2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)原理考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個(gè)選項(xiàng)不是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的典型特征？A.度分布服從冪律分布B.平均路徑長(zhǎng)度相對(duì)較小C.聚類(lèi)系數(shù)相對(duì)較大D.網(wǎng)絡(luò)包含大量的節(jié)點(diǎn)度數(shù)極小2.在SIR模型中，代表易感節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)是：A.SB.IC.RD.B3.下列哪個(gè)算法不屬于社區(qū)檢測(cè)算法？A.確定性算法B.局部?jī)?yōu)化算法C.全局優(yōu)化算法D.譜聚類(lèi)算法4.網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定性分析通常采用的方法是：A.數(shù)值模擬B.圖像分析C.線性化D.概率統(tǒng)計(jì)5.下列哪個(gè)領(lǐng)域不是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的主要應(yīng)用領(lǐng)域？A.社交網(wǎng)絡(luò)分析B.金融市場(chǎng)預(yù)測(cè)C.傳染病傳播建模D.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模二、填空題1.連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的線稱(chēng)為_(kāi)_______。2.節(jié)點(diǎn)的度數(shù)表示該節(jié)點(diǎn)與________之間直接連接的邊的數(shù)量。3.聚類(lèi)系數(shù)衡量的是網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)與其鄰居節(jié)點(diǎn)之間連接的緊密程度，其值介于________和________之間。4.小世界網(wǎng)絡(luò)是指具有________平均路徑長(zhǎng)度和________聚類(lèi)系數(shù)的網(wǎng)絡(luò)。5.在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題中，目標(biāo)通常是將網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力狀態(tài)控制到________狀態(tài)。三、計(jì)算題1.給定一個(gè)包含5個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)向網(wǎng)絡(luò)，其鄰接矩陣為：$$\begin{pmatrix}0&1&1&0&0\\1&0&1&1&0\\1&1&0&0&1\\0&1&0&0&1\\0&0&1&1&0\\\end{pmatrix}$請(qǐng)計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的度分布、平均路徑長(zhǎng)度和聚類(lèi)系數(shù)。2.考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的SIR模型，其方程為：$$\frac{dS}{dt}=-\betaSI,\quad\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI$其中，$\beta$為傳染率，$\gamma$為康復(fù)率。假設(shè)初始狀態(tài)為$S(0)=N-1,I(0)=1,R(0)=0$，其中$N$為網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點(diǎn)數(shù)。請(qǐng)對(duì)該模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)分析，并說(shuō)明其動(dòng)態(tài)行為。3.假設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為：$$\dot{x}=Ax,\quadx\in\mathbb{R}^n$其中，$A$為網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣。請(qǐng)解釋如何利用該方程分析網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力特性，并簡(jiǎn)要說(shuō)明如何判斷網(wǎng)絡(luò)是否能夠?qū)崿F(xiàn)同步。四、證明題證明：對(duì)于任何無(wú)向簡(jiǎn)單圖，其度數(shù)序列的圖靈數(shù)（Turingnumber）小于或等于其最大度數(shù)。五、綜合應(yīng)用題假設(shè)你要對(duì)一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模和分析，請(qǐng)描述你會(huì)如何選擇合適的網(wǎng)絡(luò)模型，并利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)分析該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征和傳播動(dòng)力學(xué)。你需要說(shuō)明你的模型選擇理由、分析方法和預(yù)期結(jié)果。試卷答案一、選擇題1.D2.A3.A4.C5.B二、填空題1.邊2.其他所有節(jié)點(diǎn)3.0,14.較小,較大5.穩(wěn)定三、計(jì)算題1.解：*度分布：節(jié)點(diǎn)1度數(shù)為2，節(jié)點(diǎn)2度數(shù)為3，節(jié)點(diǎn)3度數(shù)為3，節(jié)點(diǎn)4度數(shù)為2，節(jié)點(diǎn)5度數(shù)為2。*平均路徑長(zhǎng)度：使用Floyd-Warshall算法計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑長(zhǎng)度，然后取平均值。計(jì)算結(jié)果為2。*聚類(lèi)系數(shù)：分別計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的聚類(lèi)系數(shù)，然后取平均值。計(jì)算結(jié)果為0.571。2.解：*該模型描述了傳染病在人群中的傳播過(guò)程。$S$代表易感節(jié)點(diǎn)，$I$代表感染節(jié)點(diǎn)，$R$代表康復(fù)節(jié)點(diǎn)。*當(dāng)$\beta>\gamma$時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量可能會(huì)先增加后減少，最終趨于穩(wěn)定在0；當(dāng)$\beta<\gamma$時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量會(huì)逐漸減少并最終趨于0。*該模型的動(dòng)態(tài)行為取決于傳染率$\beta$和康復(fù)率$\gamma$的相對(duì)大小。3.解：*該方程描述了網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。*通過(guò)分析矩陣$A$的特征值和特征向量，可以判斷網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力特性，例如是否存在穩(wěn)定狀態(tài)、周期解等。*如果所有特征值的實(shí)部均為負(fù)，則網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崿F(xiàn)同步。四、證明題證明：*設(shè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖的度數(shù)序列為$d_1,d_2,\ldots,d_n$，其中$d_1\leqd_2\leq\ldots\leqd_n$，最大度數(shù)為$d_n$。*圖靈數(shù)是使得存在一個(gè)包含至少該數(shù)量節(jié)點(diǎn)的圖，其度數(shù)序列與給定序列相同的最小數(shù)。*對(duì)于任何度數(shù)序列，其圖靈數(shù)不可能超過(guò)最大度數(shù)$d_n$，因?yàn)槿魏伟?d_n+1$個(gè)節(jié)點(diǎn)的圖，其最小度數(shù)至少為$d_n$，這與給定的度數(shù)序列矛盾。*因此，圖靈數(shù)小于或等于最大度數(shù)$d_n$。五、綜合應(yīng)用題解：*模型選擇：根據(jù)社交網(wǎng)絡(luò)的特性，可以選擇無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型，因?yàn)樯缃痪W(wǎng)絡(luò)通常具有冪律度分布。*結(jié)構(gòu)特征分析：可以利用度分布、聚類(lèi)系數(shù)、平均路徑長(zhǎng)度等指標(biāo)分析社交網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征，例如節(jié)點(diǎn)度數(shù)的分布情況、網(wǎng)絡(luò)連接的緊密程度、信息傳播的效率等。*傳播動(dòng)力學(xué)分析：可以利用SIR模型等傳播模型分析社交網(wǎng)絡(luò)中的信息傳播或疾病傳播過(guò)程，例如預(yù)測(cè)傳播趨勢(shì)、識(shí)別