2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——偏微分方程在聲學(xué)工程中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述波動(dòng)方程在聲學(xué)中的物理意義，并說明一維波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及其各物理量的含義。二、寫出聲學(xué)中連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程（理想流體），并說明如何推導(dǎo)一維波動(dòng)方程。三、考慮一維無限長管道中的聲波傳播，管道內(nèi)充滿理想流體。設(shè)聲波沿x方向傳播，管道截面積A(x)可變。請寫出該情境下的連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程，并推導(dǎo)出聲壓p(x,t)滿足的偏微分方程。四、在x=0處，管道截面積突然擴(kuò)大，形成階梯形變化，A(0)=A0,A(x)>A0(x>0)。假設(shè)x<0區(qū)域內(nèi)聲波為均勻行波p(x<0,t)=p0cos(kx-ωt)，其中p0,k,ω為常數(shù)。請利用匹配邊界條件（在x=0處，聲壓和法向速度連續(xù)），推導(dǎo)x>0區(qū)域內(nèi)的聲波表達(dá)式，并求出反射波和透射波的振幅。五、在二維極坐標(biāo)系(r,θ)中，考慮半徑為R的圓形膜（如鼓面）的振動(dòng)。設(shè)膜的張力為T，密度為ρ。請推導(dǎo)圓形膜的振動(dòng)滿足的偏微分方程（波方程），并說明其與笛卡爾坐標(biāo)系中波方程的區(qū)別。六、對于穩(wěn)態(tài)聲場，聲壓p滿足拉普拉斯方程。在無限域中，點(diǎn)聲源Q位于原點(diǎn)，其產(chǎn)生的聲壓可以用格林函數(shù)法求解。請簡述格林函數(shù)法求解該問題的基本思路，并寫出聲壓的表達(dá)式（忽略介質(zhì)吸收）。七、將一維波動(dòng)方程?2p/?t2-c2?2p/?x2=0中的c替換為復(fù)數(shù)c=c'+ic''，其中c'和c''為實(shí)數(shù)。試分析此方程的解的物理意義，并解釋引入復(fù)數(shù)速度的動(dòng)機(jī)。八、簡述分離變量法求解偏微分方程的基本思想，并說明該方法適用于求解哪些類型的偏微分方程（結(jié)合邊界條件說明）。以一維熱傳導(dǎo)方程在無限長桿上的定解問題為例，說明如何應(yīng)用分離變量法。試卷答案一、波動(dòng)方程描述了聲波（或其他波動(dòng)現(xiàn)象）在介質(zhì)中傳播的規(guī)律，其物理意義是聲壓或速度等物理量隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系。一維波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為?2p/?t2=c2?2p/?x2或?2u/?t2=c2?2u/?x2，其中p是聲壓，u是質(zhì)點(diǎn)速度，t是時(shí)間，x是空間坐標(biāo)（沿波傳播方向），c是聲速。c2=(K/ρ)，K為介質(zhì)的體積彈性模量，ρ為介質(zhì)密度。?2p/?t2表示聲壓對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即聲壓的加速度；?2p/?x2表示聲壓對空間位置的二階導(dǎo)數(shù)，即聲壓的曲率。該方程表明，聲壓的加速度與聲壓的空間曲率成正比，比例系數(shù)為聲速的平方，這是聲波波動(dòng)性的基本數(shù)學(xué)體現(xiàn)。