2/2第四章一次函數(shù)2認識一次函數(shù)（第1課時）一、學習任務分析數(shù)學是研究變化中的不變關系，函數(shù)是刻畫變化中不變關系的直接工具，它既是一種思維方式，也是一種數(shù)學工具。認識一次函數(shù)的內(nèi)容分為3個課時，它們的主要關系如下：本課時為第1課時，主要是通過對實際問題的分析，理解“均勻”變化，感悟線性關系。從教材呈現(xiàn)的位置分析，本節(jié)課的內(nèi)容位于“函數(shù)概念”之后和“一次函數(shù)概念”之前，其核心是加深對“一次函數(shù)”與“函數(shù)”關系的理解，為下一課時定義一次函數(shù)作思維鋪墊；從教材內(nèi)容來看，以凸顯“均勻”變化的生活實例為載體，其核心是通過分析實例中的變化特征，理解“均勻”變化，進而理解一次函數(shù)“變化率恒定”的本質(zhì)；從素材呈現(xiàn)方式來看，通過采用操作、思考、交流等活動形式，讓學生經(jīng)歷“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”的過程，進而深層次地理解函數(shù)是描述現(xiàn)實世界事物變化規(guī)律的重要模型。二、學生起點分析學生的知識技能基礎：學生已經(jīng)理解了“常量”與“變量”等基礎概念，并熟練掌握了代數(shù)式的運算以及表示變量之間關系的方法等相關技能。同時，學生對“函數(shù)”以及“函數(shù)值”等概念有了初步的認識，并能夠運用表格、圖象和關系式等多種方式表示函數(shù)。學生已經(jīng)理解了函數(shù)概念的“整體性”，但對其“特殊性”理解不深，還未了解“變化特征”的概念，未建立特定變化特征與特定函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。學生的活動經(jīng)驗基礎：函數(shù)是常量數(shù)學向變量數(shù)學過渡的重要載體，學生們已掌握分析現(xiàn)實情境中數(shù)量關系、描述變量間關系的能力。在實踐探究的學習模式下，學生已經(jīng)積累了收集、整理、分析數(shù)據(jù)的豐富經(jīng)驗。然而，學生在將生活問題抽象化為數(shù)學問題的過程中，缺乏足夠的觀察能力與表達能力?，F(xiàn)階段學生的學習愿望較強，并勤于動手、樂于表達自我；學生已具備良好的合作交流習慣和分享表達能力；在思維方面，學生展現(xiàn)出較強的活躍性，其抽象思維能力正處于逐漸形成但尚未達到成熟的階段。三、教學目標1.理解“均勻”變化的概念，掌握判斷某一變化是否遵循“均勻”變化規(guī)律的方法。2.經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)的活動過程，積累將生活問題數(shù)學化的經(jīng)驗，理解函數(shù)是描述現(xiàn)實世界事物變化規(guī)律的重要數(shù)學模型。3.在交流分享中，了解“均勻變化的程度”在表格、圖象和關系式中的直觀體現(xiàn)，進一步發(fā)展合作交流的能力和數(shù)學表達能力。4.初步培養(yǎng)基于科學數(shù)據(jù)進行分析問題、解決問題的良好習慣，強調(diào)以事實為依據(jù)的思維方式。教學重點：理解“均勻”變化的概念，掌握判斷某一變化是否遵循“均勻”變化規(guī)律的方法。教學難點：理解“均勻”變化的概念。四、教學過程設計【第一環(huán)節(jié)】情境引入1.活動內(nèi)容（1）教師給出如下信息：第四十七屆聯(lián)合國大會作出決議，確定每年的3月22日為“世界水日（WorldWaterDay）”。1988年，《中華人民共和國水法》頒布后，水利部即確定每年的7月1日至7日為“中國水周”，考慮到世界水日與中國水周的主旨和內(nèi)容基本相同，因此從1994年開始，“中國水周”的時間改為每年的3月22日至28日。