2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫——力學(xué)中的質(zhì)點運動軌跡分析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、質(zhì)點在平面內(nèi)運動，其運動方程為$x=2t^2+3t$，$y=5t$（SI單位）。求：（1）質(zhì)點的軌跡方程；（2）$t=2s$時質(zhì)點的位置、速度和加速度。二、一物體從傾角為$\theta$的斜面頂端由靜止開始下滑，設(shè)斜面與物體間的動摩擦因數(shù)為$\mu$，且$\mu<\tan\theta$。求物體下滑的加速度。三、一質(zhì)點做半徑為$R$的圓周運動，其角速度$\omega$隨時間$t$變化為$\omega=at$（其中$a$為常量）。求質(zhì)點在$t$時刻的法向加速度和切向加速度。四、從離地高為$h$的地方以水平初速度$v_0$拋出一個質(zhì)點。不計空氣阻力，求質(zhì)點落地時的速度大小和方向。（重力加速度為$g$）五、一質(zhì)量為$m$的質(zhì)點，在水平面內(nèi)做勻速率圓周運動，速率恒為$v_0$，半徑為$R$。用牛頓運動定律求質(zhì)點所受的合外力。六、質(zhì)量為$m$的小球，用長為$l$的輕繩懸掛，懸點固定?，F(xiàn)使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，繩與豎直方向成$\theta$角。求小球的角速度和繩的張力。七、一質(zhì)點在水平面內(nèi)運動，其運動方程為$r=a\cos\omegat\hat{i}+b\sin\omegat\hat{j}$（SI單位），其中$a,b,\omega$為常量。求質(zhì)點的軌跡方程、速度和加速度。八、質(zhì)量為$m$的質(zhì)點，在距地面高為$h$處以水平初速度$v_0$拋出。求質(zhì)點從拋出到落地過程中，重力所做的功。九、一質(zhì)量為$m$的小球，從高為$h$的光滑斜面頂端由靜止滑下，斜面底部與水平面平滑連接。求小球到達水平面上的速度大小。十、一質(zhì)點在保守力場中運動，其勢能函數(shù)為$U(x)=\frac{1}{2}kx^2$（其中$k$為常量）。若質(zhì)點僅受此保守力作用，且初始時刻質(zhì)點位于$x=x_0$，速度為$v_0$。求質(zhì)點在$x=0$時的速度大小。試卷答案一、（1）消去$t$，$t=\frac{y}{5}$，代入$x$方程得：$x=2(\frac{y}{5})^2+3(\frac{y}{5})=\frac{2}{25}y^2+\frac{3}{5}y$。整理得軌跡方程：$50x=2y^2+15y$。（2）位置：$t=2s$，$x=2(2)^2+3(2)=14m$，$y=5(2)=10m$。位置矢量為$\vec{r}=(14\hat{i}+10\hat{j})m$。速度：$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\fracx1rfpdb{dt}(2t^2+3t)\hat{i}+\fracnxtp11t{dt}(5t)\hat{j}=(4t+3)\hat{i}+5\hat{j}$。$t=2s$，$\vec{v}=(11\hat{i}+5\hat{j})m/s$。加速度：$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\fracj1j1zzx{dt}[(4t+3)\hat{i}+5\hat{j}]=4\hat{i}$。加速度大小$a=4m/s^2$，方向沿$x$軸正方向。二、對物體進行受力分析，受重力$mg$，支持力$N$，摩擦力$f=\muN$。沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐標(biāo)軸。垂直方向：$N-mg\cos\theta=0$，得$N=mg\cos\theta$。沿斜面方向：$mg\sin\theta-f=ma$，代入$f=\muN$得：$mg\sin\theta-\mumg\cos\theta=ma$。解得加速度$a=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)$。三、切向加速度：$a_t=R\frac{d\omega}{dt}=R\frac{da}{dt}=Rat$。法向加速度：$a_n=R\omega^2=R(at)^2=Ra^2t^2$。四、水平方向：做勻速直線運動，$v_x=v_0$。豎直方向：做自由落體運動，$v_y=\sqrt{2gh}$。落地速度大?。?v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+2gh}$。速度方向與水平方向夾角$\alpha$，$\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}=\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$。五、質(zhì)點做勻速率圓周運動，加速度為法向加速度，大小$a_n=\frac{v_0^2}{R}$，方向指向圓心。合外力即為向心力，大小$F=m\frac{v_0^2}{R}$，方向指向圓心。六、對小球進行受力分析，受重力$mg$，張力$T$。沿水平方向和豎直方向建立坐標(biāo)軸。水平方向：$T\sin\theta=m\frac{v^2}{l}=ma_t$。豎直方向：$T\cos\theta-mg=0$。由幾何關(guān)系，速率$v=l\omega\sin\theta$。聯(lián)立以上方程，消去$T$和$v$，得：$mg\sin\theta=m(l\omega\sin\theta)^2/l$。解得角速度$\omega=\sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}$。代入$T\cos\theta=mg$得張力$T=\frac{mg}{\cos\theta}$。七、軌跡方程：將$\hat{i}$和$\hat{j}$分量分別平方相加，$r^2=(a\cos\omegat)^2+(b\sin\omegat)^2=a^2\cos^2\omegat+b^2\sin^2\omegat$。利用三角恒等式$\cos^2\omegat+\sin^2\omegat=1$，得軌跡方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。為橢圓方程。速度：$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=-a\omega\sin\omegat\hat{i}+b\omega\cos\omegat\hat{j}=-\omega(a\sin\omegat\hat{i}-b\cos\omegat\hat{j})$。加速度：$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-a\omega^2\cos\omegat\hat{i}-b\omega^2\sin\omegat\hat{j}=-\omega^2(a\cos\omegat\hat{i}+b\sin\omegat\hat{j})=-\omega^2\vec{r}$。八、重力做功$W_G=\int\vec{F}_g\cdotd\vec{s}$。取$x$軸水平向右，$y$軸豎直向上，原點在拋出點。質(zhì)點從拋出到落地，$x$不變，$dy=-h$。$W_G=\int_{y=0}^{y=-h}(-mg\hat{j})\cdot(dx\hat{i}+dy\hat{j})=\int_{y=0}^{y=-h}(-mg)dy=hmg$。重力做功為$W_G=hmg$。九、由機械能守恒定律，初始時刻和到達水平面時，系統(tǒng)的機械能守恒。初始狀態(tài)：$E_1=mg(h+0)+\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_0^2+mgh$（動能等于零）。末狀態(tài)：$E_2=\frac{1}{2}mv^2+mg(0)=\frac{1}{2}mv^2$。$E_1=E_2$，$\frac{1}{2}mv_0^2+mgh=\frac{1}{2}mv^2$。解得小球到達水平面上的速度大小$v=\sqrt{v_0^2+2gh}$。十、根據(jù)功能關(guān)系，保守力做功等于系統(tǒng)勢能的減少量。從$x=x_0$到$x=0$，勢能變化量$\DeltaU=U(0)-U(x_0)=0-\frac{1}{2}kx_0^2=-\frac{1}{2}kx_0^2$。設(shè)質(zhì)點在$x=0$時的速度為$v$，根據(jù)動能定理，合外力做功等于動能的變化量。合外力做功$W=\DeltaU=-\frac{1}{2}