2/2第二章實數一、實數的概念和性質和統(tǒng)稱為實數.

1.實數的分類按定義分：按與0的大小關系分：實數實數2.實數與數軸上的點一一對應.數軸上的任何一個點都，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.3.實數的三個非負性及性質：

在實數范圍內，正數和零統(tǒng)稱為非負數。我們已經學習過的非負數有如下三種形式：

（1）任何一個實數的絕對值是非負數，即；

（2）任何一個實數的平方是非負數，即；

（3）任何非負數的算術平方根是非負數，即().

非負數具有以下性質：

（1）非負數有最小值零；

（2）有限個非負數之和仍是非負數；

（3）幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0.二、平方根與立方根類型項目平方根立方根被開方數非負數任意實數符號表示性質一個正數有平方根，且互為相反數；零的平方根為零；負數沒有平方根；一個正數有一個；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結論三、二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．如都是二次根式.2.二次根式滿足條件：（1）必須含有；（2）被開方數必須是.3.二次根式有無意義的條件①二次根式有意義：被開方數為，即；②二次根式無意義：被開方數為，即；4.二次根式的性質①二次根式（）的（）表示的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數，即（）．②二次根式的性質：（）③二次根式的性質：四、最簡二次根式與同類二次根式1.最簡二次根式（1）最簡二次根式的概念：（1）被開方數，（2）被開方數中2.同類二次根式（1）同類二次根式概念：化簡后的二次根式叫做同類二次根式。（2）合并同類二次根式的方法：把，，合并的依據式乘法分配律，如五、二次根式的運算1.二次根式的乘法（1）二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數相乘，根的指數不變）（2）二次根式的乘法法則的推廣:①②，即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數.（3）二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數平方根的性質）（4）二次根式的乘法法則的逆用的推廣：2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變）（2）二次根式的除法法則的推廣：.3.二次根式的加減法（1）二次根式加減法則：先將二次根式化成，再將的二次根式進行合并。（2）二次根式加減運算的步驟：①：將各個二次根式化成最簡二次根式；②：找出化簡后被開方數相同的二次根式；③：合并被開方數相同的二次根式——將”系數”相加作為和的系數，根指數與被開方數保持不變。4.二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：，，，有括號的先算（或先去掉括號）易錯點1利用二次根式的性質化簡易錯點總結忽略二次根式中被開方數的非負性，比如在化簡\sqrt{a^2}時，直接得出a，而未考慮a的正負；對二次根式性質的運用條件把握不準。注意事項化簡前先明確被開方數的取值范圍；運用性質時嚴格遵循條件。計算過程中仔細判斷符號，多進行分類討論，做完后檢查化簡結果是否符合二次根式的定義和性質。例1-1：已知，化簡：．例1-2：把中根號外的a移入根號內，則．易錯點2復合二次根式的化簡易錯點總結一是忽略對被開方數整體的分析，盲目拆分。二是沒有考慮化簡結果的形式，化簡不徹底，或者在開方運算時，沒有注意到算術平方根的非負性，出現符號錯誤。注意事項化簡前仔細觀察被開方數的特征，尋找合適的拆分組合；牢記算術平方根的非負性，在開方運算時，對結果進行符號判斷和驗證，確保化簡結果最簡且符合數學規(guī)則。例2：先閱讀下列解答過程：材料一：形如的式子的化簡，只要我們找到兩個正數，使，即，，那么便有．例如：化簡．解：首先把化為，這里，，由于，，即，，所以．材料科二：如果一個代數式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化．例如：，請根據材枓解答下列問題：(1)填空：①______；

②______．(2)化簡：（諸寫出計算過程）；(3)化簡：．易錯點3與二次根式運算有關的新定義型題易錯點總結一方面，對新定義理解不透徹，沒準確把握運算規(guī)則就盲目套用。比如新定義中規(guī)定了特定的運算優(yōu)先級，卻按常規(guī)四則運算順序進行計算。另一方面，忽略新定義的適用條件，在不符合條件的情況下使用新定義運算，導致結果錯誤。注意事項拿到題目后，反復研讀新定義，圈畫關鍵信息，明確運算規(guī)則與適用范圍。在解題過程中，每一步運算都對照新定義檢查，做完后再次核對是否符合新定義的要求，確保運算的準確性。例3：定義：任意兩個數、，按規(guī)則擴充得到一個新數，稱所得的新數為“如意數”．(1)若，，求出、的“如意數”；(2)已知，且、的“如意數”，求的值．易錯點4與二次根式運算有關的規(guī)律題易錯點總結其一，歸納規(guī)律時樣本數量不足，僅依據少數幾個計算結果就匆忙得出結論，導致規(guī)律總結錯誤。例如，只計算了前兩三個二次根式的運算結果就總結通用規(guī)律。其二，沒有深入分析數字或式子結構的特征，忽略了隱藏條件或變化趨勢，像沒發(fā)現根式中被開方數的底數或指數的變化規(guī)律。注意事項盡可能多地列舉運算結果，擴大觀察樣本，提高規(guī)律準確性。同時，仔細剖析二次根式的結構，包括被開方數、系數等部分的變化，從多角度思考，確保準確歸納出規(guī)律。例4：特例感知化簡：；解：；(1)請在橫線上直接寫出化簡的結果：①______；②______．觀察發(fā)現(2)第個式子是（為正整數），請求出該式子化簡的結果（需要寫出推理步驟）．拓展應用(3)從上述結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：①；②．一、單選題1．若，則可化簡為（）A． B． C． D．2．現對實數，定義一種運算：，則等于（

）A． B． C． D．3．一組數據按一定規(guī)律排列：，2，，，，，，…這組數據的第n項是（

）A． B． C． D．二、填空題4．按規(guī)律排列的一組數：3，，，12，，則這組數的第9個數是．5．現定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數，都有，則的值為．6．已知實數a的取值范圍是，化簡代數式．的值為．三、解答題7．觀察下列各式：；；．(1)請你根據上面三個等式提供的信息，猜想：________；(2)請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用m（m為正整數，）表示的等式：__________；(3)利用上述規(guī)律計算：．8．定義：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整數），則稱為完整根式，是的完整平方根．例如：因為，所以是一個完整根式，是的完整平方根．(1)判斷：是否是完整根式的完整平方根，并說明理由；(2)若完整根式的完整平方根是，請用含，的代數式分別表示，；(3)若是完整根式，證明：一定是完全平方數．9．閱讀下列解題過程，解答問題．；；；…(1)，；(2)觀察上面的解題過程，求（為自然數）；(3)計算：．10．【閱讀理解】小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小