2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在心腦血管疾病研究中的角色考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)$\frac{\mathrmrb997pvP}{\mathrmnhxvzznt}=aP\left(1-\frac{P}{K}\right)$，其中$P(t)$表示$t$時(shí)刻某疾病患者的數(shù)量，$K$為該地區(qū)的最大容納量，$a$為常數(shù)。若初始時(shí)刻$t=0$時(shí)，患者數(shù)量為$P(0)=P_0$，求$P(t)$的表達(dá)式。二、某研究人員收集了100名冠心病患者的年齡（歲）和膽固醇水平（mg/dL）數(shù)據(jù)，并計(jì)算出$\sum_{i=1}^{100}x_i=6450$，$\sum_{i=1}^{100}y_i=6800$，$\sum_{i=1}^{100}x_i^2=430500$，$\sum_{i=1}^{100}y_i^2=469200$，$\sum_{i=1}^{100}x_iy_i=441500$。其中$x_i$表示第$i$名患者的年齡，$y_i$表示第$i$名患者的膽固醇水平。試建立膽固醇水平對(duì)年齡的線性回歸方程，并解釋斜率的含義。三、設(shè)$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，$Y=\min(X,2)$。求$Y$的分布律。四、設(shè)隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合密度函數(shù)為$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{8}(x+y)&0\leqx\leq2,0\leqy\leq2\\0&\text{otherwise}\end{cases}$。求$E(XY)$。五、某城市的心血管疾病發(fā)病率為每年10%。為了研究一種新的預(yù)防措施的效果，隨機(jī)抽取1000人進(jìn)行為期一年的觀察。假設(shè)該預(yù)防措施有效，可以使發(fā)病率為原來(lái)的80%。求觀察期內(nèi)發(fā)病人數(shù)不超過(guò)50人的概率（精確到小數(shù)點(diǎn)后四位）。六、設(shè)$X_1,X_2,\dots,X_n$是來(lái)自正態(tài)總體$N(\mu,\sigma^2)$的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中$\mu$未知，$\sigma^2$已知?？紤]檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu\leq\mu_0$對(duì)$H_1:\mu>\mu_0$。取拒絕域?yàn)?W=\left\{\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right):\bar{x}>k\right\}$，其中$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$為樣本均值。若樣本容量為$n=25$，$\sigma=2$，顯著性水平為$\alpha=0.05$，求拒絕域的臨界值$k$。七、設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}&x\neq0\\1&x=0\end{cases}$。證明$f(x)$在$x=0$處連續(xù)。八、設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$。求$f(x)$的所有極值點(diǎn)，并判斷其極值類型。九、計(jì)算定積分$\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrmp1f79b9x$。十、求解微分方程$\frac{\mathrmjdhxjvry}{\mathrmd9fjjd7x}+y=\mathrm{e}^{-x}$。試卷答案一、$P(t)=\frac{KP_0\mathrm{e}^{at}}{K+P_0(\mathrm{e}^{at}-1)}$解析：這是一個(gè)典型的邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型。首先，分離變量：$\frac{\mathrmjdbnpfjP}{P(K-P)}=a\mathrm9vlhvjxt$。然后，對(duì)兩邊積分：$\int\frac{1}{P}\mathrmlt9jhrvP+\int\frac{1}{K-P}\mathrmbjr79vnP=\inta\mathrmpzttjxlt$。積分得到：$\lnP-\ln(K-P)=at+C$。利用初始條件$P(0)=P_0$，解出常數(shù)$C=\ln\frac{P_0}{K-P_0}$。代入并化簡(jiǎn)，得到$P(t)$的表達(dá)式。二、$\hat{y}=0.5x+12$解析：首先，計(jì)算樣本均值$\bar{x}=\frac{6450}{100}=64.5$，$\bar{y}=\frac{6800}{100}=68$。然后，計(jì)算斜率$b$的估計(jì)值：$b=\frac{\sum_{i=1}^{100}x_iy_i-100\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{100}x_i^2-100\bar{x}^2}=\frac{441500-100\times64.5\times68}{430500-100\times64.5^2}=0.5$。接著，計(jì)算截距$a$的估計(jì)值：$a=\bar{y}-b\bar{x}=68-0.5\times64.5=12$。因此，線性回歸方程為$\hat{y}=0.5x+12$。斜率$b=0.5$的含義是，患者年齡每增加一歲，膽固醇水平平均增加0.5mg/dL。三、$P(Y=k)=\begin{cases}\frac{\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}&k=0,1\\\frac{\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}+\frac{2\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}&k\geq2\end{cases}$解析：由于$X\sim\text{Poisson}(\lambda)$，所以$P(X=k)=\frac{\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}$，對(duì)于$k=0,1,2,\dots$。當(dāng)$k=0$時(shí)，$P(Y=0)=P(X=0)=\frac{\lambda^0\mathrm{e}^{-\lambda}}{0!}=\mathrm{e}^{-\lambda}$。當(dāng)$k=1$時(shí)，$P(Y=1)=P(X=1)=\frac{\lambda^1\mathrm{e}^{-\lambda}}{1!}=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}$。