2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——應(yīng)用數(shù)學(xué)對網(wǎng)絡(luò)安全的影響考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.解釋歐拉函數(shù)φ(n)的定義，并說明其在RSA公鑰密碼體制中的作用。2.設(shè)p和q是兩個(gè)相異的素?cái)?shù)，n=pq，φ(n)=(p-1)(q-1)。已知RSA公鑰為(n,e)=(55,7)，其中n=5×11。求對應(yīng)的RSA私鑰d。3.AES加密算法中，字節(jié)替代（SubBytes）環(huán)節(jié)使用了S盒矩陣。簡述S盒的設(shè)計(jì)思想及其對密碼學(xué)安全性的貢獻(xiàn)。二、1.在一個(gè)密碼學(xué)協(xié)議中，甲乙雙方需要生成共享的會(huì)話密鑰。他們同意使用Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議，并選擇模p=23和生成元g=5。甲的私鑰為a=6，乙的私鑰為b=15。請計(jì)算甲的公鑰、乙的公鑰、甲計(jì)算出的共享秘密、乙計(jì)算出的共享秘密。2.什么是概率密度函數(shù)？在網(wǎng)絡(luò)安全中，如何利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)設(shè)計(jì)入侵檢測系統(tǒng)（IDS）的基本框架？3.簡述信息熵的概念，并解釋為什么高熵的密文通常更難被破解？三、1.設(shè)G是一個(gè)階為n的循環(huán)群，生成元為g。證明對于G中的任意元素a，都有a^k=e（群的單位元）當(dāng)且僅當(dāng)n是k和n的最大公約數(shù)（gcd(k,n)）的倍數(shù)。2.在網(wǎng)絡(luò)安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中，某種安全事件發(fā)生的頻率服從參數(shù)λ=0.1的泊松分布。求該事件在單位時(shí)間內(nèi)一次也不發(fā)生的概率。3.考慮一個(gè)簡單的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，由四個(gè)節(jié)點(diǎn)A,B,C,D組成，連接關(guān)系為A-B,B-C,C-D,A-D。用圖論的語言描述這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，并計(jì)算從節(jié)點(diǎn)A到節(jié)點(diǎn)C的所有可能路徑（不考慮權(quán)重）。四、1.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。求P(X<1.96)和P(|X|>2)。在網(wǎng)絡(luò)安全數(shù)據(jù)分析中，這兩個(gè)概率值有何潛在應(yīng)用？2.什么是哈希函數(shù)？請列舉哈希函數(shù)在網(wǎng)絡(luò)安全中的至少三種主要應(yīng)用場景。3.如果一個(gè)密碼系統(tǒng)E的解密過程D對所有密文c都滿足D(c)=c，即解密即是加密，這個(gè)系統(tǒng)具備什么性質(zhì)？這種性質(zhì)在什么情況下是有用的？在什么情況下可能是有害的？五、1.設(shè)n是一個(gè)合數(shù)，n=pq，其中p和q是相鄰的奇素?cái)?shù)，即q=p+2。討論這種特殊的n在RSA算法中可能帶來的安全隱患。2.結(jié)合圖論知識(shí)，簡述如何分析一個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中潛在的攻擊路徑或關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)？3.隨著量子計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，RSA等基于大數(shù)分解難題的公鑰密碼系統(tǒng)面臨挑戰(zhàn)。請簡述抗量子密碼學(xué)研究中的一個(gè)重要方向（如基于格的密碼學(xué)）及其核心思想。試卷答案一、1.歐拉函數(shù)φ(n)定義為小于n且與n互素的正整數(shù)個(gè)數(shù)。在RSA中，φ(n)用于計(jì)算私鑰d，確保ed≡1(modφ(n))，使得D(E(M))=M成立。2.(1)計(jì)算模逆：求d使得7d≡1(mod40)。通過擴(kuò)展歐幾里得算法或試錯(cuò)法，得d=23。(2)因此，RSA私鑰為(n,d)=(55,23)。