2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——利用最優(yōu)控制理論進行機器人路徑規(guī)劃考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.在最優(yōu)控制理論中，描述系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的方程稱為________。2.控制系統(tǒng)按預(yù)定目標(biāo)運行至終端狀態(tài)時，其性能指標(biāo)取最?。ɑ蜃畲螅┲档男再|(zhì)稱為________。3.哈密頓-雅可比-貝爾曼方程是解決________時間最優(yōu)控制問題的基本方程。4.在機器人路徑規(guī)劃的最優(yōu)控制模型中，通常用________表示機器人的位置和姿態(tài)狀態(tài)。5.Pontryagin極大值原理適用于求解________最優(yōu)控制問題。6.最優(yōu)控制理論中的目標(biāo)函數(shù)，也稱為________，它衡量了控制過程或終端狀態(tài)的優(yōu)劣。7.若最優(yōu)控制問題中，控制變量u受到u?≤u≤u?的限制，則稱該問題具有________。8.對于線性時不變系統(tǒng)的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題，其最優(yōu)控制通常具有________的形式。二、判斷題1.最優(yōu)控制理論只能解決有終端時間的最優(yōu)控制問題。（）2.在最優(yōu)控制模型中，狀態(tài)變量必須是連續(xù)可微的。（）3.哈密頓函數(shù)H(x,u,p,t)的最優(yōu)性必要條件是H對控制變量u的偏導(dǎo)數(shù)沿最優(yōu)軌線恒為零。（）4.變分法主要用于求解沒有控制約束的最優(yōu)控制問題。（）5.在機器人路徑規(guī)劃中，建立精確的動力學(xué)模型總是必要的。（）6.根據(jù)極大值原理，最優(yōu)控制u*總是使哈密頓函數(shù)H取極大值。（）7.最優(yōu)路徑是指連接起點和終點之間距離最短的路徑。（）8.數(shù)值方法可以精確求解所有類型的最優(yōu)控制兩點邊值問題。（）三、簡答題1.簡述最優(yōu)控制理論解決機器人路徑規(guī)劃問題的基本思路。2.解釋哈密頓函數(shù)H(x,u,p,t)中各個變量的含義。3.闡述Pontryagin極大值原理中的最優(yōu)性必要條件（極大值原理）。4.為什么在機器人路徑規(guī)劃的最優(yōu)控制模型中，通常需要考慮狀態(tài)約束和目標(biāo)函數(shù)？四、計算題1.考慮一個一維線性系統(tǒng)：狀態(tài)方程x?=u，初始狀態(tài)x(0)=1，目標(biāo)是在有限時間T內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)x(T)=0?？刂苪的約束為|u|≤1。目標(biāo)函數(shù)為J=∫??x2dt。試用變分法推導(dǎo)最優(yōu)控制u*和最優(yōu)軌線x*(t)的必要條件。2.設(shè)機器人沿二維平面運動，狀態(tài)x=[x;y;θ]?，其中θ為朝向角。目標(biāo)從(0,0,0)移動到(1,1,π/2)。運動學(xué)模型簡化為x?=[cosθ;sinθ;u]?，其中u為控制輸入（角速度）。假設(shè)無速度限制，目標(biāo)函數(shù)為J=∫?1(x2+y2+u2)dt。試用Pontryagin極大值原理建立該問題的最優(yōu)性條件（哈密頓方程、伴隨方程、控制極值條件），并寫出終端約束條件。五、綜合應(yīng)用題1.考慮一個質(zhì)量為m的點質(zhì)量，在水平面上受恒定推力F和摩擦力kx2（x為水平位移）的作用運動，狀態(tài)變量x=[x;v]?=[位移;速度]?。初始狀態(tài)x(0)=[0;0]?。要求在時間T內(nèi)，從原點移動到x=L，且最終速度v(T)=0?？刂艶受到F_max的約束。目標(biāo)是最小化總能量消耗J=∫??(?mv2+kx2)dt+?mv(T)2。請：(1)建立該問題的最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型（狀態(tài)方程、目標(biāo)函數(shù)、約束條件）。