當(dāng)$k\geq2$時(shí)，$P(Y=k)=P(X=k)+P(X\geq2)=\frac{\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}+\sum_{j=2}^{\infty}\frac{\lambda^j\mathrm{e}^{-\lambda}}{j!}=\frac{\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}+(1-\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda})=\frac{\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}+\frac{2\lambda^k\mathrm{e}^{-\lambda}}{k!}$。四、$\frac{3}{4}$解析：首先，計(jì)算邊緣密度函數(shù)$f_X(x)$：$f_X(x)=\int_0^2f(x,y)\mathrml37bvhfy=\int_0^2\frac{1}{8}(x+y)\mathrmxvnnpp9y=\frac{1}{8}(x+2)$，對(duì)于$0\leqx\leq2$。同理，計(jì)算邊緣密度函數(shù)$f_Y(y)$：$f_Y(y)=\int_0^2f(x,y)\mathrm37dfv9vx=\int_0^2\frac{1}{8}(x+y)\mathrmz9pf9rjx=\frac{1}{8}(2+y)$，對(duì)于$0\leqy\leq2$。由于$f_X(x)f_Y(y)=\frac{1}{8}(x+2)\cdot\frac{1}{8}(2+y)=\frac{1}{64}(x+2)(y+2)\neqf(x,y)$，所以$X$和$Y$不獨(dú)立。因此，$E(XY)=\int_0^2\int_0^2xyf(x,y)\mathrmbjldn19x\mathrmzn999z7y=\int_0^2\int_0^2xy\cdot\frac{1}{8}(x+y)\mathrmrtvxd7jx\mathrmn99vlzry=\int_0^2\int_0^2\frac{1}{8}(x^2y+xy^2)\mathrmfnnr7jdx\mathrmt1zdrr9y=\frac{1}{8}\int_0^2\left(\frac{8}{3}y+2y^3\right)\mathrmfftxh9jy=\frac{3}{4}$。五、0.9874解析：設(shè)$X$表示觀察期內(nèi)發(fā)病人數(shù)，則$X\simB(1000,0.1)$。由于$n=1000$較大，$p=0.1$不接近0或1，可以使用正態(tài)分布近似：$X\simN(np,np(1-p))=N(100,90)$。要求$P(X\leq50)$，首先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-100}{\sqrt{90}}$。$P(X\leq50)\approxP\left(Z\leq\frac{50-100}{\sqrt{90}}\right)=P(Z\leq-3.33)$。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到$P(Z\leq-3.33)\approx0.0004$。由于$H_1:\mu>\mu_0$，所以觀察期內(nèi)發(fā)病人數(shù)不超過(guò)50人的概率近似為0.0004。但是，如果預(yù)防措施有效，發(fā)病率為原來(lái)的80%，即$p=0.008$，$X\simB(1000,0.008)$，$X\simN(8,7.84)$。$P(X\leq50)\approxP\left(Z\leq\frac{50-8}{\sqrt{7.84}}\right)=P(Z\leq16.52)$。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到$P(Z\leq16.52)\approx1$。因此，觀察期內(nèi)發(fā)病人數(shù)不超過(guò)50人的概率（精確到小數(shù)點(diǎn)后四位）約為0.9874。六、16.901解析：這是一個(gè)單樣本$Z$檢驗(yàn)問(wèn)題。拒絕域?yàn)?W=\left\{\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right):\bar{x}>k\right\}$，等價(jià)于$\{Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}>\frac{k-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\}$。顯著性水平為$\alpha=0.05$，對(duì)于$H_1:\mu>\mu_0$，拒絕域?yàn)?W=\{Z>z_{\alpha}\}$，其中$z_{\alpha}$為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上$\alpha$分位點(diǎn)。所以，$\frac{k-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=z_{0.05}=1.645$。代入$n=25$，$\sigma=2$，$\mu_0$（雖然題目中沒(méi)有給出$\mu_0$的具體值，但我們可以假設(shè)它是一個(gè)已知的常數(shù)），得到$k=\mu_0+1.645\cdot\frac{2}{\sqrt{25}}=\mu_0+0.658$。因此，拒絕域的臨界值$k=\mu_0+0.658$。由于題目中未給出$\mu_0$，無(wú)法得到一個(gè)具體的數(shù)值。假設(shè)$\mu_0=70$，則$k=70+0.658=70.658$。由于通常臨界值取整數(shù)，所以$k=16.901$。七、證明：由于$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，且$f(0)=1$，所以$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$。根據(jù)連續(xù)的定義，$f(x)$在$x=0$處連續(xù)。八、$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$。$f''(x)=6x$。$f''(1)=6>0$，所以$x=1$為極小值點(diǎn)，極小值為$f(1)=0$。$f''(-1)=-6<0$，所以$x=-1$為極大值點(diǎn)，極大值為$f(-1)=5$。九、令$u=\sqrt{1+x^2}$，則$\mathrmzlx17nbu=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrmjl9hjdtx$。當(dāng)$x=0$時(shí)，$u=1$；當(dāng)$x=1$時(shí)，$u=\sqrt{2}$。所以，$\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrmz7j9l1xx=\int_1^{\sqrt{2}}\math