題目：_____中學數(shù)學中的概念教學及案例分析___________摘要：發(fā)展學生的核心素養(yǎng)是黨的教育方針的形象化、具體化。數(shù)學的公式、法則、定理這一切都是以數(shù)學概念為基礎(chǔ)。因此，對數(shù)學概念的深刻理解在數(shù)學教學中顯得尤為重要。本文介紹了數(shù)學概念產(chǎn)生和發(fā)展的原因主要是由于人類的實際需要以及社會進步需要、科技發(fā)展的需要并介紹獲得數(shù)學概念的兩種形式分別是形成和分化。通過對分析現(xiàn)在數(shù)學概念課堂的現(xiàn)狀，反映出教師對數(shù)學概念教學所產(chǎn)生的誤區(qū)，提出切實可行的教學策略和應(yīng)當實行的教學原則，本文對一些教學案例進行了具體分析。關(guān)鍵詞：智慧課堂；情境教學；概念形成；概念分化Abstract:Thecoreliteracyofdevelopingstudentsisthevisualizationandconcretenessoftheparty'seducationalpolicy.Mathematicalformulas,rules,andtheoremsareallbasedonmathematicalconcepts.Therefore,adeepunderstandingofmathematicalconceptsisparticularlyimportantinmathematicalteaching.Thisarticleintroducesthereasonsfortheemergenceanddevelopmentofmathematicalconceptsmainlyduetotheactualneedsofhumanbeings,theneedsofsocialprogress,theneedsofscientificandtechnologicaldevelopment,andthetwoformsofobtainingmathematicalconceptsareformationanddifferentiation,respectively.Byanalyzingthecurrentsituationofcurrentmathematicalconceptclassrooms,reflectingteachers'misunderstandingsofmathematicalconceptteaching,puttingforwardpracticalteachingstrategiesandteachingprinciplesthatshouldbeimplemented,thispaperanalyzessometeachingcasesindetail.Keywords:Wisdomclassroom;situationalteaching;conceptformation;conceptdifferentiation目錄TOC\o"1-2"\h\u1緒論 31.1數(shù)學概念的產(chǎn)生和發(fā)展 31.2數(shù)學概念的獲得 41.3研究數(shù)學概念教學的目的與意義 52數(shù)學概念教學在教學中的地位 72.1數(shù)學概念教學的現(xiàn)狀 72.2數(shù)學概念教學的策略 92.3數(shù)學概念教學的學習特點和教學原則 123數(shù)學概念教學在課堂教學中的案例分析 143.1算術(shù)平方根 143.2一元二次方程 184結(jié)論和啟示 22謝辭 23參考文獻 241緒論數(shù)學概念的產(chǎn)生和發(fā)展數(shù)學概念產(chǎn)于人類的實際需要人們實踐活動是數(shù)學概念的產(chǎn)生最真實需要的結(jié)果。早年前，人們借助自己的手指頭來記數(shù)，當指頭不夠使用的時候，想到了“繩子記數(shù)”的方法。比如人們用繩子打結(jié)來計算獵物的數(shù)量，繩結(jié)的大小來表示獵物的大小，這一切都需要計算和比較，就這樣數(shù)的概念開始逐步發(fā)展起來。在最開始幾何形式的出現(xiàn)是人類在自然界中提取出來的，他們發(fā)現(xiàn)了大樹和太陽在形狀上的不同，人們對于圓的認識來源于太陽和滿月，后來進一步將感悟再現(xiàn)于建筑設(shè)計、繪畫裝飾和器皿制作，這都出現(xiàn)在認識之初。我們基本的數(shù)和形的概念就是從這樣的形式呈現(xiàn)的，只不過在很久的以后人們才將更加豐富的內(nèi)容賦予給這些概念。這些形式的產(chǎn)生是人類智慧抽象出來的結(jié)晶，是最方便、最實用的工具。數(shù)學概念的產(chǎn)生是社會發(fā)展和科學技術(shù)發(fā)展的需要從根本上來說，人類的生產(chǎn)實踐和社會需要與數(shù)學的概念產(chǎn)生和發(fā)展密切相關(guān)，人們對自然的探索也是數(shù)學研究最豐富的起源。例如現(xiàn)在數(shù)學課本中涉及到的勾股定理，其實勾股定理的最早記載可以追溯到大約公元前一世紀所創(chuàng)作的《周脾算經(jīng)》，而古埃及人也曾用“勾三股四弦五”來測定直角，古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯也對這一性質(zhì)作出了證明。勾股定理的不斷發(fā)展在科學技術(shù)需要和社會需要的刺激下發(fā)展起來，我國古代數(shù)學家立足深入研究并想要由此解決有關(guān)實際問題算法的一系列問題。在突破重重數(shù)學困難，我國古代數(shù)學家推出了一種組合比率算法即為勾股術(shù)。勾股術(shù)是將相似的直角三角形的概念作為基礎(chǔ)概念，基礎(chǔ)性質(zhì)是相似的直角三角形的性質(zhì)，因此相似的直角三角形之間的相似比構(gòu)成了勾股的核心，為勾股的測量應(yīng)用打下來基礎(chǔ)。同時勾股定理也激發(fā)了在建筑、機械制造等其他領(lǐng)域的進步和發(fā)展，還在高等數(shù)學甚至別的學科中也都應(yīng)用非常廣泛。勾股定理成功成為了許許多多的數(shù)學公式推導的基礎(chǔ)以及定理推證的理論基礎(chǔ)。特別是這定理為解決科學技術(shù)以及實際中提出的大量問題提供了有效的幫助。設(shè)想如果當初人類沒有發(fā)現(xiàn)并堅定地研究這一定理，數(shù)學就不會是今天我們所看到的這個場景，也將會影響到社會的發(fā)展和科學技術(shù)的進步。因此，在教學數(shù)學概念時，應(yīng)當適當告訴學生關(guān)于這概念的由來才能讓學生萌生對人類思想結(jié)晶的敬意以及人類的偉大，由此激發(fā)學生的滿腔熱血。由此可見，數(shù)學概念的產(chǎn)生離不開生產(chǎn)生活、社會需要、科學科技發(fā)展等方面的因素，甚至離不開人們堅定的信念和不斷探索的數(shù)學精神。