§2.1認(rèn)識(shí)無理數(shù)(40分鐘)基本說明授課時(shí)間:40分鐘授課人數(shù):50人課時(shí):1課時(shí)課型:新授課授課班級(jí):八年級(jí)2班授課出處:北師大版八年級(jí)上冊(cè)第二章第一節(jié)教材分析本節(jié)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)上冊(cè)第二章《實(shí)數(shù)》的第一節(jié)。主要是建立有理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念并能對(duì)實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行不同的分類，同時(shí)了解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中明確實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。本節(jié)課教科書突出其產(chǎn)生的實(shí)際背景，讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感知生活中確實(shí)存在不同于有理數(shù)的數(shù)，從而產(chǎn)生探求的欲望，最終總結(jié)出實(shí)數(shù)的概念。這一過程與歷史上無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程是一致的，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)也對(duì)平面直角坐標(biāo)系的引入起了鋪墊作用。學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初二學(xué)生。他們好奇心特強(qiáng)，喜歡動(dòng)手探究，有強(qiáng)烈的問題意識(shí)。在課前他們對(duì)無理數(shù)有一定的了解，但是對(duì)于無理數(shù)產(chǎn)生的過程不清楚，所以通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，從而升華到實(shí)數(shù)的概念。教學(xué)目標(biāo)根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有：知識(shí)與技能：通過動(dòng)手操作，回顧歷史，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程，能通過二分法的原理對(duì)已知形里數(shù)進(jìn)行估值，了解無理數(shù)的客觀存在，以及在數(shù)抽上和有理數(shù)是稠密排列的。了解實(shí)數(shù)與無理數(shù)的概念，通過對(duì)比分析，理解無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，能夠辨析一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù)。過程與方法：通過回顧有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)，能正確地進(jìn)行推理和判斷，識(shí)別某些數(shù)是否為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思維判斷能力。讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖實(shí)驗(yàn)，感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，培養(yǎng)動(dòng)手能力和合作精神。通過“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”，滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。情感態(tài)度價(jià)值觀：激勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化，了解熟悉從整數(shù)到有理數(shù)，再到實(shí)數(shù)的一個(gè)擴(kuò)充的過程，理解實(shí)數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成結(jié)構(gòu)，感受數(shù)學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆诸愃枷?。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：簡(jiǎn)單地估算一個(gè)無理數(shù)，理解無理數(shù)在數(shù)軸上是存在的。會(huì)判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)。