2019年4月，經(jīng)中央深改委審議通過的《國家節(jié)水行動方案》印發(fā)實施，標志著節(jié)水上升為國家意志和全民行動。據(jù)調(diào)查，2020年，我國人均生活用水量為：城鎮(zhèn)（含公共用水）207L/d，農(nóng)村100L/d。節(jié)約用水，人人有責，在生活中做好每一件小事，用行動踐行節(jié)約用水。（2）提出問題：一個滴漏的水龍頭一年的漏水量大約有多少？夠一個人一年使用嗎？先猜一猜，再設計一個方案具體估算一下，并與同伴進行交流。2.活動目的將教材中的問題引入置于合適的背景下呈現(xiàn)，既能與德育進行融合，也可以使學生感受研究此問題的現(xiàn)實價值。3.注意事項為解決這個問題，可以提前將學生分組，要求每小組在課前完成以下任務：將水龍頭擰到適當位置，造成滴漏現(xiàn)象，在水龍頭下方放一個量杯。每隔1min，記錄一下量杯中的水量，并將數(shù)據(jù)填入下表。在坐標紙上描出(t，V)對應的點。你認為漏水量的變化具有什么規(guī)律？請你估計：這個水龍頭一天的漏水量是多少？時間t/min12345678910…漏水量V/mL布置任務后，為保障實驗效果，教師要指導學生合理設置水龍頭的滴水速度，同時要對學生收集數(shù)據(jù)的過程進行指導，一是給予方案可行性判斷的標準，如數(shù)據(jù)收集方案是否可行？估算方法（數(shù)據(jù)的精度選擇）是否科學？二是給予收集數(shù)據(jù)工具的選擇，如燒杯、量筒等；三是給予采集的數(shù)據(jù)準確性的判斷，如怎樣判斷數(shù)據(jù)是否存在較大誤差？誤差較大的數(shù)據(jù)如何處理？出現(xiàn)較大測量誤差的原因是什么？如何優(yōu)化實驗減小測量誤差？在此環(huán)節(jié)，教師需要對學生提出的要求是：在真實的實驗過程中收集數(shù)據(jù)，在具體的實驗操作中積累經(jīng)驗?！镜诙h(huán)節(jié)】數(shù)據(jù)分析1.活動內(nèi)容操作·思考（1）各小組展示課前完成的任務，匯報各自收集到的數(shù)據(jù)，以及在坐標紙上描出的（t，V）對應點的圖象，并據(jù)此估計：自己小組實驗用的這個水龍頭一天的漏水量有多少？一年呢？夠一個人一年使用嗎？（2）分析自己組的實驗數(shù)據(jù)，你能寫出漏水量V與時間t之間的關系式嗎？（3）不同組的實驗結(jié)果有何異同？2.活動目的在具體情境中認識“均勻”變化，感悟線性關系。本環(huán)節(jié)的設計在學生深化函數(shù)概念的理解，體會自變量與因變量之間的關聯(lián)，以及熟悉函數(shù)的三種表述形式等方面均具有重要意義。在辨識共性特征時，通過對表格數(shù)據(jù)的分析，學生可以初步認識到在單位時間漏水量恒定的情境下，水量的遞增呈現(xiàn)出均勻變化特性；借助對關系式結(jié)構(gòu)的剖析，學生能夠初步領悟此類變化規(guī)律可通過特定代數(shù)式加以表達；而通過對圖象特征的解讀，學生則可以初步感知此類變化規(guī)律在圖象上的獨特展現(xiàn)。在進行歸因分析時，此舉不僅深化了對一次函數(shù)的理解，還直觀揭示了其“均勻”變化的本質(zhì)特征，經(jīng)歷借助表格、圖象和關系式這三種不同表示方式表達相同的對應關系的過程，讓學生對內(nèi)在一致性有了更深刻的認識。3.注意事項（1）教師提煉各組展講要點，整合各組展講內(nèi)容，明晰各組展講維度（如單位時間漏水量、漏水量V與時間t之間的關系式、平面直角坐標系中（t，V）對應點的分布特征、漏水量變化規(guī)律等）。（2）在教學活動的設計上，應引導學生首先進行同組數(shù)據(jù)的深入分析，隨后再進行不同組數(shù)據(jù)之間的細致觀察，以便從中提煉出共同點。