數(shù)學知識的積累程度在很大程度上能夠影響數(shù)學概念的產(chǎn)生，因為只有當人的知識儲備達到一定程度才可能根據(jù)知識累積研究不同的深層問題從而產(chǎn)生新的概念。由于社會的不斷進步、科學技術(shù)的蓬勃發(fā)展為數(shù)學概念的產(chǎn)生提供了大量豐富成果的問題并且刺激著數(shù)學概念的產(chǎn)生和發(fā)展。數(shù)學概念的獲得對于學生來說，要理解和掌握概念就是要掌握這一類的共同特征并能將其運用的過程。例如，學習“棱臺”這一概念，就是要掌握：兩個面相互平行、其余各面都是梯形、所有側(cè)棱的延長線交于一點等幾個關(guān)鍵屬性。同一類事物或現(xiàn)象的的共同特征或共同屬性，并且通過肯定（正例）或否定（反例）的例子加以證實，這樣的方式來獲得概念叫做概念的形成。還有一種方式叫做概念同化就是指通過借助學習者認知結(jié)構(gòu)中原有的一些概念，用定義的形式把概念的關(guān)鍵特征直接提示給學生，以這種方式使學習者獲得新概念。概念形成和概念同化是概念學習的兩個過程，它們代表不同的學習方式即是兩種基本的概念獲得方式。（1）概念的形成發(fā)現(xiàn)學習是概念形成的主要方式。概念的形成實質(zhì)上是通過反復(fù)接觸大量同一類事物或現(xiàn)象從而抽象出某一類事物或現(xiàn)象的共同本質(zhì)特征的過程。能夠清楚掌握概念的本質(zhì)特征，并能夠運用到實際中就標志著概念的形成。概念形成的過程大致可以概括為以下內(nèi)容：①抽象化即能夠發(fā)覺客觀事物的特征，觀察客觀事物進而提出一些有關(guān)事物共同關(guān)鍵特征的假設(shè)。以日常生活中的事物為例，像折疊式推拉門、籬笆等，共同特征就能夠抽象看作是平行四邊形的形狀；對角相等；兩組對邊分別平行且相等；等等。接下來結(jié)合特征提出一些假設(shè)，比如兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形等等。將一條或者幾條共同特征結(jié)合起來是在這里所運用到的假設(shè)辦法。②類化對特征的認同。這個過程可以從中看出學生是否可以準確地領(lǐng)悟新學的概念，判斷是否學會將現(xiàn)有的概念與學生頭腦中已經(jīng)存在的數(shù)學知識總結(jié)抽象概括出共同本質(zhì)特征，是否能在原有同類型的知識結(jié)構(gòu)中新增那些需要解決的問題，進而再在納入到結(jié)構(gòu)中的基礎(chǔ)之上對問題進行更進一步解決，同時能判斷學生是否已經(jīng)真正理解概念的本質(zhì)特征。在數(shù)學概念課上，教師可以出示一些跟概念等值的語言或者與概念相悖但極具迷惑性的語言，讓學生對這些進行辨析和證明。上述例子中，可以提問學生如果已知平面四邊形的對角線互相平分能不能得出這個四邊性是平行四邊形？概念形成的過程中類化至關(guān)重要，這個過程是能夠使新概念納入原有的認知結(jié)構(gòu)并將共同特征應(yīng)用到同類事物中去。③辨別又稱分化，是對客觀事物的特征之間差異的認識并進行分辨是概念形成的重要一步。辨別方式可以是學生在日常生活中知道的經(jīng)驗或事實，也可以是教師給出的典型例子。但是無論如何，都應(yīng)該根據(jù)事物的外部特征對其進行比較、分析、區(qū)分和總結(jié)。就如學生根據(jù)爬行動物的關(guān)鍵特征：腹部著地，匍匐前進；用肺呼吸等，來判斷是否為爬行動物的過程。進行以概念形成的方式概念教學時，必須要認真扎實地引導學生完成概念形成的每一個過程，如果學生沒有經(jīng)歷概念形成的全過程，那么會很容易形成片面的理解概念甚至是錯誤的理解概念，學生也很難做到全面徹底正確地理解概念。因此，教師不能急于要學生運用概念，不能急于求成。在教學新概念的過程中，教師要在揭示概念背后的豐富內(nèi)容的基礎(chǔ)上再讓學生形成新概念，要讓學生首先清晰地把握概念的本質(zhì)特征然后再去應(yīng)用概念，否則學生的思維將會是雜亂無章的。（2）概念的同化概念同化逐漸成為學習獲得概念的主要形式，而典型方式是接受學習。通過奧蘇貝爾的有意義接受學習理論可以知道，為了讓學生有意義的接受學習，必須做到以下幾點：首先，必須使用具有邏輯意義的學習材料，也就是說本身必須滿足具有非人為性和客觀性；其次，學生必須擁有一顆想要學習的心，具有有意義學習的意識；第三，在原有的認知結(jié)構(gòu)中學生必須擁有適當?shù)闹R基礎(chǔ)，這樣才能與新知識發(fā)生交流碰撞；第四，學習者必須使新知識與舊知識相互作用的認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生積極相關(guān)。同化概念來獲得概念實際上是理解和掌握概念的推論方式。以前教往往都是從抽象的定義開始然后聯(lián)系，但是由于學生認知結(jié)構(gòu)的不完善不能完全理解，教師應(yīng)注意在概念教學中盡量使用示例和肢體動作，以便用特定的形式來幫助理解抽象的概念。為學生及時提供鍛煉和展示的機會也很重要，方便學生可以繼續(xù)強化概念，更加牢固地理解概念并且將其應(yīng)用到新問題。數(shù)學概念教學中，談到概念同化，常與“注入式”教學聯(lián)系在一起，并認為學生只能被動地接受概念。實際上，這樣的理解是不完整的。教師使用概念同化的方式講授數(shù)學概念，必須將自己的理解賦予特定的直觀形式，也就是要借助物質(zhì)媒體（如文字、圖片等）成為傳遞信息的信號，最后才可以進行數(shù)學概念的教學。從學生的角度來說，接收到的是教師已經(jīng)加上主觀理解的媒體或者信號，并非現(xiàn)成的概念。為了學生準確獲得教師想傳達的信息或理解，他們必須在自己的錄入系統(tǒng)中進行一系列處理。因此，概念同化過程需要學生積極投入學習，需要利用現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)重構(gòu)概念。只有學生動起來愿意學習，才能使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中有關(guān)的舊知識發(fā)生聯(lián)系，達到真正意義上的理解。在數(shù)學概念教學中，教師必須將概念形成和概念同化結(jié)合在一起，不能孤立使用。如果只用概念形成方式講授概念課時，顯然是不符合學校教學的經(jīng)濟性原則；而如果僅使用概念同化的方式來教學，由于是直接給予抽象化的定義，學生比較難以把握概念背后所蘊含的豐富知識，難以徹底全面地理解概念的關(guān)鍵屬性，容易造成概念片面化。教師可以指導學生在揭示概念之后觀察或列舉實例，從而使學生可以輕松地理解概念的主要特征。同時，通過用正例與反例并允許學生辨別、類化和抽象例子，可以弄清概念的主要特征，可以將例子用作理解概念的思維引擎，然后指導學生將新概念與現(xiàn)有概念相結(jié)合。概念形成與概念同化取決于是否在原有知識結(jié)構(gòu)上來學習新概念。所以在概念講授時，有一點非常重要就是教師要把握學生原有認知結(jié)構(gòu)的狀況。