2/2二次根式的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①二次根式的定義②二次根式有無(wú)意義的條件1.掌握二次根式的定義，能夠熟練判斷二次根式．2.掌握二次根式有無(wú)意義的條件，能夠根據(jù)此條件熟練求值．知識(shí)點(diǎn)01二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號(hào)．如都是二次根式。2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號(hào)；（2）被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).【即學(xué)即練1】1．（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期末）下列各式中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的定義，解答的關(guān)鍵是熟知形如的式子叫做二次根式．根據(jù)二次根式的定義，形如的式子，判斷即可．【詳解】解：A．是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；B．的被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是三次根式，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．的被開(kāi)方數(shù)時(shí)，該代數(shù)式無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．知識(shí)點(diǎn)02二次根式有無(wú)意義的條件1.二次根式有意義：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即；2.二次根式無(wú)意義：被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)，即；【即學(xué)即練2】1．（23-24八年級(jí)下·云南曲靖·階段練習(xí)）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件：二次根式里的被開(kāi)方數(shù)不小于，依此即可解答．【詳解】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：，故選C．2．（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）已知，則化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件可得，結(jié)合題意可得，，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，∴x與y異號(hào)，又∵，∴，∴，，∴，故選：C．知識(shí)點(diǎn)03二次根式的性質(zhì)1.二次根式（）的非負(fù)性（）表示的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即（）．2.二次根式的性質(zhì)：（）3.二次根式的性質(zhì)：【即學(xué)即練3】1．（23-24八年級(jí)下·吉林·期末）若

，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)可得，則．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．2．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對(duì)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)化簡(jiǎn)二次根式，然后再根據(jù)去絕對(duì)值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，故選：B．題型01判斷是否為二次根式【典例1】（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）下列式子不是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了二次根式的概念，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式的定義分析得出答案．【詳解】解：A、是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；B、當(dāng)時(shí)，不是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；C、是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；D、是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【變式1】（23-24九年級(jí)上·四川宜賓·期末）下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的定義，掌握形如的式子是二次根式解題即可．【詳解】解：A.是二次根式；B.無(wú)意義，不是二次根式；C.無(wú)意義，不是二次根式；D.，根指數(shù)為，不是二次根式；故選A．【變式2】（23-24八年級(jí)下·廣西百色·期中）下列各式中一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義逐一判斷即可求解，熟練掌握式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，則不是二次根式，故不符合題意；B、是三次根式，故不符合題意；C、，則不是二次根式，故不符合題意；D、是二次根式，故不符合題意；故選D．【變式3】（23-24八年級(jí)下·浙江麗水·期末）要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，x可以取的數(shù)是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)即可得出答案．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，，故選：D．【變式4】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的定義，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．形如的代數(shù)式叫做二次根式，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、中的被開(kāi)方數(shù)，故不是二次根式，不符合題意；B、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合題意；C、是三次根式，故不是二次根式，不符合題意；D、是二次根式，符合題意，故選：D．題型02根據(jù)二次根式的定義求字母的值【典例2】（23-24八年級(jí)下·云南昭通·期中）已知是整數(shù)，是正整數(shù)，則的所有可能的取值的和是（

）A．11 B．12 C．15 D．19【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的定義．根據(jù)二次根式的定義即可求出答案．【詳解】由題意可知：，，∵是整數(shù)，是正整數(shù)，∴或7或8，，故選：D．【變式1】（22-23七年級(jí)下·廣東汕頭·期末）已知是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式求出m的取值范圍，再根據(jù)是整數(shù)對(duì)m的值進(jìn)行分析討論．【詳解】解：由題意得：，解得，又因?yàn)槭钦麛?shù)，∴是完全平方數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，綜上所述，自然數(shù)m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)及自然數(shù)的定義，掌握二次根式的化簡(jiǎn)法則及自然數(shù)是指大于等于0的整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（22-23八年級(jí)上·福建福州·期末）若是一個(gè)整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】結(jié)合正整數(shù)與最簡(jiǎn)二次根式的性質(zhì)即可求出m的值．【詳解】∵是一個(gè)整數(shù),且m是正整數(shù)，,∴m的最小值為3，此時(shí)的值是整數(shù)3.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3】（22-23八年級(jí)下·福建福州·期中）已知n是一個(gè)正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（

