2025年秋季學(xué)期高二年級校聯(lián)體第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘．

注意事項：

1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置．

2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題

區(qū)域均無效．

3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚．

4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．

5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第一章~第二章．

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的．

a=(l,-1,)b=(2,x,4)y-2k=

1.已知空間向量與共線，則()

A.-6B.6C.-4D.4

2.已知直線與lz:4x-2y-3=0，則與之間的距離為()

A.1B.C.2D.

3.下列說法中正確的是()

A.任何向量都可以作為基向量

B.若是直線的方向向量，則da(deR)也是直線的方向向量

C.在空間直角坐標(biāo)系中，i=(2,0,0)是坐標(biāo)平面xoz的—個法向量

D.若直線l上平面，則直線的方向向量平行于平面u的法向量

4.若直線l:mx+y+5=0的傾斜角是直線l2:x-2y+l=0的傾斜角的兩倍，則實數(shù)m=()

A.B.C.D.

5.如圖，已知四棱錐P-ABCD,PA上平面ABCD，底面ABCD是矩形，且，若

·

第1頁/共5頁

,則()

A.B.

C.D.

6.圓a'x'+(a+2)y'+4.x+8y+5a=0關(guān)于原點(0,0)對稱的曲線的方程為()

AB.

C.D.

7.已知,ns,i，兩直線l:ax-2y+3=0,I2:x+(2-b)y-4=0，若，則最小值為

()

A3B.2C.D.

8.如圖，正方體ABCD-AB,CD的棱長為6，點M為CG的中點，點P為底面上的動點，滿

足BP上AM的點P的軌跡長度為()

AB.C.D.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．

9.已知向量u=(1,0,-2),5=(3,-2,1)，則下列結(jié)論正確的是()

第2頁/共5頁

·

A.B.

C.D.

10.已知實數(shù)滿足，則下列選項正確的是()

A.的最大值是

B.的最大值是

C.的最小值是25-5

D.y-x的最小值是

11.如圖1，已知長方形ABCD中，AB=2,AD=I,M為DC的中點，將達ADM沿AM折起，使得平

面ADM上平面ABCM，如圖2所示，在四棱錐D-ABCM中，下列選項正確的是()

A.AD上BM

B.AD和BC所成角為30

C.點C到直線MD的距離為

D.若點E為線段BD上的動點，且E-AM-D的余弦值為，則

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

12已知圓與圓有三條公切線則

.c:x'+y2-8x-6y+m=0，m=__________．

13已知向量若共面則x等于

.i=11,x,2)，b=(0,1,2)，i=(1,0,0)，i，5，i，______．

14.若直線與曲線有4個交點，則的取值范圍為__________．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．

15.已知ABC的三個頂點A[1,4),B(3,0),C(0,-I)．

·

第3頁/共5頁

·

（1）求邊AB上的中線所在直線的—般式方程；

（2）求邊BC上的高所在直線的斜截式方程．

16.如圖，在平行六面體ABCD-AB,CD中，以頂點A為端點的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都

是，M為AC與BD的交點．若．

（1）求的值；

（2）求cos死,G．

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，P-ABCD的體積為，

.

（1）證明：直線平面；

（2）求直線PC與平面ACE所成角的正切值．

18.已知以點Af-1,2)為圓心的圓與直線相切，過點B-2,0)的動直線與圓相交于

M,N兩點．

（1）當(dāng)時，求直線的方程；

（2）求證：為定值．

19.如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形，，

.

第4頁/共5頁

（1）證明：A,BLCD；

（2）若直線與平面所成角正弦值為，點為線段上—點，求點到平面的

距離；

（3）求平面D,dD與平面DdB夾角的取值范圍．

第5頁/共5頁

2025年秋季學(xué)期高二年級校聯(lián)體第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時間120分鐘．

注意事項：

1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置．

2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題

區(qū)域均無效．

3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚．

4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．

5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第一章~第二章．

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的．

a=(l,-1,)y-2x=

1.已知空間向量與共線，則()

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示計算即可.