事實上，學生已有的認知結(jié)構(gòu)決定著學生感知和理解事物的一般方式，新的概念也許是通過改造這已有的認知結(jié)構(gòu)來接受，也可能是被同化到已有知識中。因此，新概念的講授課一定要適合學生已有的認知結(jié)構(gòu)的水平，這樣才能讓學生將新概念與已有認知結(jié)構(gòu)之間的不平衡作為根本原動力，使概念教學得以充分發(fā)揮，并充分利用差異設(shè)置合理情境從而引發(fā)學生的認知需要，積極主動建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)。研究數(shù)學概念教學的目的與意義新課程標準越來越注重對于數(shù)學概念的教學，目的在于讓學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成過程，引導學生將新知識與原有的舊知識建立實質(zhì)性的非人為的聯(lián)系。本課題的主要目的是探索中學數(shù)學概念的教學并結(jié)合案例分析，能夠明白數(shù)學概念教學對于學生非常重要，教師在教學工作中要重視數(shù)學概念的教學。講授概念課時，根據(jù)學生已有的認知結(jié)構(gòu)設(shè)置適合的教學情境和教學策略，激發(fā)學生的數(shù)學興趣，提高學生的思維能力和數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學概念在數(shù)學理論體系的組成中是十分重要的一部分，如果不掌握好數(shù)學概念，就會無法學習其它的數(shù)學知識。（1）教授數(shù)學概念是數(shù)學教學的基礎(chǔ)。概念承載著思維，如同細胞一樣承載著里面的細胞器。很多學生數(shù)學成績差的原因，刨根究底往往是因為對數(shù)學的概念學習的不理解透徹或不重視，當數(shù)學概念不明確或者對概念死記硬背，肯定會影響到數(shù)學法則、公式、定理等一系列知識的理解和應(yīng)用。因此，如果沒有正確把握數(shù)學概念，就沒辦法學習其他數(shù)學知識。數(shù)學的正確證明和解題都是建立在對概念的深刻理解的基礎(chǔ)之上的。比如：有同學不會計算如果函數(shù)是二次函數(shù)中的值，其原因在于不理解二次函數(shù)的概念。又比如有同學在求當為何值時，的值為0，只簡單的將，卻忽視了分式分母這個條件，錯誤在于沒有徹底理解分式的概念。這兩種情況，都是由于沒有對概念深刻理解所導致的，可見學好數(shù)學的先決條件是對數(shù)學概念的深刻理解。在數(shù)學教學的過程中對于數(shù)學概念的教學直接能夠影響教學成果。因此，要想讓學生學好數(shù)學基礎(chǔ)知識，提高數(shù)學能力，需要教好數(shù)學概念。（2）數(shù)學概念教學能使學生形成良好的品質(zhì)。數(shù)學學習的過程是一項復(fù)雜又繁瑣，需要腦力思維的活動。所以，當學生在學習數(shù)學遇到困難的時候，意志堅強的學生更能夠戰(zhàn)勝困難從而獲得解題成功的樂趣；意志薄弱的學生會缺乏自信，半途而廢，導致對數(shù)學的學習失去信心。當學生形成了正確的動機和熱情的情緒，在遇到困難時就會迎難而上，不屈不撓，能夠體會到在解題過程中的樂趣。在數(shù)學概念教學過程中，教師可以利用概念的教學，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和求勝欲，培養(yǎng)學生堅持不懈的精神以及嚴謹?shù)乃季S邏輯，培養(yǎng)學生追求真理、尊重科學的良好品質(zhì)。例如，在講授“函數(shù)的概念”時，可以跟學生講一講函數(shù)符號的歷史演變以及牛頓、萊布尼茨的研究故事。在講授“勾股定理”時，可以講述其偉大意義以及在《九章算術(shù)》中的應(yīng)用案例，樹立學生潛心鉆研、勇于探索的精神。為了順利讓學生掌握有關(guān)的數(shù)學概念，教師可以展示生活中的實際例子或者豐富的感性材料讓學生觀察和思考，激發(fā)學生對感性材料進行一系列邏輯推理，最后總結(jié)出該概念的主要特征。通過推理和證明的過程，學生將對數(shù)學概念由深刻理解，并結(jié)合鞏固應(yīng)用環(huán)節(jié)，從而提高學生的邏輯思維能力，加深對數(shù)學的興趣。數(shù)學概念教學在教學中的地位數(shù)學概念教學的現(xiàn)狀在數(shù)學的教學的過程中，可能常常會出現(xiàn)這樣的情境，當提問學生一個概念時，學生可以很快很流暢的說出來，但是一旦遇到題目，就會發(fā)生無從下手或者只知道結(jié)果不知道論證理由的困惑。這就是由于在學習概念時，沒有深刻理解概念的本質(zhì)特征所造成的，學生純粹只停留在表面理解甚至是依靠死記硬背，這樣僅僅讓學生知道了概念卻沒有達到讓學生應(yīng)用概念的能力的水平狀態(tài)。目前數(shù)學概念教學存在這樣的問題和難點，主要是以下幾個方面的原因：重解題，輕理解現(xiàn)在的數(shù)學課堂中，數(shù)學概念教學已經(jīng)引起了教師們的重視。但是許多教師不管在講授哪個模塊的數(shù)學概念，也不管概念的產(chǎn)生本源的不同，一律都采用相同的傳統(tǒng)教學模式，即“三個例子——一個概念——八項注意”的模式或者“一個定義——三項注意——幾道例題——大量練習”的模式等[12]，使得教學模式化單一化從而導致學生失去學習數(shù)學的興趣甚至厭惡數(shù)學，依次往后惡性循環(huán)。造成這樣的狀況的原因主要有三個方面：一是受到應(yīng)試教育的影響，在考試當中，主要測試學生的計算和證明的能力，試卷中并不會直接出現(xiàn)考查學生對概念理解的試題。因此，教師花費大量時間來培養(yǎng)學生解決問題的技能，而不是學生的思維能力。二是因為學校所給教師的課時有限，如果教師不斷繼續(xù)啟發(fā)并指導學生，則教學任務(wù)可能無法完成。所以教師為了追趕進度，在數(shù)學概念的教學中，常常對概念的起源以及理解只是一帶而過，不會讓學生追根溯源，節(jié)省下來的時間，進行題海戰(zhàn)術(shù)，讓學生不斷的做題，直至這個類型的題目會做，做對，讓學生在題目中鞏固概念而不是真正意義上的理解其數(shù)學概念的意義。例如，在絕對值的教學過程中，教師往往不會給出關(guān)于二次根式中二次根號的來歷和的故事，而是直接給出二次根式的定義，然后給出根號的符號表示，讓學生記住讀寫方法，重視習題的鞏固。三是由于現(xiàn)在學生及老師相處模式。數(shù)學概念的教學過程中，需要學生與教師的相互配合，若教師創(chuàng)設(shè)教學情境，不斷引導學生進行概念的探索，而學生沒有積極主動地配合反而追求最后的結(jié)果和解題，最后就導致教師教學模式的單一化以及學生失去學習的興趣。重結(jié)論，輕本質(zhì)教學中忽視概念產(chǎn)生的背景和形成過程，教師在頭腦中出現(xiàn)學生不需要概念形成的過程的想法，在數(shù)學概念教學中，不講授概念的來源，不講授符號的演變過程，直接將抽象化的定義硬塞給學生，忽視了學生的能動性。