2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)推斷在醫(yī)學(xué)研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,Xn是來(lái)自該總體的樣本。若要構(gòu)造總體均值μ的(1-α)100%置信區(qū)間，當(dāng)樣本量n固定時(shí)，增加樣本方差S2會(huì)導(dǎo)致置信區(qū)間的（）。A.變窄B.變寬C.不變D.可能變窄也可能變寬2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤α是指（）。A.棄真錯(cuò)誤，即H?為真時(shí)拒絕H?B.棄真錯(cuò)誤，即H?為假時(shí)拒絕H?C.取偽錯(cuò)誤，即H?為真時(shí)接受H?D.取偽錯(cuò)誤，即H?為假時(shí)接受H?3.對(duì)兩組獨(dú)立樣本的均值進(jìn)行比較，若兩組樣本量相等，且均值的方差不等，但數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則更應(yīng)選擇的檢驗(yàn)方法是（）。A.配對(duì)樣本t檢驗(yàn)B.兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）C.兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差不等）D.單因素方差分析4.設(shè)樣本數(shù)據(jù)X?,X?,...,Xn來(lái)自正態(tài)分布N(μ,σ2)，要檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?。當(dāng)樣本量n較大時(shí)，即使總體方差σ2未知，也可以使用（）進(jìn)行檢驗(yàn)。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)5.在一項(xiàng)關(guān)于藥物有效性的研究中，將患者隨機(jī)分為治療組與對(duì)照組。研究者需要比較兩組患者的治愈率是否有顯著差異。此研究最適合使用的統(tǒng)計(jì)方法是（）。A.單樣本t檢驗(yàn)B.配對(duì)樣本t檢驗(yàn)C.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)6.對(duì)于分類變量X和Y，卡方檢驗(yàn)主要用于分析（）。A.X的均值與Y的均值之間的關(guān)系B.X與Y之間是否存在關(guān)聯(lián)C.X的方差與Y的方差之間的關(guān)系D.X的分布是否符合某個(gè)理論分布7.若對(duì)一組來(lái)自正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)P值小于顯著性水平α，則正確的結(jié)論是（）。A.接受原假設(shè)H?B.拒絕原假設(shè)H?C.原假設(shè)H?正確D.無(wú)法判斷原假設(shè)H?的真假8.在一項(xiàng)臨床試驗(yàn)中，研究人員測(cè)量了接受某種治療前后患者的血壓值。為了比較治療前后血壓的變化，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)方法是（）。A.兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)B.單樣本t檢驗(yàn)C.配對(duì)樣本t檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)9.設(shè)總體X的分布未知，但樣本量n很大。要檢驗(yàn)關(guān)于總體均值μ的假設(shè)，可以使用（）。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)10.若一組定量數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，且樣本量較小，且希望比較兩組數(shù)據(jù)的中心位置，應(yīng)優(yōu)先考慮使用的非參數(shù)檢驗(yàn)方法是（）。A.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)B.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)C.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)D.Fisher精確檢驗(yàn)二、填空題1.設(shè)總體X的均值和方差分別為μ和σ2，X?,X?,...,Xn是來(lái)自該總體的樣本，則樣本均值X?的數(shù)學(xué)期望為________，方差為________。2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α表示________。3.當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布近似服從________分布，其均值為總體均值μ，方差為________。4.對(duì)于兩組獨(dú)立樣本的均值進(jìn)行比較，若要構(gòu)造兩組總體均值差(μ?-μ?)的(1-α)100%置信區(qū)間，常用的統(tǒng)計(jì)量為________，其自由度通常由________公式確定。5.卡方檢驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)量χ2是基于________的平方和計(jì)算得到的。6.單因素方差分析（ANOVA）主要用于檢驗(yàn)________個(gè)或多個(gè)總體均值是否相等。7.置信區(qū)間表達(dá)了在________的置信水平下，該區(qū)間包含總體參數(shù)的真值的可能性。8.假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論可能是錯(cuò)誤的，這包括兩種錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）的概率為α，第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）的概率為β。9.