3.S盒通過非線性置換，將輸入字節(jié)（0-255）映射到輸出字節(jié)（0-255）。其設(shè)計(jì)思想在于增加算法的非線性程度，使得密鑰空間和暴力破解難度呈指數(shù)級(jí)增長，提高密碼系統(tǒng)的抗線性分析和差分分析的能力。二、1.(1)甲公鑰：A=g^amodp=5^6mod23=8。乙公鑰：B=g^bmodp=5^15mod23=19。(2)甲共享秘密：S_A=B^amodp=19^6mod23=2。乙共享秘密：S_B=A^bmodp=8^15mod23=2。雙方計(jì)算結(jié)果一致，為共享秘密。2.概率密度函數(shù)f(x)描述連續(xù)隨機(jī)變量X取值在x附近概率的密集程度。在IDS中，可以利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)建立正常網(wǎng)絡(luò)行為的基線模型（如使用高斯模型描述網(wǎng)絡(luò)流量特征），通過監(jiān)測實(shí)際流量與模型分布的偏差來檢測異常行為，判斷是否存在入侵。3.信息熵H(X)=-Σp(x)log?p(x)，衡量一個(gè)隨機(jī)變量X的不確定性或信息量。高熵的密文意味著其符號(hào)分布更均勻、更隨機(jī)，難以從中推斷出明文或密鑰的信息，因此更難被破解。三、1.證明：(必要性)若a^k=e，則g^(ab)=e，其中b=a*k/gcd(k,n)(因?yàn)間是生成元，a^k=g^(ab))。由于g是生成元，ab≡0(modn)當(dāng)且僅當(dāng)ab是n的倍數(shù)。即k*(a/gcd(k,n))是n的倍數(shù)，故n是k和n的最大公約數(shù)的倍數(shù)。(充分性)若n是gcd(k,n)的倍數(shù)，設(shè)n=t*gcd(k,n)，則a^k=g^(ab)=g^(k*(a/gcd(k,n)))。因?yàn)閍b是n的倍數(shù)，即ab=m*n，所以a^k=g^(m*gcd(k,n))=(g^gcd(k,n))^m=e^m=e。2.P(X=0)=e^(-λ)*λ^0/0!=e^(-0.1)*1=e^(-0.1)。使用計(jì)算器或查表得P(X=0)≈0.9048。3.圖論描述：該網(wǎng)絡(luò)可表示為無向圖G=(V,E)，其中V={A,B,C,D}，E={{A,B},{B,C},{C,D},{A,D}}。從A到C的路徑有：A-B-C，A-D-C。四、1.P(X<1.96)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得約0.9750。P(|X|>2)=P(X>2)+P(X<-2)=2*P(X>2)=2*[1-P(X<2)]=2*(1-0.9772)=0.0456。應(yīng)用：可用于計(jì)算網(wǎng)絡(luò)安全事件發(fā)生的閾值概率，例如，若某指標(biāo)偏離均值超過2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生的概率僅為4.56%，可視為異常。2.哈希函數(shù)是將任意長度的輸入數(shù)據(jù)映射到固定長度輸出（散列值/摘要）的函數(shù)，具有單向性、抗碰撞性、抗原像性等特性。應(yīng)用：密碼存儲(chǔ)（存儲(chǔ)哈希值而非明文密碼）、數(shù)據(jù)完整性校驗(yàn)（驗(yàn)證文件未被篡改）、數(shù)字簽名、區(qū)塊鏈（哈希鏈接）。3.該系統(tǒng)具備可逆性或自反性。在需要加密以隱藏信息的情況下（如發(fā)送秘密消息），這種系統(tǒng)毫無用處。但在某些特定場景下可能有用，例如，在允許信息公開傳播但希望驗(yàn)證信息來源未被篡改的場合，或者作為某些特定加密協(xié)議的一部分（如某些一次性密碼本系統(tǒng)的一種簡化形式），但通常不具有實(shí)用價(jià)值，且可能引入安全漏洞。五、1.安全隱患：由于p和q相鄰，p-1和q-1只相差2。如果計(jì)算φ(n)時(shí)未注意到p和q的相鄰關(guān)系，可能誤用φ(n)=(p-1)(q-1)=pq-(p+q)，從而得到錯(cuò)誤值，影響私鑰d的計(jì)算。更嚴(yán)重的是，相鄰素?cái)?shù)特性可能被惡意利用，簡化對n的因式分解，破壞RSA的安全性。2.利用圖論分析網(wǎng)絡(luò)攻擊路徑，可以通過構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D，節(jié)點(diǎn)代表設(shè)備/服務(wù)器，邊代表連接/路徑。使用圖遍歷算法（如DFS、BFS）可以找到從攻擊源到目標(biāo)系統(tǒng)的所有可能路徑。分析關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（如高連通度節(jié)點(diǎn)、中