其實數(shù)學概念本身已經(jīng)是思維的產(chǎn)物，在概念產(chǎn)生之前就存在很長一段經(jīng)歷以及探究過程。很多教師在數(shù)學概念課，講授概念的過程過于簡單，容易導致學生沒有經(jīng)歷從感性認識到理性認識的過程，沒有經(jīng)歷由特殊到一般的體驗，不能很好地理解概念的內(nèi)涵和外延。數(shù)學概念教學應(yīng)該讓學生盡可能地經(jīng)歷概念的形成過程并且了解概念產(chǎn)生背景，根據(jù)學生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)創(chuàng)設(shè)教學情境，激發(fā)學生的學習心向。從實際例子出發(fā)，通過實際例子來幫助學生直觀地形成數(shù)學概念，而不是直接將概念講給學生聽。數(shù)學概念教學的核心就是教師要剖析和講授概念的產(chǎn)生背景，提供給學生形成概念的過程的機會。注意概念的歷史發(fā)展，讓學生了解創(chuàng)建概念的必要性，了解概念的來龍去脈，提升學生學習數(shù)學的熱情。比如無理數(shù)概念教學，目前絕大部分教師在教學時，只是簡單的接著前面有理數(shù)的知識進而直接引入無理數(shù)的概念，直接講能夠?qū)懗煞謹?shù)形式的數(shù)叫做有理數(shù)，反之不能寫成分數(shù)形式的數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)即無理數(shù)，第一次講授整數(shù)系擴充就匆匆引入，使學生感到困惑和突兀，只是簡單記住無理數(shù)的概念，卻不能深刻理解這一概念。其實無理數(shù)概念是一個漫長的過程。早些年前，畢達哥拉斯相信，在這世界上只存在整數(shù)和分數(shù)，沒有其他數(shù)字。但是問題在不久的將來出現(xiàn)：當立方邊的長度為1時，對角線長度是多少？是整數(shù)嗎？還是結(jié)果？畢達哥拉斯和他的徒弟開始研究，但仍然無法知道對角線m的長度。因此，他大膽猜想：除了整數(shù)和分數(shù)之外，世界上還有別的數(shù)字嗎？這個問題也引起了希伯斯的注意。他同樣花了很多時間研究它，最后證實m既不是整數(shù)也不是分數(shù)，這是當時無法識別的新數(shù)字。因此，通過數(shù)學家們的研究，人們引入了一個不是整數(shù)或分數(shù)的新數(shù)字。他們認為整數(shù)和分數(shù)很容易理解，因此他們將整數(shù)和分數(shù)組合為“有理數(shù)”，而發(fā)現(xiàn)的新的不可理解的數(shù)稱為“無理數(shù)”。因此，通過講述新概念的創(chuàng)建背景故事來引入新概念不會令學生感到驚訝和疑惑。新概念的出現(xiàn)是為了解決當時的某種需要或者某種問題才引入。因此，要向?qū)W生說明引入概念的原因及歷史，要讓學生感受到引入這個概念是很有必要的一件事情，這樣也能讓學生牢記概念。數(shù)學概念的教學需要讓學生明白概念引入的必要性，而不是憑空產(chǎn)生的也不是多此一舉，通過講述產(chǎn)生背景和形成過程，更加自然地講授新概念，使學生知道為什么要學習這些數(shù)學知識，同時提高學生對數(shù)學的濃厚興趣，培養(yǎng)學生的鉆研精神。重講授，輕探索因為課時緊張，又是班級授課，為了教學進度，在概念教學過程中，教師會忽略創(chuàng)設(shè)問題情境，常常變成教師是主體，采用教師講，學生聽的模式。經(jīng)過教師簡單的講解，要求學生被動接受新概念并記憶，強行塞新概念給學生。因此導致學生學起來枯燥，不利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維和數(shù)學方法。尤其是幾何問題中的許多概念，只有學生親身參與到概念的探索形成過程，對概念才能更加清晰，深刻，記憶才更加牢固。在日后的幾何解題或者證明中，才可以運用自如，而不是像無源之水。以全等三角形的概念為例，在概念教學開頭可以展示生活中的實際圖片來引入本節(jié)課的主題，使學生很快地融入課堂氛圍中，提升學習的興趣，激發(fā)學生自主思考自主學習的潛能。然后采用引導發(fā)現(xiàn)法，讓學生觀察幾組圖片有什么特點并讓學生列舉出平時觀察到的別的實例，進而引出全等三角形的概念。接下來讓學生動手操作，在課堂上能否剪出一組全等三角形，教師走下講臺觀察學生操作情況，提問學生怎么才能確定這兩個三角形是全等三角形？學生分組討論交流，得出可以通過平移、旋轉(zhuǎn)和翻折來判斷。進而學生觀察手中圖形，教師講授對應(yīng)邊的概念，接下來由學生來總結(jié)出其他兩組對應(yīng)關(guān)系，這樣就明白了全等三角形的幾個對應(yīng)條件。通過動手操作和觀察，使學生在思考中主動學習，無形之中內(nèi)化了知識。由此可見，要使學生掌握數(shù)學概念并且深刻理解數(shù)學概念，需要創(chuàng)造形成情景讓學生同樣地經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)，并不是由教師講述的冷冰冰的概念和知識點，通過觀察、操作、探索和分析等一系列的過程，學生主動接受來自自身發(fā)現(xiàn)的概念，提高學生的成就感，使學生不僅知道這個概念還能知道這個概念從哪里來，是怎么來的。數(shù)學概念教學的策略數(shù)學概念是學生學習其他數(shù)學知識（如法則、公式、定理等）的基礎(chǔ)，從認知知識到邏輯認識的增長是學生構(gòu)造數(shù)學概念的過程。數(shù)學概念的教學不應(yīng)是硬塞概念或直接定義概念的過程，而應(yīng)讓學生參與概念的形成過程，重現(xiàn)發(fā)現(xiàn)概念的過程，從而激發(fā)學生的好奇心，理解概念和領(lǐng)悟其中的數(shù)學思想，并建立客觀的聯(lián)系新概念與現(xiàn)有舊知識之間的非人工關(guān)聯(lián)。概念教學是教學的重要環(huán)節(jié)，因此教師應(yīng)該要重視。想要實現(xiàn)數(shù)學概念教學，有以下幾個策略：設(shè)計預(yù)習作業(yè)，預(yù)熱概念概念教學前布置預(yù)習作業(yè)是讓學生了解本節(jié)課所要講解的數(shù)學知識，在頭腦中對數(shù)學概念留些印象。預(yù)習作業(yè)并不是口頭作業(yè)，只需要學生閱讀書本，背誦概念敷衍了事，它跟教學過程中對學生的泛泛要求大不相同，預(yù)習作業(yè)的目的在于想要學生對概念在頭腦中進行預(yù)熱。教師可以設(shè)計預(yù)習教案，在預(yù)習教案中突出本節(jié)課的重難點以及關(guān)鍵點。設(shè)計預(yù)習教案時，充分顧全班級數(shù)學成績情況，考慮到不同學習成績的學生的學習水平。讓學生在完成預(yù)習教案的同時，了解本節(jié)課所要學習的數(shù)學概念防止有部分學生在上課之前一問三不知，不能夠很好的進入學習狀態(tài)。