難點(diǎn)：理解無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。會(huì)判斷一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)。教法與學(xué)法教法分析教法上通過講授法和實(shí)驗(yàn)法結(jié)合，以動(dòng)手實(shí)驗(yàn)為路線，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手拼圖和找點(diǎn)判大小，以連續(xù)提問的方式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂，去思考無理數(shù)的存在性和大小，以喚起他們的切身感受。另外，通過多媒體工具來加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的直觀領(lǐng)悟和認(rèn)識(shí)，使學(xué)習(xí)氛圍變得活躍。學(xué)法分析學(xué)法上主要通過師生合作探究，學(xué)生在回答教師提問的過程中加固知識(shí)脈絡(luò)，由有理數(shù)到無理數(shù)，在體驗(yàn)無理數(shù)的存在和探究無理數(shù)大小中學(xué)習(xí)，同時(shí)把與之對(duì)應(yīng)的有理數(shù)相關(guān)性質(zhì)或特點(diǎn)串聯(lián)起來。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史中古人智慧的同時(shí)，來提升課堂學(xué)習(xí)效率。教學(xué)環(huán)境及資源準(zhǔn)備多媒體課件，彩色粉筆，兩個(gè)面積為1的正方形彩紙，剪刀等課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）溫故知新【教師】好，今天我們將進(jìn)入課本第二章的學(xué)習(xí)。我們先來復(fù)習(xí)一下我們學(xué)過的知識(shí)。小學(xué)的時(shí)候我們學(xué)過自然數(shù)，自然數(shù)是從0開始0,1,2,3,4……一直到后面，那到了初中我們學(xué)習(xí)一個(gè)研究數(shù)值很有用的工具，是一根長(zhǎng)長(zhǎng)的？（等待學(xué)生作答）【學(xué)生】數(shù)軸！【教師】對(duì)！有了數(shù)軸之后，我們就區(qū)分出了自然數(shù)中除了0之外的正整數(shù)，那么與之相對(duì)的就有？（等待學(xué)生作答）【學(xué)生】負(fù)整數(shù)！【教師】對(duì)！負(fù)整數(shù)！我們就把正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。也就是說整數(shù)包含了正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)。后面我們發(fā)現(xiàn)，整數(shù)并不能解決所有的問題。比如，我們知道9÷3可以用整數(shù)2來表示，那么8÷3可以用整數(shù)來表示嗎？【學(xué)生】不能！【教師】對(duì)，不能！其實(shí)我們用余數(shù)2余2也可以表示，但如果要用一個(gè)數(shù)應(yīng)該如何表示呢？（抽問）【學(xué)生】可以寫成分?jǐn)?shù)83【教師】好，我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，這個(gè)時(shí)候就可以用83來表示。那這里的8【學(xué)生】mn【教師】很好，他用兩個(gè)字母來表示的分?jǐn)?shù)。那老師這里就把字母換一下，用qp來表示一個(gè)分?jǐn)?shù)。那么對(duì)于這里的p和q有沒有什么要求呢？【學(xué)生】p不能等于0！【學(xué)生】p和q都是整數(shù)！【教師】好，首先分?jǐn)?shù)要有意義分母p就不能為0，第二就是p和q都是整數(shù)，雖然我們遇到過0.20.1這種情況，但是它只是分?jǐn)?shù)的形式不是分?jǐn)?shù)對(duì)吧！那還有一個(gè)最后要求，就是p和q要互素。那如果不互素怎么樣呢？比如會(huì)出現(xiàn)48【學(xué)生】最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)！【教師】對(duì)，不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)！所以我們要求，分?jǐn)?shù)滿足qp形式，并且滿足這三個(gè)條件。特別地，當(dāng)p=1【學(xué)生】變成了整數(shù)！【教師】是的，這個(gè)時(shí)候這個(gè)分?jǐn)?shù)就可以化成整數(shù)！這個(gè)時(shí)候我們就把分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)一起來，統(tǒng)稱為有理數(shù)。那么同樣的，有理數(shù)我們就統(tǒng)一用qp的形式來表示，自然也那三個(gè)條件。