二、連續(xù)性方程為?ρ/?t+?(ρv)/?x=0，其中ρ是流體密度，v是質(zhì)點(diǎn)速度。運(yùn)動(dòng)方程（歐拉方程）為ρ(?v/?t+(v·?)v)=-?p，其中p是聲壓。對于小擾動(dòng)聲波，ρ可視為常數(shù)，連續(xù)性方程簡化為?v/?x=0，即聲速v等于常數(shù)的流動(dòng)。將連續(xù)性方程對時(shí)間求導(dǎo)，并利用運(yùn)動(dòng)方程消去?v/?t，得到?2p/?t2=-K?(1/ρ)?x，其中K=-ρ(?p/?ρ)?是體積彈性模量。在小擾動(dòng)假設(shè)下，ρ≈ρ?(ρ?為平均密度)，1/ρ≈1/ρ?+(1/ρ?2)?ρ/?x，且?(1/ρ)/?x=-1/ρ2?ρ/?x。代入上式并簡化，得到?2p/?t2=c2?2p/?x2，其中c2=K/ρ?。這就是一維小擾動(dòng)聲波方程。三、由于管道截面積A(x)可變，連續(xù)性方程需要考慮質(zhì)量流量變化：?(ρA(x)u)/?t+?(ρuA(x))/?x=0。運(yùn)動(dòng)方程仍為ρ(?u/?t+(u·?)u)=-?p，在x方向簡化為ρ(?u/?t+u?u/?x)=-?p/?x。將連續(xù)性方程對時(shí)間求導(dǎo)，并利用運(yùn)動(dòng)方程消去?p/?x和?u/?t，得到：?/?t[ρA(x)u]+?/?x[ρu2A(x)]+u?(ρA(x)u)/?x=-u?p/?x=u2?(ρ/A(x))/?x。整理后，考慮到u?(ρ/A(x))/?x=?(ρu/A(x))?x，得到?/?t[ρu2A(x)]+?/?x[ρu3A(x)]=0。除以ρA(x)，得到?/?t(u2A(x))+?/?x(u3A(x)/A(x))=0，即?/?t(u2A(x))+?/?x(u2A(x))=0。由于u=?p/?(ρA(x))(從運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo))，最終得到聲壓p滿足的方程為?2p/?t2=c2?2p/?x2，其中c2=1/(∫?(u2A(x))/?xdx)，但這不是標(biāo)準(zhǔn)形式。更準(zhǔn)確的處理應(yīng)得到包含A(x)導(dǎo)數(shù)的波動(dòng)方程，標(biāo)準(zhǔn)形式推導(dǎo)需要更復(fù)雜的處理或特定假設(shè)。此處按題目要求寫出推導(dǎo)過程。四、在x=0處，匹配邊界條件：p|<0=x,t=p|>0=x,t，u<0=x,t=u>0=x,t。由p(x<0,t)=p0cos(kx-ωt)得x<0處聲壓p|0?=x,t=p0cos(-ωt)=p0cos(ωt)，法向速度u<0=x,t=-ω/kp0sin(kx-ωt)|<0=x,t=-ω/kp0sin(-ωt)=ω/kp0sin(ωt)。在x>0處，設(shè)解為p(x>0,t)=p?cos(kx-ωt)+p?cos(kx+ωt)，其中p?,p?為待定系數(shù)。x>0處法向速度u>0=x,t=-ω/k(p?cos(kx-ωt)+p?cos(kx+ωt))。匹配邊界條件：p?cos(0)+p?cos(0)=p0，ω/kp?sin(0)-ω/kp?sin(0)=ω/kp0。即p?+p?=p0，p?-p?=p0。解得p?=p0/2,p?=p0/2。因此，x>0區(qū)域內(nèi)的聲壓為p(x>0,t)=(p?/2)cos(kx-ωt)+(p?/2)cos(kx+ωt)。反射波為p_r(x>0,t)=(p?/2)cos(kx+ωt)，透射波為p_t(x>0,t)=(p?/2)cos(kx-ωt)。反射波和透射波的振幅均為p?/2。五、在極坐標(biāo)系中，連續(xù)性方程為?(ρr)/?t+?(ρur)/?r+?(ρuθ)/?θ=0。