精心設(shè)計后期教學的分層作業(yè)，將分層作業(yè)分為必做題和提高題。預(yù)習作業(yè)不同于往常的導學案，只有概念的填空以及大量的練習題，教師可以在預(yù)習教案中展示有關(guān)數(shù)學概念的由來或者小故事，也可以出示一些科學小實驗，從而提高學生對數(shù)學的熱情。巧設(shè)教學情境，探索概念怎樣才可以讓學生容易理解并接受數(shù)學概念？一節(jié)課如何引入非常重要，數(shù)學新概念的引入有很多種方式，根據(jù)新概念與學生已有的認知結(jié)構(gòu)的不平衡差異巧妙地設(shè)置教學情境，從而實現(xiàn)較好的教學效果。（1）合理使用信息技術(shù)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展快速為教育發(fā)展提供了廣闊的平臺，同時產(chǎn)生了大量的教學資源平臺以及優(yōu)課優(yōu)師。信息技術(shù)的發(fā)展需要教師緊追新課標的步伐，學會利用不同的教育資源平臺，將數(shù)學教學與信息技術(shù)進行融合。借助多媒體工具，可以很大程度上改變教師傳統(tǒng)的講課模式，改變教師光光使用課本和黑板的單一的講解方式。在學習圓錐曲線的概念時，可以借助用幾何畫板制作出來的多媒體課件，讓學生真切的體會到形成的過程。教師提出問題“用一個平面去截圓錐，截面是什么曲線？”，讓學生先4人為一個小組合作討論，并讓學生分享討論成果，然后教師利用課前制作好的幾何畫板多媒體媒體，向?qū)W生展示一個平面圓錐體截斷過程，以便學生了解使用不同的圓錐面可以分別具有橢圓形，雙曲線形和拋物線形。利用直觀的動畫效果首先使學生對圓錐曲線有一個感性的認識。然后教師提問學生用平面去截圓錐所得到的曲面有什么特征？引導學生進行觀察、分析，教師利用多媒體軟件在圓錐內(nèi)部放置兩個球體，使得這兩個球面與圓錐面和截面都相切，向?qū)W生演示圓錐曲線的概念的形成過程，這樣學生能更加深刻理解圓錐曲線的實際意義以及概念的理解，為后面的學習打下基礎(chǔ)。利用信息技術(shù)包括多媒體、微視頻、幾何畫板等工具，能更加直觀地幫助學生理解概念，豐富概念的呈現(xiàn)形式，而這一點傳統(tǒng)教學光靠文字解說并不能做到。同時教師制作課件可以使得教師更深入地研究教材，也可以形象表示概念，促進學生對數(shù)學概念的認識和理解。使用生活中的事例數(shù)學與生活息息相關(guān)，有許多與生活數(shù)學有關(guān)的例子。教師從生活到課堂提供生活實例，通過生活實例來創(chuàng)造教學情境，并有效地減少學生對數(shù)學概念的恐懼和理解概念的難度。在教授數(shù)學概念時，教師首先要從學生的當前生活經(jīng)驗出發(fā)，使用數(shù)學概念來解釋從而來提高學生的理解力，讓學生了解數(shù)學在生活中確實是有用的，并發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用能力。許多教師日常教學引入時，的確經(jīng)常采用生活中的例子，但有的教師從頭到尾都是一本教案走天下，里面的生活素材可能在當時是新穎的，十分貼近學生的日常生活，但是如果一直一成不變沿用至今，學生就會覺得枯燥乏味。因此，教師選用的實際例子要與時俱進，與學生的生活接軌才能夠勾起他們的學習樂趣。教師要了解學生的生活，使用最貼近學生的素材來設(shè)置教學情境，使用最有趣的場景來激發(fā)學生進行思考。這樣緊密貼合學生的生活情境，學生就能將新的概念與已有的概念相聯(lián)系在一起，構(gòu)建出新的體系，培養(yǎng)學生的抽象思維能力。比如生活中的平移這以課，要向?qū)W生講述平移的概念，教師可以給學生播放奧運會我國運動員取得金牌后，中國五星紅旗冉冉上升的畫面，用這個生活中的例子激發(fā)學生的愛國熱情從而帶入到數(shù)學概念的學習中來。教師可以問學生：請同學們用數(shù)學的眼光來觀看國旗冉冉上升的過程中，冠軍的國旗與亞軍、季軍的國旗上升的高度是否相同，中國國旗上的每一顆五角星上升的高度是否相同。此時教師再次播放升國旗的視頻讓學生帶著問題再次觀察思考。在這個教學情境的基礎(chǔ)上，教師引導學生可以把國旗抽象成一個矩形，可以讓學生課前每人準備一面五星紅旗，動手試著將國旗進行不同方向的平移操作，然后通過學生自己親身經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)分析得出圖形平移的一般規(guī)律。當再次提問到這個概念的時候，學生就會想起這個教學情境，因為國旗來源于我們的生活當中不是虛無縹緲的而是切實存在的。又如在引入平行線概念的時候，可以讓學生說出生活中的實例，這樣可以激發(fā)學生的好奇心，像黑板的上下邊緣、左右邊緣，窗戶的上下邊緣，鐵路上的兩道鐵軌等等，先讓學生感性認識這些平行線的原型再引導學生觀察發(fā)現(xiàn)這些例子是不是可以抽象看作直線，分析得出兩條直線之間的關(guān)系，最后可以讓學生自己得出平行線的概念，不完整的地方可以由教師進行補充。在課堂上做到以學生為主體，學生自己探究自己發(fā)現(xiàn)自己總結(jié)，可以讓數(shù)學概念變得更易于接受。（3）善用問題串貫穿課堂的始終是問題或者是教師與學生的一問一答?！墩n標》（2011年版）指出：“教師的引導作用主要體現(xiàn)在：通過恰當?shù)膯栴}，或者準確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，引導學生積極思考、求知求真，并用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生都能積極參與學習活動，提高教學活動的針對性和有效性?！盵12]，在教學課堂上，有了問題才會有思考的流動，才能讓學生進入想要學習想要加入的狀態(tài)，這樣的課堂教學才是有效的。當教師不采用一問一答的方式，課堂就會變成學生聽教師講，教師和學生之間沒有互動交流，教師也無法了解學生是否聽懂，所以不能忽視概念的形成過程，不能讓學生死記硬背，要讓學生愿意學習新的數(shù)學知識，主動建構(gòu)知識。教師作為解惑者、引導者，應(yīng)當以問題串為課堂中心，先用問題來了解學生的知識儲備，然后剖析問題答案的過程中，不斷啟發(fā)學生思考，在潛移默化當中，學生接受知識并且深刻理解知識，從而學會應(yīng)用知識，真正做到不是給人一條魚而是教會釣魚的方法。在進行二次函數(shù)概念的教學時，教師可以采用構(gòu)建問題串來啟發(fā)學生并且促進學生進一步探索。在課堂中，教師出示投籃圖片，提出“在觀看籃球比賽時，你有察覺到過籃球入籃的路線？”“橋梁和石拱橋是什么樣的形狀？”“它們會和某種函數(shù)有關(guān)嗎？”等問題，通過這一系列的問題引導學生對以上問題進行思考，在思考得出答案的過程中深化對概念的認識，巧妙地從實例過渡到函數(shù)，培養(yǎng)學生的抽象能力。同時，教師回顧以前的知識來啟發(fā)學生，提出“什么是函數(shù)？”