我們剛剛說了整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以用我們的工具---【教師】同學(xué)們?cè)偎伎迹何覀內(nèi)绾蝸肀容^這兩部分的大小呢？整數(shù)和整數(shù)我們會(huì)比較，整數(shù)和分?jǐn)?shù)也沒有問題，那分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)要如何比較呢？比如這里有23和5【學(xué)生】可以通分！【教師】對(duì)，我們可以通分！那有沒有更直接的方法呢？【教師】我可以把23化成0.6，把54化成1.25。比較分?jǐn)?shù)的大小，我們有一個(gè)比較快的方法就是把他們化成小數(shù)。那么整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以化成什么樣的小數(shù)呢？要么是像54這樣的化成有限小數(shù)，或者像設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生回顧七年級(jí)已學(xué)內(nèi)容，并以之為切入點(diǎn)，引入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。（二）創(chuàng)設(shè)情境引入新課【學(xué)生】不是，比如π?！窘處煛亢芎?，那么π究竟是什么呢？這是我們今天一起研究的。再來看下一個(gè)，我們知道一個(gè)正方形，如果它的面積是9，則它的邊長(zhǎng)就為3；如果它的面積是4，則邊長(zhǎng)就為2。那面積為2的正方形它的邊長(zhǎng)是多少呢？首先，同學(xué)們這個(gè)正方形邊長(zhǎng)存在嗎？【學(xué)生】存在！【教師】是的，因?yàn)槊娣e存在，所以邊長(zhǎng)一定是存在的。但是這個(gè)邊長(zhǎng)我們又說不明白，那么接下來我們就通過實(shí)驗(yàn)來研究這個(gè)問題。我們將通過實(shí)驗(yàn)把兩個(gè)面積為1的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，大家注意觀察，首先就把兩個(gè)小正方形沿著一條對(duì)角線剪開得到4個(gè)小的直角三角形，然后把它們像這樣拼接，最后得到一個(gè)大的正方形。我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)大正方形的面積是多少？設(shè)計(jì)意圖：通過拼圖實(shí)驗(yàn)，激發(fā)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲與好奇心。提出問題，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生自主探究?！緦W(xué)生】面積是2！（三）師生合作探究新知【教師】對(duì)的！面積為2，也就是兩個(gè)小正方形的面積之和=1+1=2。那現(xiàn)在要求邊長(zhǎng)，我們可以設(shè)未知數(shù)x，利用方程來解。設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x，那我們可以列出怎樣的方程？（抽問）【學(xué)生】x2【教師】好，所以我們得到邊長(zhǎng)的平方等于面積2，這個(gè)求解我們暫時(shí)還沒學(xué)，老師這里先給出定義，這里的x=【教師】好，現(xiàn)在x=2，也就是這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)，那這個(gè)【學(xué)生】對(duì)角線！【教師】很好！是這個(gè)小正方形的對(duì)角線！那么2是有理數(shù)嗎？它有多大呢？【學(xué)生】我覺得它不是有理數(shù)?！窘處煛磕撬卸啻竽?？【學(xué)生】我覺得它不是有理數(shù)。【教師】為什么呢？【學(xué)生】因?yàn)?x1=1【教師】對(duì)的！1x1=1，但是這個(gè)2x2卻是2。好，那他采取了一個(gè)方法去比較2和1的大小，對(duì)吧？那我們先把2是不是有理數(shù)這個(gè)問題放一放，我們先看它有多大？剛剛的同學(xué)給了我們啟發(fā)，我們可以比較1和2的平方。1的平方等于1，但2的平方等于2。那也就是2>1。但大于1的有很多，所以現(xiàn)在還需要一個(gè)數(shù)字，你選選哪一個(gè)去和它比較？【學(xué)生】2！【教師】非常好！我會(huì)選2！2的平方等于4，那么我們發(fā)現(xiàn)2的平方恰好在1的平方和2的平方之間，而且這三個(gè)數(shù)都是正的，所以可以說2就在1和2之間?！窘處煛亢?，那現(xiàn)在我們?cè)賮砜匆环N方法。我們剛剛說到了2是小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度，如果我想把2在數(shù)軸上表示出來，應(yīng)該怎么做的呢？