2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)環(huán)境污染監(jiān)測(cè)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知某城市空氣中PM2.5濃度$C(t)$（單位：$\mug/m^3$）隨時(shí)間$t$（單位：小時(shí)）的變化近似滿足以下微分方程：$$\frac{dC(t)}{dt}=-kC(t)+I$$其中$k$是擴(kuò)散系數(shù)，$I$是污染源排放強(qiáng)度，且$k>0,I\ge0$。假設(shè)初始時(shí)刻$t=0$時(shí)，空氣中PM2.5濃度為$C(0)=C_0$。1.求解該微分方程，表達(dá)$C(t)$與$t$的函數(shù)關(guān)系。2.當(dāng)污染源排放強(qiáng)度$I$恒定時(shí)，分析$C(t)$隨時(shí)間$t$的變化趨勢(shì)。3.當(dāng)$I=0$時(shí)（即污染源停止排放），求解$C(t)$，并分析其最終趨近的值。二、設(shè)向量組$\mathbf{a}_1=(1,2,-1)^T$,$\mathbf{a}_2=(2,-1,3)^T$,$\mathbf{a}_3=(0,1,1)^T$。1.計(jì)算向量組$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3$的秩。2.判斷向量組$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3$是否線性相關(guān)。若線性相關(guān)，請(qǐng)找到一組不全為零的系數(shù)$c_1,c_2,c_3$，使得$c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+c_3\mathbf{a}_3=\mathbf{0}$。三、假設(shè)某地區(qū)水域受到某種污染物污染，污染物在水體中擴(kuò)散并衰減。設(shè)$x$軸沿水流方向，原點(diǎn)$x=0$處為污染源，污染物濃度$C(x,t)$（單位：$mg/L$）滿足以下偏微分方程：$$\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}-kC$$其中$D$是擴(kuò)散系數(shù)，$k$是衰減系數(shù)，且$D>0,k>0$。初始條件為$C(x,0)=\begin{cases}C_0&\text{if}x=0\\0&\text{if}x>0\end{cases}$，邊界條件為$C(0,t)=C_0$和$\frac{\partialC}{\partialx}(L,t)=0$（$L$為水域長(zhǎng)度）。1.說(shuō)明該偏微分方程中各項(xiàng)的物理意義。2.簡(jiǎn)述求解此類問(wèn)題的常用方法（無(wú)需具體求解）。四、某監(jiān)測(cè)站對(duì)某河流每日上午8點(diǎn)測(cè)量的溶解氧濃度（單位：$mg/L$）記錄如下：8.5,8.2,8.0,7.9,8.1,7.8,7.6,7.7,7.5,7.4。1.計(jì)算該組數(shù)據(jù)的樣本均值和樣本方差。2.假設(shè)溶解氧濃度服從正態(tài)分布，利用以上數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)置信水平為95%的均值$\mu$的置信區(qū)間（假設(shè)樣本量較小，需使用t分布）。五、假設(shè)一個(gè)城市交通監(jiān)控系統(tǒng)記錄了某主干道在高峰時(shí)段每5分鐘內(nèi)通過(guò)某個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)量。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)車輛通過(guò)數(shù)量$X$服從參數(shù)$\lambda=4$的泊松分布。1.寫(xiě)出隨機(jī)變量$X$的概率分布公式。2.計(jì)算在5分鐘內(nèi)至少通過(guò)3輛車的概率。3.計(jì)算在15分鐘內(nèi)通過(guò)車輛數(shù)量的期望值和方差。六、為了評(píng)估一項(xiàng)新的污水處理技術(shù)對(duì)某污染物去除效果，選取了10個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，分別測(cè)量了采用新技術(shù)的出水口和傳統(tǒng)技術(shù)的出水口該污染物的濃度（單位：$mg/L$）。數(shù)據(jù)如下表所示：|監(jiān)測(cè)點(diǎn)|新技術(shù)濃度|傳統(tǒng)技術(shù)濃度||---|---|---||1|5.2|6.1||2|4.8|5.5||3|5.0|5.8||4|4.9|5.9||5|5.1|6.0||6|4.7|5.4||7|5.3|6.2||8|4.6|5.3||9|5.4|6.1||10|4.8|5.6|假設(shè)兩個(gè)樣本的濃度數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，且方差相等但未知。1.寫(xiě)出檢驗(yàn)新技術(shù)與傳統(tǒng)技術(shù)處理效果是否存在顯著差異（即檢驗(yàn)兩者均值是否相等）的原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$。2.計(jì)算樣本均值差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差以及合并方差估計(jì)值。3.構(gòu)建一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并說(shuō)明其分布（需指明所使用的分布名稱及條件）。4.設(shè)定顯著性水平$\alpha=0.05$，根據(jù)計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量值，判斷是否有充分證據(jù)表明新技術(shù)的處理效果優(yōu)于傳統(tǒng)技術(shù)。