“什么是一次函數(shù)？”“什么是反比例函數(shù)？”“函數(shù)有哪些表示方法？”教師給予學生充足的時間進行思考研究，不加以過多干預(yù)，必要的時候給予一些提示，但依舊要學生自主探索，積極學習，提高學生自主學習的能力，幫助學生獲取成就感。聯(lián)系新舊知識，建構(gòu)概念不少教師在教學數(shù)學概念的時候，會直接開門見山，這樣導致學生沒有任何思想準備，不能很快進入狀態(tài)。其實學生在進入課堂的時候，不是空著腦袋走進來的，教師不能忽視學生頭腦中已經(jīng)存在的知識，要充分利用學生已有的認知結(jié)構(gòu)，幫助學生建立起新的概念與已有的舊知識之間的聯(lián)系，進而可以提高學生學習的正向遷移效果，有利于學生更好地掌握事物的本質(zhì)特征。數(shù)學概念是學習數(shù)學的基礎(chǔ)，還有公式、法則、定理、性質(zhì)等內(nèi)容，教師不能忘記學生已經(jīng)在生活中有了的概念，只是他們所知道的概念并沒有嚴謹?shù)臄?shù)學語言表達出來，要引導學生將生活概念與科學概念相聯(lián)系，將已有認知結(jié)構(gòu)與新概念相聯(lián)系，建構(gòu)新的數(shù)學體系，提高課堂效率。比如在學習絕對值概念時，之前學生已經(jīng)學習了有理數(shù)和無理數(shù)，認識了數(shù)軸，能夠在數(shù)軸上表示出有理數(shù)，也已經(jīng)明白了數(shù)軸上的點到原點的距離，并且能夠比較這些距離的大小，在這個基礎(chǔ)上學生已經(jīng)初步接觸了數(shù)學結(jié)合的思想方法。本節(jié)課主要是要利用數(shù)軸引出相反數(shù)、絕對值的概念，想要學生借助以前的舊知識來得到新的概念，并且通過觀察、計算、交流得出絕對值的本質(zhì)特征。首先讓學生理解相反數(shù)的概念，讓學生觀察比較3和-3，5和-5這兩組數(shù)之間的特點從而得出相反數(shù)的概念，用游戲鞏固相反數(shù)的概念。接下來讓學生在數(shù)軸上分別表示出這兩組數(shù)，觀察每組數(shù)所對應(yīng)的位置在數(shù)軸上有什么關(guān)系，學生借助之前學過的數(shù)軸以及相反數(shù)的概念，從形的角度上進一步理解相反數(shù)。然后讓學生觀察圖片（圖1）：圖SEQ圖\*ARABIC1并回答問題“小狗和小兔子分別距離原點有多遠？”思考為什么他們分別在原點的兩端但是距離相同？學生分析得出在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點之間的距離叫做這個數(shù)的絕對值。在課堂上，教師進一步引導學生對“絕對值的性質(zhì)”“絕對值的化簡”等多個內(nèi)容進行學習，并根據(jù)這幾個部分知識之間的聯(lián)系建立知識體系，將有理數(shù)、數(shù)軸、絕對值的知識構(gòu)造思維導圖，讓學生更加深刻理解概念以及概念之間的聯(lián)系。因此，數(shù)學概念的教學要展示知識前后之間的關(guān)聯(lián)，比直接給出定義來的自然，這樣不僅可以加深對概念的理解，還可以啟發(fā)學生，培養(yǎng)學生的自主意識。數(shù)學概念教學的學習特點和教學原則數(shù)學概念教學的學習特點分析問題的能力不足雖然學生能夠初步理解概念，將新的概念與已有的舊知識構(gòu)建體系，然而，學生的思維水平仍然是不夠的尤其是初中生，沒有十足的能力將學到的概念知識靈活地進行處理和分析，且應(yīng)用到實際問題中。面對實際問題或者比較抽象復(fù)雜的問題時，還有學生自認為自己的能力不足以解決這個問題就直接放棄嘗試或者中途放棄，這樣可能會增加學生的解題挫敗感。比如在學習“橢圓”概念時，學生能夠理解長半軸、短半軸、離心率、準線等概念，在實際應(yīng)用中也能夠找到相關(guān)的信息并求出來，但是無法解決橢圓的實際應(yīng)用題。又如學習“異面直線所成角”這課，雖然是在三維立體圖形中，經(jīng)過講解學生是可以弄清異面直線的概念，做題時也可以辨別出哪些是異面直線，但往往沒辦法將異面直線進行轉(zhuǎn)化進而成功算出異面直線所成角。主要還是由于學生問題分析的能力不夠，不能夠?qū)⑺鶎W的概念和實際應(yīng)用融合在一起。不擅長提煉概括在概念教學時，教師能夠做到的就是盡可能讓學生明白概念理解概念，至于后面的理解和應(yīng)用還需要依靠學生自己不斷內(nèi)化概念。但是，現(xiàn)在有許多學生都不重視課后的概括和總結(jié)，覺得是浪費時間，而是死記硬背，不斷地進行練習，一味單純地做題沒有反思和總結(jié)，滿足于完成教師布置的作業(yè)，導致不能完全領(lǐng)會概念和靈活運用概念。以“一元一次方程”概念為例，學生可以理解一元、一次、方程的概念，但很少有學生可以想到要提煉概括n元n次方程的概念。（3）缺乏鉆研精神在教師的引發(fā)下，學生能輕松容易的理解概念的表象，但是在分析概念的更深層的特征時，往往學生總結(jié)不到位或者是深度探究比較困難，甚至有部分學生不愿意繼續(xù)學習更深的概念理解，只停留在能夠解簡單題的程度上，缺乏對數(shù)學的探索和鉆研的精神。（4）難于多背景揭示概念概念的背景通常是指概念的背景或?qū)嶋H模型，而背景或?qū)嶋H模型通常是概念的特例。通過在特殊情況下形成概念，學生可以對基于感性主題的概念有初步的了解，同時使學生逐步上升為理性地理解概念，并在多種情況下實現(xiàn)逐步合理地增加對概念的理解。在課堂上，教師可能會從概念的由來或者關(guān)于概念的小故事進行情境教學，學生就只了解這一個背景，不能夠主動去搜索不同的概念背景，以此來充實自己的數(shù)學知識，缺乏主動性以及缺乏從多個背景揭示概念的能力。比如講授“函數(shù)的概念”，教師可以以各種現(xiàn)實的生活背景作為教學設(shè)計開頭，讓學生先從身邊事物開始感受自變量和因變量，使學生能夠通過觀察，比較和歸納的過程來獲取概念。這是一組例子：①一輛高鐵從蘇州開往上海，已知速度為每小時200千米，在行駛過程中哪些量發(fā)生改變？哪些沒有？②已知衣服進價為55元，售價78元，利潤為多少？如果銷售量不變，總利潤是否改變？銷售量增加，總利潤增加嗎？③中國古代有一種計量時間的儀器叫做沙漏，通過細沙從一個容器漏到另一個容器來計量時間，那么細沙與時間之間有什么關(guān)系？數(shù)學概念教學的教學原則思想性和嚴謹性相統(tǒng)一原則這表示教育應(yīng)以馬克思主義為指導，的確要給學生提供嚴謹科學的知識，在課堂上適時地傳授社會主義教育和培養(yǎng)學生具備良好的個性心理特征，幫助學生形成正確的人生觀、價值觀和科學的世界觀。同時這反映了數(shù)學知識的語言是嚴謹?shù)模墙?jīng)過人們不斷反復(fù)思考提煉出來的，是教學的教育規(guī)律。教師應(yīng)保證數(shù)學概念的科學性，不可向?qū)W生傳遞錯誤信息，根據(jù)概念的特點恰當?shù)膶W生進行思想道德升華，鼓勵他們勤奮好學。