我現(xiàn)在以正方形左下角這一個(gè)頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，它的邊長(zhǎng)1作為單位長(zhǎng)度畫出數(shù)軸，那接下來我們應(yīng)該用什么方法把2放在這個(gè)數(shù)軸上去呢？（抽問）【學(xué)生】以o為圓心，以對(duì)角線為半徑向右邊做弧?！窘處煛亢茫覀兛梢砸栽c(diǎn)為圓心，這個(gè)對(duì)角線的長(zhǎng)度為半徑做弧，去截取。我們來試試看。設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)態(tài)展示,形象而直觀,易于突破思維定式?！窘處煛拷Y(jié)果我們會(huì)在數(shù)軸上截得這樣一個(gè)點(diǎn)，所以這個(gè)點(diǎn)的數(shù)就表示2。我們觀察到它的確是在1到2之間，但范圍還是比較大。如果想要更精確應(yīng)該怎么辦？【學(xué)生】取1.5的平方！【教師】好！有同學(xué)說了取1.5的平方，也就是等于2.25，我們發(fā)現(xiàn)2.25大于2，是不是就說明1.5>2。那現(xiàn)在2就在1和1.5之間了。那繼續(xù)，接下來取多少？【學(xué)生】1.3！【教師】1.3的平方是多少？1.69，它比2小，則1.3<2.那如果取1.4呢？1,4的平方等于1.96，它比2小，說明1.4<2。現(xiàn)在2在1.4和1.5之間了。那能不能再進(jìn)一步精確呢？接下來我繼續(xù)取數(shù)據(jù)，比如我取了1.41，我們進(jìn)一步來看，1.41的平方為1.9881,1.42的平方為2.0165，那說明了什么？【學(xué)生】2在1.41和1.42之間！【教師】那我繼續(xù)往下去取，取了很多。大家觀察取出的這些數(shù)字有沒有規(guī)律？【學(xué)生】沒有！【教師】對(duì)的！1.4大家都一樣，但后面的就沒有規(guī)律了！所以看上去它是無限且不循環(huán)的。把這些數(shù)的平方算出來，最后我們發(fā)現(xiàn)2就夾在了這兩個(gè)數(shù)之間。繼續(xù)往下還可以更精確。但是是不是最后可以取到2這個(gè)數(shù)呢？【學(xué)生】不是！【教師】不是，因?yàn)槿〉氖菬o限不循環(huán)的數(shù)?！窘處煛课覀儾捎昧藘蛇厞A的方法去逐步逼近2，最后越來越接近2，但是沒有到達(dá)。通過剛剛的數(shù)軸作圖呢，我們知道2可以在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上有一個(gè)點(diǎn)與它相對(duì)應(yīng)。通過這個(gè)方法，我們發(fā)現(xiàn)2似乎是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)。【教師】那到底是不是無限不循環(huán)的小數(shù)呢？這就得從2的發(fā)現(xiàn)說起，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”，但其中有個(gè)人叫希伯索斯就發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)，也就是2，不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示。當(dāng)時(shí)他提出這個(gè)觀點(diǎn)以后，據(jù)說就被丟進(jìn)了海里。但后人肯定了這一觀點(diǎn)，也就是2不是有理數(shù)，并給出了進(jìn)一步的證明。我們來看到底是怎樣證明的？設(shè)計(jì)意圖：以歷史文化做背景，切入數(shù)學(xué)問題，從故事的角度平穩(wěn)過渡到數(shù)學(xué)關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生的探究欲望?！窘處煛窟@個(gè)證明我們就用到了反證法，也就是先假設(shè)2是有理數(shù)，那么它就滿足qp這樣的形式，同時(shí)p和q還滿足這樣三個(gè)條件。也就是2=qp，那么兩邊同平方可以得到2=q2p2，則q2

【學(xué)生】偶數(shù)！【教師】對(duì)！所以q2

一定是偶數(shù)，那么q也一定是偶數(shù)了。所以我們可以設(shè)q=2m，化簡(jiǎn)得到p2=2m2，于是p2

一定是偶數(shù)，那么【教師】這句話就講出了無理數(shù)的一個(gè)本質(zhì)，什么是無理數(shù)？就是無限不循環(huán)小數(shù)。剛剛我們知道了無理數(shù)像2它可以在數(shù)軸上進(jìn)行表示出來，數(shù)軸上的某一個(gè)點(diǎn)也可能對(duì)應(yīng)著無理數(shù)。那除了π，2之外，無理數(shù)還有沒別的其他的例子呢？比如【學(xué)生】是！【教師】那√4呢?【學(xué)生】不是！【教師】對(duì)！我們可以用剛剛正方形的例子，如果以4作為邊，這樣的正方形的面積是多少？【學(xué)生】4！【教師】反過來，面積是4的正方形，邊長(zhǎng)為2，所以我們可以得到√4=2?！窘處煛磕乾F(xiàn)在，如果我說帶根號(hào)的就是無理數(shù)，這句話對(duì)嗎？