2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在氣象學(xué)中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.某氣象模型中，大氣垂直運(yùn)動(dòng)可以用以下微分方程近似描述：?w/?t+u?w/?x+v?w/?y+w?w/?z=γ?2w/?z2，其中w表示垂直風(fēng)速分量，u、v表示水平風(fēng)速分量，γ是常數(shù)。該方程屬于（）。A.線性一階偏微分方程B.非線性一階偏微分方程C.線性二階偏微分方程D.非線性二階偏微分方程2.在氣象數(shù)據(jù)插值中，如果已知某區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)上的氣壓觀測(cè)值，利用最近鄰插值方法得到鄰近網(wǎng)格點(diǎn)氣壓值時(shí)，該鄰近網(wǎng)格點(diǎn)的氣壓值等于（）。A.所有已知網(wǎng)格點(diǎn)氣壓值的平均值B.距離該點(diǎn)最近的已知網(wǎng)格點(diǎn)上的氣壓值C.距離該點(diǎn)所有已知網(wǎng)格點(diǎn)氣壓值的加權(quán)平均值，權(quán)重與距離成反比D.距離該點(diǎn)所有已知網(wǎng)格點(diǎn)氣壓值的加權(quán)平均值，權(quán)重與距離成正比3.氣象衛(wèi)星云圖輻射亮度值L與大氣透明度τ以及云層有效反照率α的關(guān)系可以近似表示為L(zhǎng)=L?(1-τ-ατ)，其中L?是地物反射或發(fā)射的輻射亮度。該關(guān)系式體現(xiàn)了（）。A.云層對(duì)輻射的吸收作用B.云層對(duì)輻射的散射作用C.云層對(duì)輻射的吸收和散射作用D.地物對(duì)輻射的反射作用4.在氣象統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)中，如果預(yù)報(bào)因子x與預(yù)報(bào)量y之間存在線性關(guān)系，且通過(guò)最小二乘法擬合得到回歸方程y=bx+a，則回歸系數(shù)b表示（）。A.預(yù)報(bào)量y的平均值B.預(yù)報(bào)因子x與預(yù)報(bào)量y之間的相關(guān)系數(shù)C.預(yù)報(bào)因子x每變化一個(gè)單位，預(yù)報(bào)量y平均變化的量D.預(yù)報(bào)因子x與預(yù)報(bào)量y之間的協(xié)方差5.某三階線性常微分方程的特征方程為r3-3r2+3r-1=0，則該微分方程的通解形式為（）。A.c?e^r+c?xe^r+c?xe^(2r)B.c?e^r+c?cos(r)+c?sin(r)C.c?e^r+c?e^(r+1)+c?e^(r-1)D.c?e^(-r)+c?e^(-2r)+c?e^(-3r)二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上。）6.在球坐標(biāo)系下，大氣溫度T的散度表達(dá)式為?·T=(?(rT)/?r)+(1/r)(?(θ(rT))/?θ)+(1/(rsinθ))(?(φ(rT))/?φ)。7.利用有限差分法求解二維波動(dòng)方程?2u/?t2=c2(?2u/?x2+?2u/?y2)時(shí)，如果采用中心差分格式，則時(shí)間步長(zhǎng)Δt與空間步長(zhǎng)Δx、Δy之間的關(guān)系應(yīng)滿足C2Δt2≤Δx2+Δy2，其中C為波速。8.在多元線性回歸分析中，決定系數(shù)R2表示預(yù)報(bào)量y的變差中能被預(yù)報(bào)因子x解釋的百分比。9.如果大氣壓力P隨高度z呈指數(shù)規(guī)律變化，即P=P?e^(-z/H)，其中P?是地面壓力，H是大氣尺度高度，則大氣柱質(zhì)量密度ρ可以表示為ρ=(MP?/H)e^(-z/H)，其中M是地球質(zhì)量。10.利用主成分分析法對(duì)氣象數(shù)據(jù)進(jìn)行降維時(shí)，每個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率表示該主成分所包含的原變量信息量占總信息量的百分比。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分。）11.已知某地區(qū)大氣溫度T（單位：K）和氣壓P（單位：hPa）滿足準(zhǔn)靜力平衡關(guān)系T=T?-(R/g)ln(P/P?)，其中T?是地面溫度，P?是地面氣壓，R是干空氣氣體常數(shù)，g是重力加速度。假設(shè)T?=288K，P?=1013hPa，R=287J/(kg·K)，g=9.8m/s2，計(jì)算當(dāng)P=500hPa時(shí)的大氣溫度T。12.已知某氣象要素Z的觀測(cè)值為Z=[10,12,14,16,18]，利用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法（窗口大小為3）計(jì)算Z的平滑值，并寫出計(jì)算過(guò)程。