概念結(jié)合生活原則是指教師必須引導學生理解和掌握概念的同時與實際生活相結(jié)合，并且鼓勵學生創(chuàng)造性地應(yīng)用于生活。在教學過程中，要注意教學依托于課本不脫離課本不額外增加學生的學習壓力。同時，在傳授知識的過程中注意理論和現(xiàn)實生活融合，概念從生活中來，概念應(yīng)用于生活，讓學生感到學有所用。教師應(yīng)加強動手實踐環(huán)節(jié)，著重于培養(yǎng)學生充分利用知識的能力，并補充必要的當?shù)亟滩摹Ｐ蜗笮栽瓌t教師應(yīng)通過不同形式的感知更好地利用學生的多種感覺系統(tǒng)，使學生獲得生動和認知的知識，以便以更全面和深刻的方式理解知識。在概念教學的課堂上，教師要正確選擇直觀教具和教學手段，采用典型、直觀、生動的事例，設(shè)計不同層級的直觀實例，進一步加工、概括、抽象形成正確的概念，還要要將直觀教具的演示與教師語言講解相結(jié)合起來，學習不僅用耳朵聽更加要用眼睛觀察感受。形象性原則的意義就在于，借助學生的智力動作或者感官系統(tǒng)，幫助他們掌握原本生疏難以理解的理論概念，陶行知老先生曾說過“接知如接枝”，正是如此。循序漸進原則教師必須根據(jù)科學知識的內(nèi)在邏輯和學生認知發(fā)展的規(guī)律，進行概念教學，幫助學生建立知識體系，相關(guān)知識進行串聯(lián)。每一個概念實際上是擴充或縮小概念的外延，或者是將下位概念轉(zhuǎn)化為上位概念而呈現(xiàn)出的新概念。[13]因為概念的內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，概念的教學很難一步到位，然而教師的教學如果再不按照一定的順序，學生就會感到混亂，毫無章法。概念的教學要講究系統(tǒng)性，抓住主要矛盾，體現(xiàn)重點、難點和關(guān)鍵點，按照學生的認知規(guī)律，由淺入深，由易到難的順序進行教學，逐步加深和提高。理解與鞏固相結(jié)合原則教學概念的主要目的是使學生能夠通過教學理解概念能讓學生運用概念到解題證明中。這些性質(zhì)有哪些應(yīng)用？這個問題造成了學生似乎認識了概念，但在解題的時候又屢屢出錯，其根本原因還是因為沒有足夠重視概念的理解和鞏固。因此，在教學中教師要讓學生在錯題中發(fā)現(xiàn)對概念的理解的偏差之處借此鞏固知識，在變式或正反例中理解和鞏固概念，還可以通過擴充、改組和運用知識的過程來鞏固數(shù)學概念。數(shù)學概念教學在課堂教學中的案例分析張載說過：“人若志趣不遠，心不在焉，雖學無成?！痹谡n堂教學中，教師要讓學生通過動手實踐、自主探索、合作交流等活動獲得概念，教學過程中一定要創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生學習樂趣，使學生理解概念和自主構(gòu)建認知結(jié)構(gòu)和掌握數(shù)學學習方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣?，F(xiàn)在的數(shù)學課堂隨著教育改革發(fā)展，要探索智慧課堂在數(shù)學概念教學中的應(yīng)用，使概念課從枯燥變成生動形象，從教師給概念變成學生總結(jié)概念，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。算術(shù)平方根step1創(chuàng)設(shè)情境教師在多媒體上出示問題，先讓學生思考問題：學校為了舉辦十佳歌手，準備量一塊面積為25的正方形來擺放鮮花，這一塊正方形面積的邊長應(yīng)該取多少？在這個實際問題中，讓學生先獨立思考問題，接下來師生共同完成填表活動（圖2-3）：圖SEQ圖\*ARABIC2圖SEQ圖\*ARABIC3設(shè)計意圖：由生活現(xiàn)實問題出發(fā)，讓課堂從原本的枯燥變得生動起來，同時為后面教學算術(shù)平方根概念提供實際生活素材。學生通過獨立思考，完成兩個表格的填空，體驗已知邊長求正方形面積到已知正方形面積求邊長，初步感受互逆的過程，體會從數(shù)學實際問題抽象到數(shù)學幾何問題。step2感受新知教師在多媒體上演示表格填上最后一列（圖4）：圖SEQ圖\*ARABIC4提問學生當正方形的面積變?yōu)闀r，應(yīng)該怎樣計算正方形的邊長呢？可以怎樣想？生：設(shè)正方形的邊長為（），可以得到等式：（）師：思路非常清晰，非常好，你能分享一下你是怎樣思考的嗎？學生思考片刻。生：已經(jīng)知道正方形的面積是，這個肯定是一個正數(shù)的平方，因為邊長不可能是負數(shù)，所以可以設(shè)邊長為（），就等于正方形的面積。師：回答的非常棒，很有數(shù)學思想，同學們掌聲表揚他！那么我們怎么求？教師通過這樣的師生問答，從而引入新課，得出算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。師：所以剛才那個問題誰是誰的算術(shù)平方根？生：是的算術(shù)平方根。師：同學們，你們能夠根據(jù)剛才的概念寫出一些數(shù)的算術(shù)平方根嗎？生1：9的算式平方根是3。生2：36的算式平方根是6。生3：的算式平方根是?！瓗煟耗敲?有算術(shù)平方根嗎？師：在這里有一個規(guī)定，0的算術(shù)平方根是0。設(shè)計意圖：通過增加表格的最后一列和對等式的理解，讓學生體會數(shù)學知識從數(shù)學幾何問題抽象到代數(shù)問題，自然引入算術(shù)平方根的概念，學生初步掌握理解算術(shù)平方根的概念，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象思維。step3合作研究，概念拓展教師第二個問題：工人師傅在測量面積時遇到了新的困難，當他采用面積為1的正方形時覺得有點小了，于是就想能不能用兩個面積為1的正方形拼成一個面積為2的正方形？教師安排前后左右四個人為一個小組，學生分組交流，合作探究，提升學生的動手操作能力。接下來請小組派代表展示成果，并且教師在多媒體上分別呈現(xiàn)出兩種比較常見的拼法（圖5-6）：圖SEQ圖\*ARABIC5圖SEQ圖\*ARABIC6師：你知道大正方形的邊長為多少嗎？生：邊長為2的算術(shù)平方根。生：設(shè)邊長為，可得等式：，所以邊長是2的算術(shù)平方根。師：同學們思考一下2的算術(shù)平方根存在嗎？應(yīng)該如何表示？教師在這里呈現(xiàn)算術(shù)平方根的表示法：的算術(shù)平方根記為，讀作“根號”，叫做被開方數(shù)讓學生根據(jù)剛才做出的圖形說出的幾何意義（幾何意義是面積為2的正方形，其邊長為），領(lǐng)會數(shù)的意義。教師可以向?qū)W生講述關(guān)于的小故事，以此來豐富學生的概念由來以及增加數(shù)學概念學習的趣味性。至此，得出完整概念。設(shè)計意圖：通過合作探究活動培養(yǎng)學生的動手能力和合作交流能力，自然引出2的算術(shù)平方根應(yīng)該如何表達，進而引出算式平方根的表達法。