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，從特殊到一般。【學(xué)生】不對(duì)！4就不行！【教師】很好，也就是帶根號(hào)且根號(hào)下的數(shù)不是一個(gè)平方數(shù)這樣的數(shù)才叫做無理數(shù)。已經(jīng)有兩種了，有沒有第三種呢？無理數(shù)的本質(zhì)是：無限不循環(huán)。你能不能舉一個(gè)無限不循環(huán)的例子呢？（抽問）【學(xué)生】1.1010010001（每?jī)蓚€(gè)1之間0的個(gè)數(shù)增加）…【教師】很好，這樣我們也可以人為地編寫出一個(gè)無限不循環(huán)的數(shù)，也可以是無理數(shù)。所以我們就找到了無理數(shù)的三種形式。【教師】再有，我們學(xué)過了有理數(shù)，我們知道有理數(shù)分正負(fù)。那無理數(shù)有沒有正負(fù)呢？有正2，就有-2，只需要把剛剛的作圖反向截取就得到-2。所以我們說無理數(shù)也有正負(fù)之分，比如-??，-0.213214321…那既然有正有負(fù)，我們就把只有符號(hào)不同的兩個(gè)無理數(shù)，成為相反數(shù)，比如+2和-2。其實(shí)無理數(shù)在很多方面與有理數(shù)都有相似的特點(diǎn)，這個(gè)我們也會(huì)會(huì)更清晰?！窘處煛磕乾F(xiàn)在我們把今天學(xué)習(xí)的概念來梳理一下：首先我們復(fù)習(xí)了有理數(shù)，它可以分成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，如果按照符號(hào)來分有理數(shù)分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0.那無理數(shù)如果按照符號(hào)來分，正無理數(shù)，負(fù)無理數(shù)，有零嗎？【學(xué)生】沒有！因?yàn)?是有理數(shù)！【教師】對(duì)的！現(xiàn)在我們把兩部分合在一起，把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。同學(xué)們同樣注意在書本上勾畫。為什么要叫實(shí)數(shù)呢？因?yàn)樗钦鎸?shí)存在的數(shù)，不管是有理數(shù)還是無理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)真實(shí)地表示出來。那接下來我們就來做一些簡(jiǎn)單的練習(xí)。(四)例題練習(xí)應(yīng)用新知【教師】同學(xué)們先思考第一題,他讓你區(qū)分下面這些數(shù),哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?大家在草稿紙上作答。教師巡視學(xué)生作答情況，并簡(jiǎn)要總結(jié)完成情況。【教師】大家完成得很棒！那我們就來一起看看這個(gè)題！題目給出了這些數(shù)，比如第一個(gè)—π，我們前面就提到了，它是有理數(shù)還是無理數(shù)？【學(xué)生】無理數(shù)！【教師】對(duì)的！我們總結(jié)了無理數(shù)的3種常見的形式，其中一個(gè)就是含π的，對(duì)吧？那我們接著看，-4/3是？有理數(shù)。因?yàn)樗菬o限且循環(huán)的數(shù)，也就是-1.33333…。同理，我們知道，0.5?(7)?也是有理數(shù)。而0.101000100000···是無限且不循環(huán)的數(shù)，所以是無理數(shù)。而18.213是？有限小數(shù)，所以它是有理數(shù)。最后一個(gè)√5，帶根號(hào)且根號(hào)下的數(shù)不是一個(gè)平方數(shù)，開不出來，所以它是？無理數(shù)！【教師】通過這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)，判斷有理數(shù)和無理數(shù)，是不是只需要從本質(zhì)下手就可以解決問題？【學(xué)生】對(duì)！【教師】接著我們繼續(xù)來看第二題，它是一個(gè)判斷題，讓你判斷對(duì)錯(cuò)。同樣，大家先思考，可以和同桌進(jìn)行討論，給大家3分鐘的時(shí)間！教師巡視，觀察學(xué)生的討論情況并了解討論結(jié)果，并抽問。【學(xué)生】第一個(gè)錯(cuò)，因?yàn)橛欣頂?shù)有兩種：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù)只是有理數(shù)的一部分。【學(xué)生】第二個(gè)錯(cuò)，剛剛說了帶根號(hào)還要根號(hào)下的數(shù)不是平方數(shù)才可以【學(xué)生】第三個(gè)對(duì)，確實(shí)0的絕對(duì)值最小而且0是實(shí)數(shù)【學(xué)生】最后一個(gè)錯(cuò)，數(shù)軸上的某一個(gè)點(diǎn)也可能是無理數(shù)。【教