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，選擇顯著性水平α的大小需要根據(jù)________和________進(jìn)行權(quán)衡。10.對(duì)于分類數(shù)據(jù)，若要檢驗(yàn)一個(gè)分類變量的分布是否服從某個(gè)已知的理論分布，應(yīng)使用________檢驗(yàn)。三、計(jì)算題1.某醫(yī)生欲評(píng)估一種新藥降低血壓的效果。隨機(jī)選取10名高血壓患者服用該藥一個(gè)月后，測(cè)量其收縮壓（單位：mmHg），得到樣本均值X?=130mmHg，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=15mmHg。假設(shè)服用藥物前后收縮壓服從正態(tài)分布。試以95%的置信水平估計(jì)該藥一個(gè)月后使患者收縮壓降低的平均值（假設(shè)藥物未服用時(shí)血壓均值為140mmHg）的置信區(qū)間。2.為比較兩種不同教學(xué)方法（方法A和方法B）對(duì)學(xué)生的考試成績(jī)是否有顯著影響，隨機(jī)抽取60名學(xué)生，其中30人采用方法A，30人采用方法B，考試成績(jī)?nèi)缦拢悍椒ˋ:X??=85,S?=8方法B:X??=82,S?=7假設(shè)兩組考試成績(jī)均近似服從正態(tài)分布，且方差相等。試在α=0.05的水平下檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異（即檢驗(yàn)μ?-μ?=0的假設(shè)）。3.某項(xiàng)研究調(diào)查了100名男性吸煙者（X）和100名男性非吸煙者（Y）是否患有慢性支氣管炎（Y）。數(shù)據(jù)如下：吸煙者患慢性支氣管炎：70人吸煙者未患慢性支氣管炎：30人非吸煙者患慢性支氣管炎：40人非吸煙者未患慢性支氣管炎：60人試在α=0.01的水平下檢驗(yàn)吸煙與患慢性支氣管炎是否有關(guān)聯(lián)。四、綜合應(yīng)用題1.某研究者欲比較兩種不同劑量的藥物對(duì)緩解某種疼痛的效果。隨機(jī)選取50名疼痛患者，將其隨機(jī)分配到兩組，每組25人。一組服用高劑量藥物，另一組服用低劑量藥物。治療后，使用疼痛評(píng)分量表對(duì)患者的疼痛緩解程度進(jìn)行評(píng)分。高劑量組得分均值為8.5，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2；低劑量組得分均值為7.0，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5。假設(shè)兩組疼痛評(píng)分均服從正態(tài)分布，且方差相等。(1)請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法，檢驗(yàn)兩種劑量藥物的平均疼痛緩解程度是否有顯著差異。(2)請(qǐng)解釋你選擇的統(tǒng)計(jì)方法為何適合此情境。(3)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果為P<0.05，請(qǐng)結(jié)合醫(yī)學(xué)背景解釋此P值的意義，并討論此結(jié)果是否能說(shuō)明高劑量藥物一定比低劑量藥物更有效？2.在一項(xiàng)關(guān)于某種新診斷方法準(zhǔn)確性的研究中，將該方法應(yīng)用于100名已知健康狀況的患者，結(jié)果如下：真實(shí)患病且新方法診斷為陽(yáng)性：45人真實(shí)患病但新方法診斷為陰性：5人真實(shí)未患病但新方法診斷為陽(yáng)性：10人真實(shí)未患病且新方法診斷為陰性：40人請(qǐng)分析該診斷方法對(duì)患病的判斷能力（即敏感性和特異性，雖然題目不要求計(jì)算具體值，但需理解概念并能在分析中提及）。請(qǐng)解釋卡方檢驗(yàn)（或合適的其他方法）如何幫助評(píng)價(jià)該診斷方法的準(zhǔn)確性。假設(shè)研究者關(guān)心的是診斷結(jié)果與真實(shí)狀態(tài)是否一致，你會(huì)選擇哪種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。試卷答案一、選擇題1.B解析：置信區(qū)間的寬度與置信水平(1-α)和樣本方差S2有關(guān)。對(duì)于固定的樣本量n和置信水平(1-α)，樣本方差S2越大，t分布(或Z分布)的臨界值越大，導(dǎo)致置信區(qū)間越寬。因此，增加樣本方差S2會(huì)導(dǎo)致置信區(qū)間變寬。2.A解析：根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的定義，犯第一類錯(cuò)誤是指原假設(shè)H?實(shí)際上為真，但檢驗(yàn)結(jié)果卻拒絕了H?。3.C解析：兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)用于比較兩組獨(dú)立樣本的均值。題目已知兩組樣本量相等，方差不等，但數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布。此時(shí)應(yīng)優(yōu)先選擇可以處理異方差的t檢驗(yàn)，即兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差不等）的方法。如果方差差異很大且不滿足正態(tài)性，則應(yīng)考慮非參數(shù)檢驗(yàn)。4.B解析：Z檢驗(yàn)是基于總體方差已知或樣本量足夠大時(shí)，樣本均值抽樣分布近似為N(μ,σ2/n)的檢驗(yàn)方法。當(dāng)樣本量n較大時(shí)(通常n>30)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布近似服從N(μ,σ2/n)，即使總體方差σ2未知，也可以使用Z檢驗(yàn)，或者使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ進(jìn)行近似。5.D解析：治愈率是分類變量（是/否），比較兩組治愈率是否有顯著差異屬于分類數(shù)據(jù)的比較問(wèn)題，卡方檢驗(yàn)（Chi-squaretestforindependence）是分析兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)的常用方法。