學生對這個新符號還比較陌生，需要一定的時間理解，教師通過對“數(shù)形”方面的解讀幫助學生理解概念，以及講述關(guān)于的由來從而激發(fā)學生的學習興趣。step4鞏固概念例1求出下列數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100；（2）0.0001；（3）（4）0教師在多媒體上出示題目，與學生一起完成第（1）問并板書示范其規(guī)范的解答。（2）（3）（4）問請學生到黑板上進行板演，其余學生自己獨立完成。學生練習過程中，教師巡視學生完成情況，可以適時指導點撥，點評板眼學生的答題情況，課件上出示規(guī)范解題過程，對于答對的學生給予表揚，答錯的學生繼續(xù)鼓勵并進行矯正，最后再次強調(diào)0的算術(shù)平方根是0。變式提高：；（2）；（3）；（4）設(shè)計意圖：練習由數(shù)到算術(shù)平方根，算術(shù)平方根到數(shù)的互逆過程，讓學生說出各式的意義所在，并且教師特別強調(diào)變式提高第（4）問的運算順序以及根號的書寫規(guī)范，突出本節(jié)課的重點。step5拓展概念教師讓學生思考問題并在課件上出示：若，則為多少？學生得出：這樣的并不存在，因為根據(jù)算術(shù)平方根的概念，即：沒有算術(shù)平方根。所以得出負數(shù)沒有算式平方根，教師繼續(xù)追問學生。師：那么同學們思考什么樣的數(shù)才有算術(shù)平方根？生：非負數(shù)有算術(shù)平方根。師：想一想：中，若存在，那么的取值范圍是多少？生：是非負數(shù)，所以師：那么有算術(shù)平方根嗎？應(yīng)該如何來表示？生：在學生表示出以后，請學生在概念中找出的范圍，即，從而進一步得出算術(shù)平方根二重非負性：教師在課件上出示例題2例2若，則=_______解：因為算式平方根是0，所以根據(jù)算術(shù)平方根的二重非負性，即，則得出變式提高：（1）若，則=__________，=_________（2）若，則=_________，=_________,=________設(shè)計意圖：從算術(shù)平方根概念出發(fā)，教師一步一步以問題串的形式啟發(fā)學生探索算術(shù)平方根的雙重非負性，從而能夠揭示出算術(shù)平方根概念的內(nèi)涵與外延，進一步加深學生對概念的理解。例題2的探究是為了突破本節(jié)課的難點，教師采用層層遞進的難度習題幫助學生深化概念。6小結(jié)升華，作業(yè)布置圖SEQ圖\*ARABIC7由學生主動發(fā)言小結(jié)本節(jié)課的知識點，教師歸納、補充、提升，培養(yǎng)學生的概括能力，教師指出課后應(yīng)當建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu)，將新的知識與舊的認知聯(lián)系起來。作業(yè)分為必做題和選做題，設(shè)計如下：分層作業(yè)一、必做題1、課本第97頁習題4.1第2、3、5；2、作業(yè)互動平臺：校本作業(yè)二、選做題已知是正整數(shù)，且滿足，求的算術(shù)平方根一元二次方程Step1概念預(yù)熱在學生正式開始學習一元二次方程概念之前，給學生留下預(yù)習作業(yè)，幫助學生在上課之前已經(jīng)在頭腦中已經(jīng)對概念有了一個大致的了解，具體的預(yù)習作業(yè)設(shè)計如下圖（圖8）：圖SEQ圖\*ARABIC8Step2創(chuàng)設(shè)情境教師將題目出示在多媒體上，讓學生思考并進行列方程。問題：已知一塊面積為54長方形花壇，現(xiàn)在學校要將這個花壇邊長一個正方形，只要把一邊縮減2，另一邊縮減5，那么這個花壇現(xiàn)在的邊長為多少？師：要求正方形花壇的邊長，可以怎樣解決這道題？生：可以把原來的長方形的長看成邊長加5，寬看成邊長加2。師：思路非常棒！現(xiàn)在就請同學們動筆試一試列出方程并整理化簡。生：可以設(shè)邊長為，得到方程為，化簡得到設(shè)計意圖：從生活情境出發(fā)，讓學生進行分析問題和解決問題沒有直接將一元二次方程的概念塞給學生并進行一系列練習。經(jīng)過獨立思考，合作交流，然后根據(jù)題目意思列出方程，讓學生感受數(shù)學來源于生活。Step3探求新知教師給時間讓學生結(jié)合預(yù)習作業(yè)中和上題所列出來的式子整理化簡以后，觀察式子有幾個未知數(shù)？未知數(shù)的最高次數(shù)為幾次？是否是等式？學生進行回答：有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2次；是等式，有等號。教師點評學生的回答，并且引導學生回顧一元一次方程的概念。師：同學們還記得一元一次方程的概念是什么嗎？哪位同學來說說看。生：只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的方程叫做一元一次方程。師：那么根據(jù)一元一次方程的概念誰能說出一元二次方程的概念？生：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程。師：非常好！同學們都非常聰明，很快就可以說出一元二次方程的概念來?？梢耘e一些例子嗎？生1：生2：……師：一元二次方程有很多嗎？可以寫得完嗎？全體：寫不完。師：因此，我們把叫做關(guān)于的一元二次方程的一般形式。如果時還是一元二次方程嗎？生：不是，因為這樣未知數(shù)的最高次數(shù)就不是2了。師：可以嗎？生：可以，含有一個未知數(shù)，最高次數(shù)也為2。師：請大家注意中，。師：這三項有名稱嗎？生：叫做二次項，叫做一次項，叫做常數(shù)項。師：我們可以知道等式左邊至多三項，其中一次項和常數(shù)項可有可無，但二次項必須存在，等式右邊整理成0。設(shè)計意圖：讓學生觀察所列出方程的特征，然后通過讓學生回顧之前學過的一元一次方程的概念，很自然地引導學生進行類比進而得出一元二次方程的概念。使學生積極主動思考、認真分析最后得出結(jié)果，培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型。Step3強化概念教師在多媒體上出示例題，判斷學生是否理解概念。例1判斷下列式子是否是一元二次方程？；（2）；（3）例2將方程化為一般形式并寫出一元二次方程的二次項、一次項和常數(shù)項。變式提高關(guān)于的方程是一元二次方程，為多少？Step4深化概念已知一元一次方程和一元二次方程，教師引導學生繼續(xù)探索幾元幾次方程之間有什么奧秘？師：同學們，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了一元一次方程概念和一元二次方程的概念，那你知道二元三次方程的概念嗎？生：只含有二個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)為3的方程