查了新定義以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)“垂美”四邊形的定義得，代入進(jìn)行計算，即可作答．【詳解】解：∵四邊形是“垂美”四邊形，∴，則∵∴．20．（6分）（23-24八年級下·河南·階段練習(xí)）我國古典數(shù)學(xué)著作中有一道計算秋千繩索長度的題目．翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進(jìn)兩步（尺，于），此時踏板升高離地五尺（尺），求秋千繩索（或）的長度．【答案】14.5尺【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．設(shè)尺，表示出的長，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：由題意得：，，設(shè)尺，尺，尺，（尺），尺，在中，尺，尺，尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，則秋千繩索的長度為14.5尺．21．（6分）（23-24八年級下·山西大同·期末）消防云梯主要用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，它能讓消防員快速到達(dá)高層建筑的火災(zāi)現(xiàn)場，執(zhí)行滅火、疏散等救援任務(wù)．如圖，已知云梯最多能伸長到，消防車高．某次任務(wù)中，消防車在A處將云梯伸長至最長，消防員從高的處救人后，消防車需到達(dá)B處使消防員從24m高的處救人，求消防車從A處向著火的樓房靠近的距離．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理求出、的長，即可解決問題．【詳解】解：由題意，易得，，A，B，D三點在同一直線上．，，．在中，由勾股定理，得．在中，由勾股定理，得．答：消防車從A處向著火的樓房靠近的距離為．22．（6分）（23-24八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）“相約十四冬，魅力內(nèi)蒙古”2024年2月17日至27日我國第十四屆冬季運動會在內(nèi)蒙古自治區(qū)舉辦，某校做冬運會宣傳海報（），懸掛在體育館的窗戶上方（如圖所示）．小明搬來一架梯子（米）靠在宣傳海報（）的A處，底端落在地板E處，然后移動梯子使頂端落在宣傳海報（）的B處，而底端E向外移動了1米到C處（米）．測量得米．求宣傳海報（）的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】米【分析】先根據(jù)勾股定理算出的長度，即可得的長度，再根據(jù)勾股定理得出的長度，即可得．【詳解】解：由題意可得：米，米，米在中，（米）則（米）在中，（米）故米．答：宣傳海報（）的高度為米．23．（8分）（23-24八年級下·吉林·期末）如圖，貨輪M在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的北偏西30度方向，且與貨輪M相距．同時，在它的北偏東60度方向又發(fā)現(xiàn)客輪B，且與貨輪M相距，求此時燈塔A距客輪B的距離．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，連接，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，由已知可得，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，答：此時燈塔A距客輪B的距離為13nmile．24．（10分）（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，且巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感．他驚喜地發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖（1）或圖（2）擺放時，都可以用“面積法”來證明勾股定理．下面是小聰利用圖（1）證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按如圖（1）所示擺放，其中．求證：．【答案】見解析【分析】此題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四邊形的面積是解本題的關(guān)鍵．證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和，化簡整理即可得到勾股定理表達(dá)式．【詳解】證明：如圖（1），連接，過點作邊上的高，則．，，，．25．（10分）（23-24八年級下·四川廣安·期末）如圖，某區(qū)有A，B，C，D四個景點，景點A，D，C依次在東西方向的一條直線上，現(xiàn)有公路，已知，，，．(1)通過計算說明公路是否與垂直；(2)市政府準(zhǔn)備在景點B，C之間修一條互通大道（即線段），并在大道上的E處修建一座涼亭方便游客休息，同時D，E之間也修建一條互通大道（即線段），且．若修建互通大道的費用均是每千米17萬元，請求出修建互通大道的總費用．【答案】(1)公路與垂直，計算見解析(2)818萬元【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理及面積法求得，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，即，是直角三角形，且，公路與垂直．（2）解：由（1）知，．在中，，，，，，即，