6.B解析：卡方檢驗(yàn)（Chi-squaretestforindependence）主要用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間是否存在顯著的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)性。7.B解析：P值是當(dāng)原假設(shè)H?為真時(shí)，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。若P值小于顯著性水平α，意味著觀察到的結(jié)果在H?為真時(shí)是小概率事件，因此有理由拒絕原假設(shè)H?。8.C解析：配對(duì)樣本t檢驗(yàn)（Pairedt-test）適用于對(duì)同一組對(duì)象在兩種不同處理或兩個(gè)不同時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，比較兩次測(cè)量結(jié)果是否存在顯著差異。本題中測(cè)量了同一批患者治療前后的血壓變化，符合配對(duì)樣本的條件。9.B解析：Z檢驗(yàn)適用于總體分布未知，但樣本量足夠大（n>30），且根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布的情況。10.A解析：Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（也叫WilcoxonRank-Sum檢驗(yàn)）是非參數(shù)檢驗(yàn)方法，用于比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的總體分布位置（通常是比較中位數(shù)），適用于數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布且樣本量較小的情況。Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)用于配對(duì)樣本。K-S檢驗(yàn)用于比較單一樣本分布與理論分布或兩個(gè)樣本分布。Fisher精確檢驗(yàn)用于小樣本的分類數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)。二、填空題1.μ,σ2/n解析：根據(jù)樣本均值的數(shù)字特征，其期望等于總體均值，方差等于總體方差除以樣本量n。2.原假設(shè)H?為真時(shí)拒絕H?的概率解析：顯著性水平α是在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)前預(yù)先設(shè)定的一個(gè)閾值，代表了研究者愿意承擔(dān)的犯第一類錯(cuò)誤的概率。3.正態(tài),σ2/n解析：中心極限定理指出，對(duì)于足夠大的樣本量n，樣本均值X?的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)。4.t=(X??-X??)/sqrt(Sp2*(1/n?+1/n?)),Sp2=((n?-1)S?2+(n?-1)S?2)/(n?+n?-2)解析：當(dāng)兩組樣本量相等時(shí)，計(jì)算兩組均值差的置信區(qū)間通常使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的公式，其中Sp2是合并樣本方差。自由度為n?+n?-2。5.樣本頻率/樣本觀測(cè)次數(shù)與理論頻率/理論觀測(cè)次數(shù)之差的平方解析：卡方統(tǒng)計(jì)量χ2是各個(gè)分類單元格中，觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)，然后求和得到的值。6.多解析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觯ˋNOVA）的核心目的就是檢驗(yàn)多個(gè)（通常大于等于3）獨(dú)立總體的均值是否存在顯著差異。7.(1-α)解析：置信區(qū)間建立在特定的置信水平(1-α)下，表示我們有(1-α)的把握認(rèn)為總體參數(shù)的真值包含在所構(gòu)建的置信區(qū)間內(nèi)。8.α,β解析：第一類錯(cuò)誤（TypeIError）指H?為真時(shí)拒絕H?，其概率用α表示。第二類錯(cuò)誤（TypeIIError）指H?為假時(shí)接受H?，其概率用β表示。9.研究問(wèn)題的重要性,第一類錯(cuò)誤的后果解析：選擇α的大小需要考慮研究問(wèn)題的實(shí)際重要性以及犯第一類錯(cuò)誤可能帶來(lái)的后果。例如，對(duì)于生命攸關(guān)的臨床試驗(yàn)，通常選擇更小的α（如0.01），而對(duì)一些探索性研究，可能選擇較大的α（如0.05或0.10）。10.卡方(或擬合優(yōu)度)三、計(jì)算題1.置信區(qū)間為[125.83,134.17]mmHg解析：(1)確定檢驗(yàn)方法：樣本來(lái)自正態(tài)分布總體，但總體方差未知，樣本量n=10較小，應(yīng)使用單樣本t檢驗(yàn)來(lái)估計(jì)均值μ?=140的置信區(qū)間。(2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：SE=S/sqrt(n)=15/sqrt(10)≈4.743(3)確定t臨界值：置信水平為95%，自由度df=n-1=9。查t分布表得t_(0.025,9)≈2.262。(4)計(jì)算置信區(qū)間：[μ?-t_(α/2,df)*SE,μ?+t_(α/2,df)*SE]=[140-2.262*4.743,140+2.262*4.743]≈[125.83,134.17]mmHg。所以，以95%的置信水平估計(jì)該藥使患者收縮壓平均降低的值在125.83到134.17mmHg之間。2.拒絕原假設(shè)H?，認(rèn)為兩種教學(xué)方法效果有顯著差異。解析：(1)確定檢驗(yàn)方法：比較兩種獨(dú)立樣本的均值，樣本來(lái)自正態(tài)分布總體，但總體方差未知且不等（題目說(shuō)明方差不等），樣本量n?=n?=30。應(yīng)使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（異方差假設(shè)下的t檢驗(yàn)，即Satterthwaite近似法或Welch'st-test）。(2)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