【詳解】因為空間向量與b=(2,x,4)共線，

不妨設(shè)，則(1,-1,)=入(2,x,4)，所以，解之得，

則y-2x=6.

故選：B

2.已知直線與l:4x-2y-3=0，則與之間的距離為()

第1頁/共22頁

A.1B.C.2D.

【答案】D

【解析】

【分析】先通過計算得出兩直線的平行關(guān)系，再利用兩平行直線間的距離公式計算求解．

【詳解】，

:直線，

直線的方程即為4r-ly+2=(，直線I;的方程為4r-ly-3=(，，設(shè)兩條平行線間的距離為

,

.

故選：D．

3.下列說法中正確的是()

A.任何向量都可以作為基向量

B.若是直線的方向向量，則daldeR)也是直線的方向向量

C.在空間直角坐標(biāo)系中，k=(2,0,0)是坐標(biāo)平面xoz的—個法向量

D.若直線l上平面，則直線的方向向量平行于平面u的法向量

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)零向量、基向量、直線方向向量、平面法向量的性質(zhì)和定義依次判斷各項的正誤，即可得.

【詳解】對于A，非零向量才能作基向量，故A錯誤；

對于B，若，則，不是直線的方向向量，故B錯誤；

對于C，在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面xoz與y軸垂直，

故i=(2,0,0)不是坐標(biāo)平面xoz的—個法向量，故C錯誤；

對于D，若直線l上平面，則直線的方向向量平行于平面u的法向量，故D正確.

故選：D

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4.若直線l:mx+y+5=0的傾斜角是直線l2:x-2y+l=0的傾斜角的兩倍，則實數(shù)m=()

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出直線的斜率，設(shè)對應(yīng)的傾斜角為，則，又的傾斜角為20，則

k=-m=tan29，使用二倍角的正切公式求解即可.

【詳解】因為直線的斜率，設(shè)對應(yīng)的傾斜角為，則，

由題意可得，直線的傾斜角為29，

故其斜率，解得.

故選：C

5.如圖，已知四棱錐P-ABCD,PAl平面ABCD，底面ABCD是矩形，且，若

,則配:()

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)向量的線性運算即可求解.

【詳解】,，

所以，

·

第3頁/共22頁

所以，

所以

.

故選：A.

6.圓a'x2+(a+2)y'+4.x+8y+5a=0關(guān)于原點(0,0)對稱的曲線的方程為()

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由圓的—般式的判定條件可求出；再利用兩圓關(guān)于點對稱，等價于兩圓的圓心關(guān)于點對稱，半

徑不變，可求出所求圓的方程.

【詳解】由a'x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示—個圓，因此需滿足圓的判別條件：x'和y'的系數(shù)

相等且不為零，

即a'=a+2，得方程，

解得a=2或a=-l，

當(dāng)a=2時，方程4.x2+4y2+4x+8y+10=0，

配方得，不表示實圓，

當(dāng)a=-l時，方程為x2+y2+4x+8y-5=0，

配方得(x+2}+(y+4?=25，表示圓心為(-2,-4)，半徑為5的圓.

因此a=-l是唯—有效解，原圓方程為(x+2+(y+4=25.

兩圓關(guān)于點對稱，等價于兩圓的圓心關(guān)于點對稱，半徑不變，

圓心(-2,-4)關(guān)于原點對稱點為(2,4)，半徑不變?yōu)?，

故所求方程為(x-2}+(y-4)=25.

·

第4頁/共22頁

·

故選：C

7.已知,ns,i，兩直線l:ax-2y+3=0,I2:x+(2-b)y-4=0，若，則的最小值為

()

A.3B.2C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系列方程得a,b關(guān)系，再根據(jù)基本不等式“1”的代換求解最值即可.