）A．0 B．4 C．5 D．20【答案】C【分析】首先把被開(kāi)方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定n的值．【詳解】解：，∵是整數(shù)，n是一個(gè)正整數(shù)，∴n的最小值是5．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì)，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．題型03求二次根式的值【典例3】（23-24八年級(jí)下·浙江衢州·期中）當(dāng)時(shí)，二次根式的值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】本題考查求二次根式的值，先將代入，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，．故選：C．【變式1】（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）當(dāng)時(shí)，二次根式的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查二次根式求值，將代入二次根式，直接求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，故選：B．【變式2】（23-24九年級(jí)上·海南儋州·期末）當(dāng)時(shí)，二次根式的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質(zhì)及化簡(jiǎn)，二次根式的定義，把代入原式化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式，故選：B．【變式3】（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期末）當(dāng)時(shí)，二次根式的值為（

）A．4 B． C．6 D．2【答案】D【分析】本題考查二次根式的定義，把代入求值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，二次根式，故選：D．題型04根據(jù)二次根式有意義條件求范圍【典例4】（23-24八年級(jí)下·遼寧營(yíng)口·期末）若二次根式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式有意義的條件，可得：，據(jù)此求出實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【詳解】解：二次根式有意義，，解得：．故選：B．【變式1】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．【詳解】解：∵，，故選：C．【變式2】（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．掌握二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式性質(zhì)，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，列不等式求解．【詳解】解：由題意得，，解得：．故選：B．【變式3】（23-24八年級(jí)下·新疆和田·期中）使有意義的字母的取值范圍（

）A．全體實(shí)數(shù) B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故選C．題型05根據(jù)二次根式有意義求值【典例5】（23-24八年級(jí)下·吉林松原·期中）若，則．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的非負(fù)性、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次根式的非負(fù)性求得x、y的值成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的非負(fù)性求得x，進(jìn)而求得y，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，∴．故答案為：．【變式1】（23-24八年級(jí)下·四川綿陽(yáng)·期中）已知為實(shí)數(shù)，且，則的值為．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，直接利用二次根式有意義的條件得出的值，進(jìn)而得出的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，，，故答案為：．【變式2】（23-24八年級(jí)下·湖北荊州·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的小數(shù)部分是．【答案】/【分析】本題考查二次根式有意義的條件及無(wú)理數(shù)的估算，結(jié)合已知條件求得的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件求得的值，然后求出，利用無(wú)理數(shù)的估算求得小數(shù)部分．【詳解】解：由題意可得：，則，則，，，則的小整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是，故答案為：．【變式3】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）已知，則．【答案】25【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件，求出x的值是解題關(guān)鍵；利用二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可；【詳解】解：由題意知：，解得：，，，故答案為：25；題型06根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式【典例6】（23-24八年級(jí)下·遼寧撫順·期中）化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵被開(kāi)方數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，即中，，∴中，，∴，故答案為：．【變式1】（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：．【答案】/【分析】本題考查二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值等知識(shí)，由得到，從而將化簡(jiǎn)即可得到答案，熟記二次根式性質(zhì)、絕對(duì)值的代數(shù)意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故答案為：．【變式2】（2024·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）已知的三邊分別為，化簡(jiǎn)．【答案】4【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確理解二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵．首先根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系求得的范圍，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】解：、、5是三角形的三邊，，，，原式．故答案為：4．【變式3】（23-24八年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）已知點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)a、b、c的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握二次根式性質(zhì)及絕對(duì)值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵．先根據(jù)數(shù)軸判斷a、b、c的取值范圍，利用二次根式、立方根性質(zhì)化簡(jiǎn)，判斷絕對(duì)值里面的數(shù)的正負(fù)號(hào)，去掉絕對(duì)值，最后再合并同類項(xiàng)．【詳解】解：由圖可知：，且，，故答案為：．題型07含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式【典例7】（23-24八年級(jí)下·浙江嘉興·期末）二次根式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，先根據(jù)，得出，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【詳解】∵，，∴原式，，故選：．【變式1】（23-24八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期中）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)公式是解本題的關(guān)鍵．由的積小于0得到與異號(hào)，再根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根得到大于0，進(jìn)而確定出小于0，所求式子利用二次根式的化簡(jiǎn)公式即可得到結(jié)果．【詳解】解：，與異號(hào)，，，，則．故選：C．【變式2】（23-24八年級(jí)下·天津·期中）已知，，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，及二次根式性質(zhì)原式化簡(jiǎn)得到答案．【詳解】解：∵，∴，故，∵，∴，∴．故選：D．【變式3】（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】根據(jù)題意有：，，∴，即，∴，故答案為：．題型08復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)【典例8】（23-24八年級(jí)上·四川巴中·階段練習(xí)）閱讀材料．把根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)m、n，是且，則把變成開(kāi)方，從而使得化簡(jiǎn)．如：解答問(wèn)題：(1)填空：______，______．(2)【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開(kāi)方數(shù)化為平方的形式是解題的關(guān)鍵．（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．（2）根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，；，；（2）解：．【變式1】（23-24八年級(jí)下·湖南湘西·階段練習(xí)）有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使且，則將將變成，即變成開(kāi)方，從而使得化簡(jiǎn)．例如，，請(qǐng)仿照上例解下列問(wèn)題：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)、運(yùn)算，（1）結(jié)合題干思路方法作答即可；（2）結(jié)合題干思路方法作答即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，．【變式2】（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）觀察、思考、解答：反之(1)仿上例，化簡(jiǎn)：______，______．(2)若，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說(shuō)明理由；【答案】(1)，(2)；理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)，完全平方公式的應(yīng)用；（1）仿照例子，根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)化簡(jiǎn)即可；（2）由題意知，，用完全平方公式，再進(jìn)行比較即可確定m、n與a、b的關(guān)系．【詳解】（1）解：；；故答案為：，；（2）∵，∴即，∴【變式3】（23-24八年級(jí)下·江蘇淮安·期末）像，這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)：如：，再如：，請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：(2)化簡(jiǎn)：(3)若，且為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】此題考查化簡(jiǎn)二次根式，完全平方公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確變形是解題的關(guān)鍵．（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合、n為正整數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：；故答案為：（2）；故答案為：（3）∵∴，∴，，∴又∵、n為正整數(shù)，∴，或者，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴k的值為：或．一、單選題1．下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵；形如是二次根式，注意二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【詳解】解：A、的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，是二次根式，故A正確；B、時(shí)，不是二次根式，故B錯(cuò)誤；C、是三次根式，故C錯(cuò)誤；D、時(shí)，不是二次根式，故D錯(cuò)誤；故選：A．2．（23-24八年級(jí)下·廣東云浮·期末）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式，熟練二次根式的性質(zhì)列出不等式是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，列不等式，即可求解出答案．【詳解】解：依題意有，解得．故選：C．3．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）當(dāng)x取以下哪個(gè)值時(shí)，的值最?。?/p>