對于共同點的觀察，應特別聚焦于相同時間間隔內(nèi)數(shù)據(jù)變化的一致性，即進行等差特性的觀察與分析。同時，在描述情境中的“均勻”變化時，教師應指導學生運用簡潔明了的語言進行表達。（3）沒有條件開展課前實驗的班級，可以在本環(huán)節(jié)采用教材呈現(xiàn)的小明的實驗數(shù)據(jù)，利用小明的數(shù)據(jù)觀察、描點、估算，寫出V與t的關系，并分析如果自己做實驗，實驗結(jié)果是否會與小明的一致？教師也可以自己做一下課前實驗，把收集的數(shù)據(jù)用于在教學中與小明數(shù)據(jù)進行觀察和比較?！镜谌h(huán)節(jié)】尋找異同1.活動內(nèi)容思考·交流分享各組的實驗結(jié)果，并交流下列問題：（1）比較各組的實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果，有什么共同之處，又有什么不同之處？（2）引起各組數(shù)據(jù)不一致的因素有哪些？這些因素的差別對表格、圖象和關系式的影響分別體現(xiàn)在哪些方面？（3）假如水龍頭漏水嚴重一些，表格、圖象和關系式可能會發(fā)生什么變化？為什么？2.活動目的本環(huán)節(jié)讓學生通過分享感受更多的線性關系，形成對線性關系更全面的認識。學生通過充分的比較、分析，認識“均勻”變化，感悟線性關系，體會關系式中的系數(shù)對表格、圖象的影響。3.注意事項（1）各組實驗數(shù)據(jù)不同，在分析比較時，可以借助表格、圖象等不同表示方式進行異同點的比較分析。（2）在進行原因分析時，應鼓勵學生充分比較，大膽分析原因，并結(jié)合不同組的數(shù)據(jù)判斷尋找的因果關系是否正確?！镜谒沫h(huán)節(jié)】類比應用1.活動內(nèi)容操作·思考為了估計一根驅(qū)蚊線香可燃燒的時間，小穎點燃一根香，并每隔1min測量一次香可燃燒部分的長度，數(shù)據(jù)如下：燃燒時間t/min12345…香可燃燒部分的長度l/cm22.421.921.420.920.4…（1）根據(jù)小穎得到的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標系中描出（t，l）對應的點。（2）估計燃燒10min后這根香可燃燒部分的長度，并說明理由。（3）估計這根香可燃燒的時間，并說明理由。（4）試寫出這根香可燃燒部分的長度l與燃燒時間t之間的關系式。思考·交流在小穎的實驗中，燃燒時間每增加1min，香可燃燒部分的長度就減少0.5cm。也就是說，隨著時間的增加，香可燃燒部分的長度在“均勻”地減少。為什么香的燃燒會有這樣的“均勻”變化呢？與同伴進行交流。2.活動目的通過燃香實驗的“操作·思考”，讓學生進一步感受線性關系，豐富學生對線性關系的實際體驗。通過與“水龍頭滴漏問題”進行對比，讓學生感知“均勻”變化包括“均勻增加”和“均勻減少”，即斜率可正可負，也可以讓學生感知初始量可以非零。通過“思考·交流”引導學生進一步思考燃香實驗中變量之間關系呈現(xiàn)線性關系的內(nèi)在原因，積累分析、判斷線性關系的經(jīng)驗。3.注意事項本環(huán)節(jié)的“操作·思考”部分，鼓勵學生先自己完成，然后由教師進行點評指導。“思考·交流”部分要結(jié)合生活實際中的具體情境，剖析產(chǎn)生“均勻”變化的原因，使學生能夠更好地認識生活中的“均勻”變化現(xiàn)象?！镜谖瀛h(huán)節(jié)】課堂小結(jié)1.活動內(nèi)容（1）師生共同交流總結(jié)，歸納“均勻”變化的規(guī)律；一個變量增加固定的數(shù)值時，另一個變量的變化量是相同的。（2）總結(jié)歸納對“均勻”的解讀，以及“均勻”在表格、圖象和關系式等表示方式中的體現(xiàn)。2.