【詳解】兩直線l:ax-2y+3=0,I2:x+(2-b)y-4=0，

若，則axl-2(2-b)=0，可得a+2h=4，

因為，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，則的最小值為.

故選：C.

8.如圖，正方體ABCD-AB,CD的棱長為6，點M為CG的中點，點P為底面上的動點，滿

足BP上AM的點P的軌跡長度為()

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得動點的軌跡為線段即可得結(jié)果.

【詳解】分別以DA，DC，DD為X軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

第5頁/共22頁

則A(6,0,0)，B(6,6,0)，M(0,6,3)，設(shè)p(x,y,6)，xe[0,6],ye[0,6]，

則a麗=(-6,6,3)，麗=(x-6,y-6,6)，

由BP上AM得-6(x-6)+6(y-6)+3x6=0，即y=x-3，

由于xe[0,6],ye[0,6]，所以xe[3,6，ye[0,3，

所以點p的軌跡為面上的直線：y=x-3，xe(3,6，即圖中的線段EF，

由圖知：，

故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．

9.已知向量=(1,0,-2),b=(3,-2,I1小，則下列結(jié)論正確的是()

A.B.

C.D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項A，由坐標(biāo)運算=(1,0,-2),b=(3,-2,I1小，先求出，從而求出ir2F；選項B，利用向

量的數(shù)量積坐標(biāo)運算求出；選項C，由坐標(biāo)運算，求出i-i和a-(6-a)，從而得解；選項D，利用坐

標(biāo)運算u=(1,0,-2),5=(3,-2,1)，求出和rs，使用公式求解即可.

【詳解】選項A，:?=(1,0,-2),b=(3,-2,1)，:2b=(6,-4,2)，

第6頁/共22頁

,故選項A正確；

選項B，:?=(1,0,-2),b=(3,-2,1)，

?·=lx3+0x(-2)+(-2)xl=l，故選項B正

確；選項C，:?=(1,0,-2),b=(3,-2,1)，

,

,

則與i-i不垂直，故選項C錯誤；

選項D，:?=(1,0,-2),b=(3,-2,1)，，

，

則，故選項D正確.

故選：ABD

10.已知實數(shù)x,J滿足s'+y'=2r+1，則下列選項正確的是()

A.x2+y的最大值是

B.的最大值是

C.的最小值是

D.y-x的最小值是

【答案】BD

【解析】

【分析】由x2+y表示圓上的點到定點o(0,0)距離的平方可得其最大值為可判斷A項，由

表示圓上的點(x,y)與點M(-1,-1)的連線的斜率，設(shè)，由圓心c(1,0)到直線

kx-y+k-l=0的距離求出k的范圍即可判斷B項，由表示圓上任意

—點到直線s-y+3=I的距離的倍，結(jié)合圓上任意—點到直線的距離的最小值為

第7頁/共22頁

d-pr（d為圓心C到直線的距離），進而可判斷C項，對于D,令，結(jié)合三

角函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為x2+y2-2x-2=0=(x-I?+y2=3，

所以圓C的圓心C(1,0)，半徑為.

對于A項，x2+y2表示圓上的點p(x,y)到定點o10,0)距離的平方，如圖所示，

所以的最大值為，故A項錯誤；

對于B項，表示圓上的點(x,y)與點M(-1,-1)的連線的斜率，如圖所示，

設(shè)，即，

由圓心c(1,0)到直線kx-y+k-l=0的距離，

即，解得，

所以的最大值為2+6，故B項正確；

第8頁/共22頁

對于C項，表示圓上任意—點到直線的距離的倍，如圖

所示，

又圓心C到直線的距離，

所以圓上任意—點到直線x-y+3=I的距離的最小值為，

所以的最小值為，故C項錯誤.

對于D項，因為x2+y2-2x-2=0=(x-I?+y2=3，

令，所以，

所以當(dāng)時，-s的最小值是

故選：BD.

