2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)模型解析社會現(xiàn)象的本質(zhì)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，討論$f(x)$在其定義域內(nèi)的單調(diào)性和極值。二、已知函數(shù)$g(x)$滿足$g'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$，且$g(1)=1$，求$g(2)$的值。三、設(shè)函數(shù)$h(x)=x^3-ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$為常數(shù)。若$h(x)$在$x=1$處取得極大值，在$x=-1$處取得極小值，且$h(0)=1$，求$a,b,c$的值。四、某城市的人口增長可以近似地用邏輯斯蒂模型描述。假設(shè)該城市當(dāng)前的人口為$P_0$，最大容量為$K$，增長率系數(shù)為$r$。若經(jīng)過$T$年后，人口翻了一番，建立數(shù)學(xué)模型描述這一過程，并求當(dāng)$P_0=100$萬，$K=1000$萬，$r=0.01$時，需要多少年人口才能達到最大容量的$90\%$。五、某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為$C_0$，單位可變成本為$C_1$，售價為$P$。市場需求量$Q$是價格$P$的函數(shù)，$Q=a-bP$，其中$a,b$為正常數(shù)。求該公司獲得最大利潤時的售價和產(chǎn)量。六、在一個簡單的經(jīng)濟模型中，假設(shè)一個國家的總產(chǎn)出$Y$由消費$C$、投資$I$和政府支出$G$組成，即$Y=C+I+G$。消費函數(shù)為$C=a+bY$，其中$a$為自主消費，$b$為邊際消費傾向，且$0<b<1$。投資$I$和政府支出$G$為外生變量。求該經(jīng)濟模型的均衡產(chǎn)出水平。七、設(shè)線性方程組$\begin{cases}ax_1+bx_2+cx_3=d\\x_1+2x_2+3x_3=4\\2x_1+3x_2+4x_3=5\end{cases}$，討論當(dāng)$a,b,c,d$滿足什么條件時，該方程組有唯一解、無解、有無窮多解。八、設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)$。(1)求$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的秩；(2)若$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)，求$t$的取值范圍。九、設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)。證明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(t)\,dt=(b-a)f(\xi)$。十、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品$A$和$B$，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品$A$需要消耗原材料$x_1$和勞動力$x_2$，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品$B$需要消耗原材料$y_1$和勞動力$y_2$。工廠現(xiàn)有原材料總量為$R$，勞動力總量為$L$。產(chǎn)品$A$的單位利潤為$p_A$，產(chǎn)品$B$的單位利潤為$p_B$。如何安排兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，才能使工廠的總利潤最大？建立數(shù)學(xué)模型描述這一過程。試卷答案一、$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=-\frac{x+1}{x^2}$。令$f'(x)=0$，得$x=-1$。當(dāng)$x\in(0,-1)$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$x\in(-1,+\infty)$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減。$f(x)$在$x=-1$處取得極大值，極大值為$f(-1)=-1+\ln1=-1$，無極小值。二、$g(x)=\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C$。由$g(1)=1$，得$\ln2+C=1$，即$C=1-\ln2$。所以$g(x)=\ln(x^2+1)+1-\ln2$。$g(2)=\ln5+1-\ln2=\ln\frac{5}{2}+1$。三、$h'(x)=3x^2-2ax+b$。由題意，$h'(1)=0$且$h'(-1)=0$，得$3-2a+b=0$和$3+2a+b=0$。解得$a=0$，$b=-3$。又$h(0)=c=1$。所以$a=0$，$b=-3$，$c=1$。四、邏輯斯蒂模型為$P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{P_0}{K}\right)e^{-rt}}$。由$P(T)=2P_0$，得$\frac{1}{1+\left(\frac{P_0}{K}\right)e^{-rT}}=2$，即$e^{-rT}=\frac{1}{2\left(\frac{P_0}{K}+1\right)}$。當(dāng)$P_0=100$萬，$K=1000$萬，$r=0.01$時，$e^{-0.01T}=\frac{1}{2.1}$。所以$T=\frac{\ln2.1}{0.01}\approx46.05$年。此時人口達到最大容量的$90\%$時，$P(t)=0.9K$，即$\frac{1}{1+\left(\frac{P_0}{K}\right)e^{-0.01t}}=0.9$。解得$t\approx57.78$年。五、總收益$R=P\cdotQ=P(a-bP)=aP-bP^2$?？偝杀?C=C_0+C_1Q=C_0+C_1(a-bP)=C_0+aC_1-bC_1P$。利潤函數(shù)$\pi=R-C=(a-bP)P-(C_0+aC_1-bC_1P)=-bP^2+(a+bC_1)P-C_0-aC_1$。令$\pi'(P)=-2bP+a+bC_1=0$，得$P=\frac{a+bC_1}{2b}$。此時$Q=a-bP=\frac{a-bC_1}{2}$。由于$R''(P)=-2b<0$，故$P=\frac{a+bC_1}{2b}$時利潤最大，產(chǎn)量為$Q=\frac{a-bC_1}{2}$。六、將$C=a+bY$代入$Y=C+I+G$，得$Y=a+bY+I+G$。整理得$(1-b)Y=a+I+G$。所以均衡產(chǎn)出水平$Y=\frac{a+I+G}{1-b}$。七、系數(shù)矩陣為$\begin{pmatrix}a&b&c\\1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}$。增廣矩陣為$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\1&2&3&4\\2&3&4&5\end{pmatrix}$。對增廣矩陣進行行變換：$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\1&2&3&4\\2&3&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1\leftrightarrowr_2}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&b&c&d\\2&3&4&5\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&b&c&d\\0&-1&-2&-3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-ar_1}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&b-2a&c-3a&d-4a\\0&-1&-2&-3\end{pmatrix}$。(1)若$b-2a\neq0$或$-1\neq0$，則方程組有唯一解；(2)若$b-2a=0$且$c-3a=0$且$d-4a=0$，即$a=\frac{2}=\frac{c}{3}=\fracyemocei{4}$，則方程組有無窮多解；(3)若$b-2a=0$且$c-3a=0$但$d-4a\neq0$，則方程組無解。八、(1)對矩陣$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$進行行變換：$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}$。若$t\neq5$，則秩為3；若$t=5$，則秩為2。(2)若$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關(guān)，則矩陣$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$的秩為3，即$t\neq5$。九、由積分中值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(t)\,dt=f(\xi)(b-a)$。又$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，故$f(x)$在$(a,b)$