(2)說明選用Pontryagin極大值原理求解該問題的合理性，并列出需要求解的方程組。試卷答案一、填空題1.狀態(tài)方程2.最優(yōu)性3.無限4.狀態(tài)向量5.不連續(xù)控制6.性能指標(biāo)7.控制約束8.線性二、判斷題1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.×三、簡答題1.解析思路：將機器人路徑規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題。定義狀態(tài)變量（位置、速度等）、控制變量（加速度、轉(zhuǎn)向角等）、目標(biāo)函數(shù)（時間最短、路徑長度最短、能耗最小等）、約束條件（速度限制、加速度限制、避障約束等）。建立最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型（狀態(tài)方程、目標(biāo)函數(shù)、約束）。選擇合適的最優(yōu)控制方法（如極大值原理、動態(tài)規(guī)劃、變分法）。求解最優(yōu)控制律和最優(yōu)路徑。分析結(jié)果，評估性能。2.解析思路：哈密頓函數(shù)H是最優(yōu)控制問題中一個重要的構(gòu)造，它包含了系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)信息x、當(dāng)前控制輸入u、伴隨變量p（狀態(tài)變量的共軛變量）以及時間t。其數(shù)學(xué)表達式通常為H=L(x,u,t)+∑p?(x,t)x??，其中L是拉格朗日函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)的瞬態(tài)部分），∑p?x??是伴隨變量與狀態(tài)導(dǎo)數(shù)的乘積和。H的物理意義可以理解為系統(tǒng)的廣義“能量”或“代價”，其最優(yōu)性必要條件（極大值原理）要求H沿最優(yōu)軌線對控制變量的偏導(dǎo)數(shù)等于零，這導(dǎo)出了最優(yōu)控制律的表達式。3.解析思路：Pontryagin極大值原理是求解最優(yōu)控制問題的一種重要方法，其核心思想是引入伴隨變量（成本函數(shù)的梯度或偏導(dǎo)數(shù)）。原理指出，最優(yōu)控制u*使得構(gòu)造的哈密頓函數(shù)H(x,u,p,t)沿著系統(tǒng)的最優(yōu)軌線x*(t)和伴隨軌線p*(t)是一個常數(shù)（或沿著某個固定方向變化）。具體來說，最優(yōu)性必要條件包括：哈密頓函數(shù)H對控制變量u的偏導(dǎo)數(shù)?H/?u≥0（對于等式約束）或?H/?u≤0（對于不等式約束），并且最優(yōu)控制u*位于允許的控制集U中使得該不等式取等號。當(dāng)控制集為區(qū)間[u?,u?]時，即為?H/?u=0。這個條件意味著最優(yōu)控制使得哈密頓函數(shù)達到其極值（通常為極大值，這也是原理名稱的由來），從而導(dǎo)出最優(yōu)控制律的表達式。4.解析思路：狀態(tài)約束規(guī)定了機器人在運動過程中必須滿足的限制條件，例如不能進入障礙物內(nèi)部、必須保持在一定區(qū)域內(nèi)等。這直接關(guān)系到機器人的實際可行性，是模型建立中不可或缺的部分。目標(biāo)函數(shù)則定義了路徑規(guī)劃所要追求的優(yōu)化目標(biāo)，例如最短時間、最短路徑長度、最低能耗或最高安全性等。只有同時考慮狀態(tài)約束和目標(biāo)函數(shù)，才能找到既可行又最優(yōu)的路徑，使得機器人能夠高效、安全地完成任務(wù)。四、計算題1.解析思路：此題屬于有限時間末端狀態(tài)最優(yōu)控制問題，且控制有界。適用變分法中的極小值原理。首先構(gòu)造哈密頓函數(shù)H=x2+λu，其中λ是伴隨變量。然后寫出哈密頓函數(shù)對時間t的全導(dǎo)數(shù)?H/?t=0（因為是自治系統(tǒng)，t不顯含在H中）。根據(jù)最優(yōu)性必要條件，得到狀態(tài)方程x?=?H/?x=2x，伴隨方程?H/?λ=?H/?x?=0，即λ?=-?H/?x=-2x?？刂茦O值條件?H/?u=λ=0。邊界條件為x(0)=1,x(T)=0,λ(T)待定。由控制極值條件λ=0，代入伴隨方程得到x?=0和λ?=0，即x(t)和λ(t)在最優(yōu)軌線上是常數(shù)。