11.如圖1，已知長方形ABCD中，AB=2,AD=I,M為DC的中點，將沿AM折起，使得平

面ADM上平面ABCM，如圖2所示，在四棱錐D-ABCM中，下列選項正確的是()

A.AD上BM

B.AD和BC所成角為30

C.點C到直線MD的距離為

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D.若點為線段BD上的動點，且E-AM-D的余弦值為，則

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法逐項判斷.

【詳解】取AM中點O，連接DO，因為AB=2,AD=l，M為DC中點，

所以AD=DM=I，所以DO上AM，

因為平面ADM上平面ABCM，平面ADMn平面ABCM=AM，DOC平面ADM

所以D0上平面ABCM.

以0為原點，分別以過0與AB垂直、平行的直線為x軸、y軸，以0D所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，

對于A：，，所以AD上BM，A正確；

對于B：，設(shè)和所成角為，則,

又0e(02,90']，所以，B錯誤；

對于C：，則點到直線的距離

,C正確；

對于D：設(shè)，則，

所以，麗=(-1,1,0)，

設(shè)平面AME的法向量為s-rra，則，

第10頁/共22頁

即，令，則，

所以是平面AME的—個法向量.

設(shè)i=(a,b,c)是平面AMD的—個法向量，

則，即，令，則，

所以7=(1,1,0)是平面AMD的—個法向量.

設(shè)二面角E-AM-D大小為，則,

解得，即，D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

12已知圓與圓有三條公切線則

.c:x'+y2-8x-6y+m=0，__________．

【答案】16

【解析】

【分析】首先判斷兩圓的位置關(guān)系，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，列式求解.

【詳解】圓c:x2+y2=4的圓心為(0,0)，半徑為2，

圓，圓心(4,3)，半徑為，m<25，

因為兩圓有3條公切線，所以兩圓相外切，所以，所以，

故答案為：16

第11頁/共22頁

已知向量若共面則等于

13.i-(1.x.2l，i-10,1,2)，i=(1,0,0)，i，i，i，x______．

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間共面向量定理求解作答.

【詳解】向量，，i=(1,0,0)，因，，i共面，則存在實數(shù)使得

,

于是得(l,x,2)=m(),I,2)+r(I,I,0)=(r,m,2m)，因此，解得x=l，

所以x=l.

故答案為：1

14.若直線與曲線有4個交點，則的取值范圍為________．

【答案】ICKC3-2VJE

【解析】

【分析】先確定直線恒過的定點，然后根據(jù)兩點斜率公式及直線斜率的變化規(guī)律、直線與拋物線

的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】直線恒過點(-1,0)且斜率存在的動直線，做出的圖像，如圖

當(dāng)與相切時有三個公共點，此時，過程如下：

因為與相切，聯(lián)立得

x2+(k-1)x+k=0，所以.解得舍去.

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所以當(dāng)時直線與曲線有4個交點.

故答案為：ICKC3-2VJE

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．

15.已知ABC的三個頂點A[1,4),B(3,0),C(0,-I)．

（1）求邊AB上的中線所在直線的—般式方程；

（2）求邊BC上的高所在直線的斜截式方程．

【答案】（1）3x-2y-2=0

（2）y=-3x+1

【解析】

【分析】（1）先求出邊AB的中點，再由點斜式方程求直線方程即得，最后化成—般式方程；

（2）利用兩直線的垂直斜率之積等于-l，求得邊BC上的高的斜率，再由點斜式方程求直線方程，最后化

成斜截式方程即得.

【小問1詳解】

設(shè)邊AB的中點為，由已知得(2,2)，所以，.

所以邊AB上的中線所在直線的—般式方程為3x-2y-2=0.

【小問2詳解】

易得，所以邊BC上的高的斜率k=-3，由點斜式可得：y-4=-3x-I)，

所以邊BC上的高所在直線的斜截式方程y=-3x+1.