a.計(jì)算均值差：X??-X??=85-82=3

b.計(jì)算樣本方差：S?2=82=64,S?2=72=49

c.計(jì)算自由度（使用Welch's公式）：df≈58.02(或查表使用近似df，如60)

d.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：SE=sqrt((S?2/n?)+(S?2/n?))=sqrt((64/30)+(49/30))=sqrt(113/30)≈2.078

e.計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：t=(X??-X??)/SE=3/2.078≈1.443(3)確定拒絕域：α=0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)。查t分布表得t_(0.025,df≈58)≈2.001。拒絕域?yàn)閠<-2.001或t>2.001。(4)做出決策：計(jì)算得到的t≈1.443，不落在拒絕域內(nèi)。因此，不能拒絕原假設(shè)H?(μ?-μ?=0)。結(jié)論：在α=0.05的水平下，沒有足夠的證據(jù)表明兩種教學(xué)方法的效果有顯著差異。（注意：如果題目隱含單側(cè)檢驗(yàn)或計(jì)算出的t值較大，結(jié)論可能不同。此處按標(biāo)準(zhǔn)雙側(cè)檢驗(yàn)處理。）3.拒絕原假設(shè)H?，認(rèn)為吸煙與患慢性支氣管炎有關(guān)聯(lián)。解析：(1)確定檢驗(yàn)方法：分析兩個(gè)分類變量（吸煙：是/否，患慢性支氣管炎：是/否）之間的關(guān)聯(lián)性，數(shù)據(jù)為頻數(shù)計(jì)數(shù)。應(yīng)使用卡方檢驗(yàn)（Chi-squaretestforindependence）。(2)列出列聯(lián)表（ObservedFrequencies,O）：

||患慢性支氣管炎|未患慢性支氣管炎|合計(jì)|

|---------------|-----------------|-------------------|------|

|吸煙者(X=1)|70|30|100|

|非吸煙者(X=0)|40|60|100|

|合計(jì)|110|90|200|(3)計(jì)算期望頻數(shù)（ExpectedFrequencies,E）：E=(行合計(jì)*列合計(jì))/總樣本量

E?,?=(100*110)/200=55

E?,?=(100*90)/200=45

E?,?=(100*110)/200=55

E?,?=(100*90)/200=45(4)計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量：χ2=Σ((O-E)2/E)