運(yùn)動(dòng)方程為ρ(?u/?t+(u·?)u)=-?p。徑向速度u_r，切向速度u_θ。由于對稱性，u_θ=0，?u_θ/?θ=0。徑向加速度a_r=?u_r/?t+u_r?u_r/?r。切向加速度a_θ=r?u_θ/?t+2u_ru_θ/r=2u_ru_θ/r=0。忽略體積力，運(yùn)動(dòng)方程簡化為：ρ(?u_r/?t+u_r?u_r/?r)=-?p/?r，ρu_r2/r=-?p/?θ。由于對稱性，p不依賴于θ，?p/?θ=0，故?p/?r=0，即p只是r和t的函數(shù)。連續(xù)性方程簡化為?(ρu_r)/?t+?(ρu_r2)/?r=0。運(yùn)動(dòng)方程簡化為?u_r/?t+u_r?u_r/?r=-c2?2p/?r2(其中c2=K/ρ)。將連續(xù)性方程對時(shí)間求導(dǎo)，并利用運(yùn)動(dòng)方程消去?p/?r，得到：?2(ρu_r)/?t2+?/?r[ρu_r?u_r/?r]=0。整理得到(?2/?t2+c2?2/?r2)(ρu_r)+?/?r(ρu_r?u_r/?r)=0。這就是圓形膜振動(dòng)的偏微分方程。與笛卡爾坐標(biāo)系中的二維波動(dòng)方程?2p/?t2=c2(?2p/?x2+?2p/?y2)相比，極坐標(biāo)形式只涉及r方向的空間導(dǎo)數(shù)，并且出現(xiàn)了r的依賴關(guān)系（如徑向加速度中的r項(xiàng)和連續(xù)性方程中的u_r2/r項(xiàng)），求解方法也不同（通常用分離變量法，令u_r(r,t)=R(r)T(t)）。六、格林函數(shù)法求解點(diǎn)聲源在無限域中產(chǎn)生的聲壓的基本思路是：利用格林公式將求解區(qū)域內(nèi)的聲壓解表示為源點(diǎn)處的格林函數(shù)與源項(xiàng)的積分。對于穩(wěn)態(tài)聲場，聲壓p滿足亥姆霍茲方程?2p+k2p=-q(r')，其中k=ω/c是波數(shù)，q(r')是源分布（點(diǎn)聲源時(shí)位于原點(diǎn)r'=0）。格林函數(shù)G(r,r')滿足齊次亥姆霍茲方程?2G+k2G=δ(r-r')，其中δ是三維狄拉克δ函數(shù)。選擇合適的無窮遠(yuǎn)邊界條件（如聲壓趨于零），利用格林公式∫∫∫_V[p?2G-G?2p]dV=∫∫∫_Sp(?G/?n)dS-∫∫∫_VGqdV，其中V是積分區(qū)域，S是V的邊界。對于無限域，邊界貢獻(xiàn)為零（p趨于零），得到p(r)=∫∫∫_∞G(r,r')q(r')dV'。對于點(diǎn)聲源q(r')=Qδ(r')，有p(r)=∫∫∫_∞G(r,r')δ(r')dV'=G(r,0)。格林函數(shù)G(r,0)代表位于原點(diǎn)的點(diǎn)源在r處產(chǎn)生的聲場。在忽略介質(zhì)吸收的情況下，自由空間中的格林函數(shù)G(r,r')=(1/4πr)e^(ik|r-r'|)。因此，點(diǎn)聲源Q在r處產(chǎn)生的聲壓為p(r)=Q(1/4π|r|)e^(ik|r|)。七、將一維波動(dòng)方程中的c替換為復(fù)數(shù)c=c'+ic''，方程變?yōu)?2p/?t2-(c'+ic'')2?2p/?x2=0，即?2p/?t2-(c'2-c''2+2ic'c'')?2p/?x2=0。此方程的解可以表示為p(x,t)=Re{[f?(x-c't)+f?(x+c't)]*e^(c''t)}，其中f?,f?是任意函數(shù)。解的實(shí)部p(x,t)=Re{[f?(x-c't)+f?(x+c't)]*e^(c''t)}=[f?(x-c't)+f?(x+c't)]*cos(c''t)-i[f?(x-c't)+f?(x+c't)]*sin(c''t)?？梢钥闯觯m然波速c是復(fù)數(shù)，波形f?(x