試卷答案一、1.解方程$\frac{dC(t)}{dt}+kC(t)=I$，其通解為$C(t)=C_0e^{-kt}+\frac{I}{k}(1-e^{-kt})$。2.當(dāng)$I$恒定時(shí)，$C(t)$隨時(shí)間$t$趨近于穩(wěn)定值$\frac{I}{k}$。3.當(dāng)$I=0$時(shí)，$C(t)=C_0e^{-kt}$，最終趨近于0。解析：1.原微分方程可改寫(xiě)為線性一階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。使用常數(shù)變易法或積分因子法求解。2.觀察$C(t)$的通解，隨著$t\to\infty$，指數(shù)項(xiàng)$e^{-kt}\to0$，故$C(t)$趨近于$\frac{I}{k}$。3.當(dāng)$I=0$時(shí)，微分方程變?yōu)辇R次方程，解為指數(shù)衰減函數(shù)，最終趨近于初始濃度$C_0$的極限，即0。二、1.秩為2。2.線性相關(guān)。例如，$\mathbf{a}_3=\frac{1}{3}\mathbf{a}_1-\frac{1}{3}\mathbf{a}_2$。系數(shù)為$c_1=\frac{1}{3},c_2=-\frac{1}{3},c_3=1$。解析：1.將向量組寫(xiě)成矩陣形式，進(jìn)行行初等變換化簡(jiǎn)為行階梯形矩陣，非零行數(shù)即為秩。2.判斷線性相關(guān)性，可以計(jì)算行列式或進(jìn)行行變換。若行列式為零，則線性相關(guān)。通過(guò)行變換發(fā)現(xiàn)矩陣的秩小于3，故線性相關(guān)。或者直接找到$\mathbf{a}_3$可以由$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2$線性表示。三、1.$\frac{\partialC}{\partialt}$表示濃度隨時(shí)間的變化率；$D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}$表示污染物因空間濃度梯度不同而產(chǎn)生的擴(kuò)散項(xiàng)；$-kC$表示污染物因自身特性（如降解、吸附）而衰減的速率。2.常用方法包括：分離變量法、特征線法、傅里葉級(jí)數(shù)法、數(shù)值方法（如有限差分法）等。解析：1.根據(jù)偏微分方程中各項(xiàng)的系數(shù)和導(dǎo)數(shù)，結(jié)合環(huán)境科學(xué)知識(shí)進(jìn)行解釋。第一項(xiàng)是時(shí)間導(dǎo)數(shù)，描述濃度隨時(shí)間的變化；第二項(xiàng)是擴(kuò)散項(xiàng)，描述污染物從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散的現(xiàn)象，與濃度梯度成正比；第三項(xiàng)是衰減項(xiàng)，描述污染物自身減少的現(xiàn)象，與濃度成正比。2.說(shuō)明求解此類偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)方法。這類方程是典型的具有初始和邊界條件的拋物型偏微分方程，求解方法多樣，具體選擇取決于問(wèn)題的具體形式和邊界條件。四、1.樣本均值$\bar{x}=7.75$，樣本方差$s^2\approx0.2042$。2.置信區(qū)間為$(7.478,7.922)$。解析：1.樣本均值計(jì)算為所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。樣本方差計(jì)算為各數(shù)據(jù)與均值差的平方和除以$n-1$（$n=10$）。2.由于樣本量較?。?n<30$）且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，使用t分布構(gòu)建置信區(qū)間。首先計(jì)算t分布的臨界值$t_{\alpha/2,9}$（自由度為$n-1=9$），然后計(jì)算置信區(qū)間的上下限：$\bar{x}\pmt_{\alpha/2,9}\frac{s}{\sqrt{n}}$。五、1.$P(X=k)=\frac{4^ke^{-4}}{k!},k=0,1,2,\ldots$2.$P(X\ge3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)\approx0.6344$。3.期望值$E(X)=4$，方差$Var(X)=4$。解析：1.根據(jù)泊松分布的定義，寫(xiě)出其概率質(zhì)量函數(shù)。2.計(jì)算至少通過(guò)3輛車的概率，可以求其補(bǔ)事件（通過(guò)0、1、2輛車）的概率之和，然后用1減去該和。3.泊松分布的期望值和方差都等于其參數(shù)$\lambda$。六、1.$H_0:\mu_1=\mu_2$（新技術(shù)的均值等于傳統(tǒng)技術(shù)的均值）；$H_1:\mu_1\neq\mu_2$（新技術(shù)的均值不等于傳統(tǒng)技術(shù)的均值）。2.$\bar{x}_1=5.05$,$s_1^2\approx0.1429$,$\bar{x}_2=5.76$,$s_2^2\approx0.2042$,合并方差估計(jì)值$s_p^2\approx0.1736$,$s_p\approx0.4166$。3.統(tǒng)計(jì)量為$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，服從自由度為$n_1+n_2-2=18$的t分布。4.計(jì)算得$t\approx-3.717$。查t分布表得$t_{0.025,18}\approx2.101$。由于$|t|=3.717>2.101$，拒絕$H_0$。解析：1.檢驗(yàn)兩種技術(shù)處理效果是否存在差異，即檢驗(yàn)兩種技術(shù)下污染物濃度的均值是否相等。設(shè)定原假設(shè)為均值相等，備擇假設(shè)為均值不等（雙尾檢驗(yàn)）。2.分別計(jì)算兩個(gè)樣本的均值和方差。由于假設(shè)方差相等，使用合并方差估計(jì)值$s_p^2=\