χ2=((70-55)2/55)+((30-45)2/45)+((40-55)2/55)+((60-45)2/45)

=(152/55)+(-152/45)+(-152/55)+(152/45)

=(225/55)+(225/45)+(225/55)+(225/45)

≈4.091+5.000+4.091+5.000

≈18.182(5)確定拒絕域：α=0.01，自由度df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=(2-1)*(2-1)=1。查χ2分布表得χ2_(0.005,1)≈6.635。拒絕域?yàn)棣?>6.635。(6)做出決策：計(jì)算得到的χ2≈18.182，遠(yuǎn)大于臨界值6.635。因此，拒絕原假設(shè)H?（吸煙與患慢性支氣管炎無(wú)關(guān)）。結(jié)論：在α=0.01的水平下，有足夠的證據(jù)表明吸煙與患慢性支氣管炎之間存在關(guān)聯(lián)。四、綜合應(yīng)用題1.(1)選擇方法：樣本來(lái)自正態(tài)分布總體，比較兩組獨(dú)立樣本的均值，樣本量n?=n?=25，雖然題目未明確說(shuō)明方差是否相等，但t檢驗(yàn)對(duì)異方差相對(duì)不敏感，且通常作為首選。使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（可考慮進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，如F檢驗(yàn)或Levene's檢驗(yàn)，若不齊則使用Satterthwaite校正的t公式或Welch'st公式）。此處按標(biāo)準(zhǔn)t檢驗(yàn)計(jì)算。

t=(X??-X??)/sqrt((S?2/n?)+(S?2/n?))

t=(8.5-7.0)/sqrt((1.22/25)+(1.52/25))

t=1.5/sqrt((1.44/25)+(2.25/25))

t=1.5/sqrt(0.0576+0.09)

t=1.5/sqrt(0.1476)

t=1.5/0.3843

t≈3.899(2)解釋：選擇兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)是因?yàn)檠芯勘容^了兩個(gè)獨(dú)立組（高劑量組、低劑量組）在某個(gè)連續(xù)變量（疼痛評(píng)分）上的平均水平。樣本來(lái)自正態(tài)分布總體，樣本量（n=25）適中，滿足t檢驗(yàn)的基本前提。該檢驗(yàn)旨在判斷兩組樣本所代表的總體在平均疼痛緩解程度（均值）上是否存在顯著差異。(3)解釋P值意義：假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果P<0.05，意味著如果兩種藥物的實(shí)際平均效果完全相同（即H?:μ?=μ?為真），那么觀察到當(dāng)前樣本中兩組平均分差異像1.5分這樣大或更大的概率小于0.05。這表明觀察到的差異具有較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。然而，統(tǒng)計(jì)顯著性與臨床重要性是兩個(gè)概念。P<0.05僅說(shuō)明差異在統(tǒng)計(jì)上不太可能由隨機(jī)因素引起，但不能直接說(shuō)明高劑量藥物一定“更有效”。需要結(jié)合效應(yīng)量（effectsize，如Cohen'sd）來(lái)評(píng)估差異的實(shí)際大小，并考慮該差異在臨床實(shí)踐中的實(shí)際意義。例如，如果雖然統(tǒng)計(jì)顯著，但兩組平均分僅相差1分，且對(duì)患者的實(shí)際生活質(zhì)量影響微乎其微，那么這個(gè)統(tǒng)計(jì)上的“更有效”可能沒有實(shí)際價(jià)值。2.分析能力：

(1)敏感性（Sensitivity）：指真實(shí)患病者中被正確診斷為患病的比例。關(guān)注的是“真陽(yáng)性”比例，即(45/50)*100%=90%?？ǚ綑z驗(yàn)可以幫助判斷“患病狀態(tài)”與“診斷結(jié)果”之間是否存在關(guān)聯(lián)。如果兩者關(guān)聯(lián)性強(qiáng)（即卡方檢驗(yàn)P值小），則說(shuō)明診斷結(jié)果在一定程度上反映了真實(shí)狀態(tài)，間接支持了診斷方法有較好的區(qū)分能力。但不能直接衡量敏感性。

(2)特異性（Specificity）：指真實(shí)未患病者中被正確診斷為未患病的比例。關(guān)注的是“真