13.已知某線性氣象模型可以表示為Ax=b，其中矩陣A為3×3矩陣，向量x和b均為3維列向量。利用高斯消元法求解該線性方程組，并寫出詳細(xì)步驟。四、證明題（每小題15分，共30分。）14.證明：如果大氣運(yùn)動(dòng)滿足絕熱過(guò)程，則大氣溫度T和氣壓P之間存在以下關(guān)系：ln(T)=a-bln(P)，其中a和b是常數(shù)。15.證明：對(duì)于任意的n階方陣A，如果其特征值均為實(shí)數(shù)，且其特征向量線性無(wú)關(guān)，則存在正交矩陣P，使得P^TAP為對(duì)角矩陣。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.C4.C5.A二、填空題6.?·T=(?(rT)/?r)+(1/r)(?(θ(rT))/?θ)+(1/(rsinθ))(?(φ(rT))/?φ)7.C2Δt2≤Δx2+Δy28.決定系數(shù)R2表示預(yù)報(bào)量y的變差中能被預(yù)報(bào)因子x解釋的百分比9.ρ=(MP?/H)e^(-z/H)10.利用主成分分析法對(duì)氣象數(shù)據(jù)進(jìn)行降維時(shí)，每個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率表示該主成分所包含的原變量信息量占總信息量的百分比三、計(jì)算題11.解：將P=500hPa代入準(zhǔn)靜力平衡關(guān)系式T=T?-(R/g)ln(P/P?)中，得到：T=288-(287/9.8)*ln(500/1013)T≈288-29.06*ln(0.494)T≈288-29.06*(-0.707)T≈288+20.55T≈308.55K所以，當(dāng)P=500hPa時(shí)的大氣溫度T約為308.55K。12.解：簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法（窗口大小為3）的計(jì)算公式為：MA(t)=(Z(t)+Z(t-1)+Z(t-2))/3。計(jì)算Z的平滑值：MA(3)=(10+12+14)/3=36/3=12MA(4)=(12+14+16)/3=42/3=14MA(5)=(14+16+18)/3=48/3=16所以，Z的平滑值為[12,14,16]。13.解：高斯消元法的步驟如下：(1)將線性方程組寫成增廣矩陣形式：(A|b)。(2)對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換，將其化為行階梯形矩陣。(3)對(duì)行階梯形矩陣進(jìn)行行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣。(4)根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣，回代求解出未知數(shù)x的值。由于題目中未給出具體的矩陣A和向量b，無(wú)法進(jìn)行具體計(jì)算。四、證明題14.證明：絕熱過(guò)程是指系統(tǒng)與外界沒(méi)有熱量交換的過(guò)程。對(duì)于干空氣，絕熱過(guò)程可以近似認(rèn)為是可逆的絕熱過(guò)程，即絕熱可逆過(guò)程。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，dU=δQ-δW，其中dU是內(nèi)能的微小增量，δQ是熱量的微小增量，δW是外界對(duì)系統(tǒng)做的功的微小增量。對(duì)于絕熱過(guò)程，δQ=0，所以dU=-δW。對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U只與溫度T有關(guān)，即dU=c_vdT，其中c_v是定容比熱容。另一方面，外界對(duì)系統(tǒng)做的功可以表示為δW=PdV，其中P是氣壓，dV是體積的微小增量。根據(jù)狀態(tài)方程PV=RT，可以得到dV=(R/T)dT-(V/T)dP。將dV代入δW的表達(dá)式中，得到δW=P[(R/T)dT-(V/T)dP]=RdT-(PV/T)dP=RdT-nRdP=RdT-R(P/T)dP，其中n是物質(zhì)的量。由于δW=-dU，所以c_vdT=-RdT+R(P/T)dP，即c_vdT=-RdT+RPdP/T。整理得到dT/T+PdP/(RT)=0。積分得到ln(T)+ln(P)=ln(constant)，即ln(TP)=ln(constant)。所以TP=constant，即T=constant/P。兩邊取自然對(duì)數(shù)，得到ln(T)=-ln(P)+constant'，其中constant'=ln(constant)。令a=constant'，b=-1，則得到ln(T)=a-bln(P)。證畢。15.證明：根據(jù)線性代數(shù)理論，對(duì)于任意的n階方陣A，其特征值均為實(shí)數(shù)，則其特