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的的非負(fù)性．根據(jù)題意可得，從而得到當(dāng)時(shí)，的值最小，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，當(dāng)時(shí)，的值最小，即時(shí)，的值最小．故選：C4．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列各式中，不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷得出答案．【詳解】解：，故A選項(xiàng)不正確，符合題意；，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．5．（23-24八年級(jí)下·河北保定·期末）化簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，先判斷a的正負(fù)，再根據(jù)二次根式的性化簡(jiǎn)．【詳解】解：∵，∴，∴．故選A．二、填空題6．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性可求得結(jié)果，正確求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知：，∵，∴原式，故答案為：．7．（23-24八年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·期末）使式子有意義，則x的值為．【答案】且【分析】本題考查的是零次冪的含義，二次根式，分式有意義的條件，根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)可得且，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：∵式子有意義，∴且，解得：且；故答案為：且8．（22-23八年級(jí)下·四川綿陽(yáng)·期中）若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)，且是整數(shù)，是整數(shù)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵是整數(shù)，，且是整數(shù)，∴的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（23-24八年級(jí)下·湖北十堰·期末）已知,則【答案】【分析】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、化簡(jiǎn)二次根式，將代入，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：將代入，得：，故答案為：．10．（23-24八年級(jí)下·山東濱州·階段練習(xí)）已知x、y是實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為．【答案】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值，二次根式計(jì)算等．根據(jù)題意可得，再代入中，利用二次根式計(jì)算即可得到本題答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)x取任意實(shí)數(shù)(3)且【分析】本題考查二次根式的意義，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵；（1）由二次根式中被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出不等式解答即可求得對(duì)應(yīng)的取值范圍；（2）由二次根式中被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出不等式解答即可求得對(duì)應(yīng)的取值范圍；（3）由二次根式中被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，結(jié)合分母不能為0，列出不等式解答即可求得對(duì)應(yīng)的取值范圍．【詳解】（1）有意義，解得：，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．（2）有意義，無(wú)論x為何值，則，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．（3）有意義，，且，解得：且，當(dāng)且時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．12．（23-24八年級(jí)下·貴州黔南·期中）若求的值．【答案】【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)以及二次根式，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．直接利用算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)數(shù)性質(zhì)得出，的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，，解得，．13．（24-25八年級(jí)上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足．(1)求a，b，c；(2)若滿足上式的a，c為等腰三角形的兩邊，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．【答案】(1)，，；(2)．【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件以及等腰三角形的定義．（1）利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)而得出c的值，再利用絕對(duì)值以及二次根式的性質(zhì)得出a，b的值；（2）利用等腰三角形的定義和三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系分析得出答案．【詳解】（1）解：由題意可得：，，解得：，∴，則，；（2）解：當(dāng)a是腰長(zhǎng)，c是底邊時(shí)，等腰三角形的腰