結(jié)合邊界條件x(0)=1和x(T)=0，可知x(t)=1-t/T。由于λ=0，代入狀態(tài)方程x?=2x得λ(t)=-2(1-t/T)。最優(yōu)控制u*=0。最優(yōu)軌線x*(t)=1-t/T，最優(yōu)控制u*(t)=0。2.解析思路：此題涉及機器人二維平面運動的最優(yōu)控制，狀態(tài)變量包含位置和朝向，控制變量是角速度。目標(biāo)函數(shù)和約束相對簡單。適用Pontryagin極大值原理。定義哈密頓函數(shù)H=(x2+y2+u2)+λ?(cosθ)+λ?(sinθ)。寫出哈密頓函數(shù)對時間t的全導(dǎo)數(shù)?H/?t=0（系統(tǒng)為自治的）。最優(yōu)性必要條件：*狀態(tài)方程：?H/?x=0→2x+λ?(-sinθ)=0*狀態(tài)方程：?H/?y=0→2y+λ?(cosθ)=0*狀態(tài)方程：?H/?θ=0→?H/?θ=-λ?(cosθ)+λ?(sinθ)=0*伴隨方程：λ??=-?H/?x?=-cosθ*伴隨方程：λ??=-?H/?y?=-sinθ*控制極值條件：?H/?u=2u=0→u=0（因為u沒有約束，哈密頓函數(shù)關(guān)于u是線性的，最優(yōu)控制使偏導(dǎo)數(shù)為零）。但這里u=[cosθ;sinθ;u]?的導(dǎo)數(shù)是[0;0;1]，所以?H/?u=2u=0對應(yīng)u=0。然而，這會導(dǎo)致x?=[0;0;0]，無法移動。這表明模型或約束可能需要修正，或者此模型對于“移動到目標(biāo)點”的目標(biāo)可能無法實現(xiàn)。若假設(shè)允許控制包含線性項，如u=acosθ+bsinθ，則?H/?u=2(acosθ+bsinθ)，極值條件要求此為0，一般非平凡解需要a,b均為0，即u=0。若題目意圖是簡單模型，則結(jié)果為u=0，最優(yōu)路徑是原地旋轉(zhuǎn)。若要實現(xiàn)移動，模型需加速度項或不同約束。此處按給定模型和極值條件，最優(yōu)控制u*=0。伴隨方程是常微分方程，初始條件λ(1)待定。狀態(tài)方程給出x?,y?,θ?，初始條件x(0)=0,y(0)=0,θ(0)=0，終端條件x(1)=1,y(1)=1,θ(1)=π/2。需要解伴隨方程組、狀態(tài)方程組和終端條件構(gòu)成的聯(lián)立問題。五、綜合應(yīng)用題1.解析思路：(1)模型建立：*狀態(tài)變量：x=[x;v]?*控制變量：u=F(推力)*狀態(tài)方程：x?=[v;(u/m)-(k/m)x2]=[v;u/m-kx2/m]*初始條件：x(0)=[0;0]?*終端條件：x(T)=[L;0]?*目標(biāo)函數(shù)：J=∫??(?mv2+kx2)dt+?mv(T)2=∫??(?m(v2)+k(x2))dt+?m(0)2=∫??(?mv2+kx2)dt*控制約束：|u|≤F_max，即u∈[-F_max,F_max]*狀態(tài)約束：x(0)=[0;0]?,x(T)=[L;0]?*（注意：題目中寫v(T)=0，但終端狀態(tài)x(T)=[L;0]意味著v(T)=0。）*該問題的最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型為：minJ=∫??(?mv2+kx2)dtsubjecttox?=[v;u/m-kx2/m],x(0)=[0;0],x(T)=[L;0],-F_max≤u≤F_max。(2)方法選擇與方程組：*選用Pontryagin極大值原理求解的合理性：該原理適用于處理具有狀態(tài)方程、目標(biāo)函數(shù)和控制約束的最優(yōu)控制問題，特別是終端時間固定或自由、終端狀態(tài)固定或自由的情況。此題符合這些條件。*構(gòu)造哈密頓函數(shù)：H=L+∑p?x??=(?mv2+kx2)+p?v+p?(u/m-kx2/m)*寫出必要條件：*狀態(tài)方程：?H/?x=0→kx-(p?/m)kx=0→x(k-p?/m)=0*狀態(tài)方程：?H/?v=0→mv+p?=0→p?=-mv*狀態(tài)方程：?H/?u=0→p?/m=0→p?=0*伴隨方程：p??=-?H/?x?=-(k/m)v+(p?/m)(-2k/m)x=-(k/m)v(因為p?=0)*控制極值條件：?H/?u=p?/m=0→u=u*（此條件在此題中無用，因為p?=0，但一般形式