活動目的回顧并深化對“均勻”變化規(guī)律的理解，使學生能夠透徹地把握其內(nèi)在含義，并敏銳地捕捉到“均勻”變化在外部世界中的具體表現(xiàn)。同時，通過本次活動，學生能夠認識到“均勻”變化的函數(shù)作為一類具有特殊性質(zhì)的函數(shù)，在數(shù)學領域中占據(jù)著重要的地位。3.注意事項鼓勵采用多樣化的總結(jié)方式，如引導學生主動分享符合“均勻”變化特征的實例等，以加深對知識點的記憶和理解。此外，還需引導學生保持清晰、準確的語言表達，以確保信息傳遞的準確性和有效性?！镜诹h(huán)節(jié)】布置作業(yè)1.活動內(nèi)容（1）根據(jù)下列信息，判斷是否為“均勻”變化。①自變量x0.511.522.5…因變量y－1－1.8－2.6－3.4－4.2…②③。（2）“驅(qū)蚊線香可燃燒時間”問題中，為什么香的可燃燒部分的長度會“均勻”變化？（3）生活中還有哪些“均勻”變化的現(xiàn)象？試舉兩例。2.活動目的會通過表格、圖象和關系式判斷某變量之間的變化是否“均勻”；能夠在情境中分析變化是否“均勻”的現(xiàn)實原因；能夠?qū)Α熬鶆颉弊兓睦斫膺w移到生活情境之中。3.注意事項用表格、圖象和關系式表示時，每一類中若出現(xiàn)多組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)要易于比較；對“驅(qū)蚊線香的燃燒”為什么會“均勻”的分析要全面；對“均勻”變化所舉例子可結(jié)合現(xiàn)實生活。五、教學設計反思1.學習重點的選擇本節(jié)課聚焦于基本技能、基本思想方法及基本活動經(jīng)驗的傳授，對基本知識的涉及相對較少。因此，在教學過程中，應重點提升學生在具體實踐操作中的感知與表達能力。為達成此目標，教師需要為學生提供更多手腦并用的機會，例如，在觀察表格、圖象及關系式的特征時，鼓勵學生邊寫、邊畫、邊闡述，以此深化理解并鞏固所學內(nèi)容。2.學習難點的突破本節(jié)課的難點聚焦于深入理解并精確描述變化過程中的“均勻”特性。在實驗操作環(huán)節(jié)中，首先，讓學生通過觀察數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，初步感知其獨特性質(zhì)；隨后，通過詳盡的數(shù)據(jù)分析，揭示并認識“等差”這一核心規(guī)律；最終，借助標準化的語言表述模式（如以固定時間間隔增加固定數(shù)值），準確傳達此規(guī)律，以加深學生對“均勻”變化的理解。在教學過程中，教師應當樹立典范，提供規(guī)范的語言模型供學生參考，并注重引導學生形成嚴謹、準確的表達習慣。3.課堂活動的選擇課堂活動的設計理念為“教師主導、學生主體”，旨在構(gòu)建一種“分享·創(chuàng)生”型的課堂教學模式。該模式的核心課堂活動包括課前調(diào)查、小組展示、合作交流等，這些活動均要求學生展現(xiàn)出探索的欲望、合作的意識、表達的勇氣以及分享的習慣。若學生因客觀條件限制無法自主完成課前調(diào)查，教師可以主動提供相關數(shù)據(jù)，但在提供數(shù)據(jù)的同時，應重視展示數(shù)據(jù)收集的過程，如通過播放過程性視頻等方式，使學生了解數(shù)據(jù)的來源。在小組展示環(huán)節(jié)，教師應積極鼓勵并引導學生參與，通過設定明確的任務、提供必要的支持以及給予及時的反饋，激發(fā)學生的參與熱情，確保每位學生都能在活動中發(fā)揮積極作用，共同促進課堂目標的實現(xiàn)。4.學生能力的培養(yǎng)培養(yǎng)學生“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”的能力。素材要盡可能地來源于生活，且具有一定的現(xiàn)實價值，旨在使學生