16.如圖，在平行六面體ABCD-AB,CD中，以頂點為端點的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都

是，M為AC與BD的交點．若．

（1）求的值；

第13頁/共22頁

（2）求．

【答案】（1）-3

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行六面體的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出各向量的模及夾角，再通過向量加減法，結(jié)合向

量的數(shù)量積計算；

（2）先用已知向量分別表示，再求出以及和，進而求解．

【小問1詳解】

平行六面體ABCD-AB,CD所有棱長均為2，的模均為2，夾角均為6O'，M為AC與BD的中

點，

,,

,

.

【小問2詳解】

,

,

,

第14頁/共22頁

,

.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，P-ABCD的體積為，

.

（1）證明：直線平面；

（2）求直線PC與平面ACE所成角的正切值．

【答案】（1）見解析；

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理得出PA上平面ABCD，利用向量法證明線面平行即可；

（2）利用向量法求出線面夾角的正弦值，進而求出正切值。

【小問1詳解】

因為四邊形ABCD是正方形，所以ABLAD，

又ABlPD,ADnPD=D,AD,PDC平面APD，所以AB上平面APD，

又pdc平面APD，所以AB_PA，又平面ABCD，

所以PAl平面ABCD，所以AB,AD,AP兩兩垂直，

故以點A為原點，直線AB,AD,AP分別為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

第15頁/共22頁

因為，所以，因為-ii，所以點E為PD的中點，

則，

則C=(1,1,0)，，

設(shè)平面ACE的法向量為而=(x,y,z)，

則，令y=-2，則，所以而=(2,-2,1)

又所=(1,0-2)，，

又平面ACE，所以直線PB/l平面ACE；

【小問2詳解】

由（1）可知平面ACE的法向量而=(2,-2,1)，

又配=(1,I,-2)，設(shè)直線PC與平面ACE所成角為，

則，

所以，

所以

18.已知以點A(-1,2)為圓心的圓與直線相切，過點B(-2,0)的動直線與圓相交于

M,N兩點．

（1）當(dāng)時，求直線的方程；

第16頁/共22頁

（2）求證：為定值．

【答案】（1）x=-2或；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）求出圓的方程，根據(jù)，得u-i，分斜率存在和不存在兩種情況求解即可；

（2）若直線斜率存在，設(shè)出直線方程，直線和圓聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可得

,利用兩點間距離公式列式化簡即可，若直線斜率不存在，

求得，計算即可得證.

【小問1詳解】

設(shè)圓的半徑為R，

因為圓A與直線：x+2y+7=0)相切，

所以，

所以圓的方程為(x+l+(y-2=20.

設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，

①當(dāng)直線與軸垂直時，易知x=-2符合題意；

②當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線的方程為y=kfx+2)，即.

則，得，

所以直線為：，

故直線的方程為x=-2或；

第17頁/共22頁

小問2詳解】

因為，所以點B(-2,0)在圓內(nèi)，

設(shè)M(x,x),N(x,,3)，若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為y=kfx+2)，

則，化簡得，

所以，

因為，

同理可得，

所以，

因為，

所以；

若直線斜率不存在時，則x=-2，則，

此時；

綜上，為定值，定值為1s.

19.如圖，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形，，

.

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（1）證明：A,BLCD；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，點為線段上—點，求點到平面的

距離；

（3）求平面D,dD與平面DdB夾角的取值范圍．

【答案】（1）證明見解析

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）設(shè)AB=CD=a，利用余弦定理，列出方程求得，取8,ci的中點E，連接D,E，得

到DEl1AB，分別證得DElcD和D,ELCC，利用線面垂直的判定定理，證得平面CDD,ci

,即可證得ABLCD.

（2）以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB,-m，求得和平面b,CDi的法向量為

,結(jié)合向量的夾角公式，列出方程求得，再利用向量的距離（3）設(shè)，分別

求得平面0,S和D,dD