34/34基本不等式題型1基本不等式求積的最大值（重點）題型7條件等式變形求最值（難點）題型2基本不等式求和的最小值（重點）題型8基本不等式鏈的應(yīng)用題型3基本不等式“1”的妙用求最值（重點）題型9利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍（重點）題型4二次與二次(或一次)的商式的最值題型10利用基本不等式證明不等式題型5換元法求最值（?？键c）（難點）題型11基本不等式的實際應(yīng)用（常考點）題型6兩次應(yīng)用基本不等式求最值（難點）題型12權(quán)方和不等式（拓展）（重點）題型一基本不等式求積的最大值（共5小題）1．（24-25高一上·四川德陽·期中）若實數(shù)，，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由基本不等式進行求解即可.【詳解】，，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故選：C2．（24-25高一上·陜西漢中·期末）若，且，則（

）A．有最小值為 B．有最大值為C．有最小值為 D．有最大值為【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解得.故選：D.3．（24-25高一上·山西·期中）已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由，然后利用基本不等式求最大值．【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以的最大值為1.故選：C.4．（24-25高一上·海南省直轄縣級單位·期中）若，則的最大值為．【答案】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最大值為.故答案為：.5．（24-25高一上·上?！て谥校┰O(shè)，若，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式直接求解即可.【詳解】解：因為，，所以根據(jù)基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為故答案為：題型二基本不等式求和的最小值（共3小題）6．（24-25高一上·河南鄭州·期中）若，則（

）A．有最小值5 B．有最大值5 C．有最小值4 D．有最大值4【答案】A【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為，故選：A.7．（24-25高一上·天津和平·期末）若且，則的最大值為（

）A． B．0 C．2 D．8【答案】B【分析】利用不等式的基本條件“一正，二定，三相等”，對式子配湊完再提個負(fù)號即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：或（舍），即當(dāng)時，等號成立.故選：B8．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將原式化為，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：A.9．（24-25高一上·陜西漢中·期中）函數(shù)在上的最小值是．【答案】2【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】因為，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；故答案為：.10．（24-25高一上·天津?qū)幒印て谥校┮阎?，則的最小值為.【答案】4【分析】直接運用基本不等式：求解即可.【詳解】∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，的最小值為.故答案為：.題型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小題）11．（24-25高一上·浙江溫州·期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)，展開根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：B12．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且滿足，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為知、，且滿足，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.13．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，則的最小值為（

）．A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因為，，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故選：A14．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．9【答案】B【分析】利用乘“1”法即可求出最值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：B.15．（23-24高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知實數(shù)x滿足，則的最小值為（

）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】C【分析】利用，結(jié)合基本不等式求和的最小值.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：C16．（24-25高一上·山東濟寧·期中）已知，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】變形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為4.故選：D17．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】利用“1”的妙用結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，因此所求最小值為，故選：B.18．（24-25高一上·浙江紹興·期中）已知實數(shù)，則的最小值是.【答案】【分析】表示，再利用的代換解出最小值即可.【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，則的最小值是.故答案為：19．（24-25高一上·吉林長春·期末）已知，，，則的最小值為.【答案】【分析】法一：由題意可得，則，又，則，化簡后借助基本不等式計算即可得；法二：由題意可得，再借助權(quán)方和不等式計算即可得.【詳解】法一：借助基本不等式“1”的活用：由，，，則，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即、時，等號成立.法二：借助權(quán)方和不等式：由，，，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：.20．（24-25高一上·四川瀘州·期中）若正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】正數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：題型四二次與二次(或一次)的商式的最值（共5小題）21．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知，則的最小值為.【答案】16【分析】將目標(biāo)式化為，結(jié)合及二次函數(shù)性質(zhì)求最大值即可.【詳解】由，則，而，故當(dāng)時，目標(biāo)式最小值為16.故答案為：1622．（22-23高一上·上海浦東新·期中）函數(shù)的值域是．【答案】【分析】分三種情況討論，運用基本不等式求值域.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)，.若時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，即.若時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，即.綜上所述，函數(shù)的值域為.故答案為：23．（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實數(shù)，則的最大值為．【答案】【分析】化簡整理后，將看成一個整理，利用基本不等式求最值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時，等號成立.故答案為：24．（24-25高一上·甘肅蘭州·期中）求解下列各題：(1)求的最大值.(2)求的最小值.(3)已知，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將函數(shù)解析式化為，利用基本不等式可求得該函數(shù)的最大值；（2）將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得該函數(shù)的最小值；（3）由已知條件可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，函數(shù)的最大值為.（2）當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.（3）因為，且，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，因為恒成立，則，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.25．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并寫出取得最小值時的值.（2）若，求函數(shù)的最小值，并寫出取得最小值時的值.【答案】（1）4，

（2）6，【分析】（1）根據(jù)基本不等式求解即可；（2）將函數(shù)化成的形式，然后用基本不等式求解即可.【詳解】（1）因，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故當(dāng)時，的最小值為4；

（2）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故當(dāng)時，的最小值為6.題型五換元法求最值（共4小題）26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知實數(shù)、滿足，則的最小值為．【答案】【分析】依題意可得，令，，則，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式計算可得.【詳解】因為實數(shù)，滿足，化為，令，，則．聯(lián)立可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.27．（24-25高一上·浙江·期中）設(shè)，則的最大值為.【答案】【分析】利用已知條件化簡，再根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化后根據(jù)基本不等式解答即可.【詳解】，，令又，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,,在上單調(diào)遞減，時，的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了換元法和基本不等式的知識點，通過“對勾函數(shù)”求解最值.28．（24-25高一上·重慶·期中）若正實數(shù)，滿足，則的最小值是.【答案】4【分析】設(shè)，得到，假設(shè)得到矛盾，即有，結(jié)合且，將目標(biāo)式化為，最后應(yīng)用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)，則，即，若，則，而，僅當(dāng)時等號成立，所以，顯然與矛盾，所以，由上，由，即，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，，即，時，目標(biāo)式最小值為4.故答案為：4【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用換元法，結(jié)合基本不等式得到，再由將目標(biāo)式整理只為含的表達式為關(guān)鍵.29．（24-25高一上·廣東江門·期中）已知，（1）若，都是正數(shù)，且，則的最小值為；（2）若，則的最大值為.【答案】9【分析】（1）直接由基本不等式得，再將看成一個整體解一元二次不等式即可.（2）方法一：首先根據(jù)得，通分后將代入，再利用判別式法求最值即可；方法二：設(shè)，，代入化簡可得，利用分離常數(shù)法與基本不等式求解即可.【詳解】（1），為正數(shù)，且，，，.（2）方法一：因為，所以，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，從而，令，設(shè)，顯然，則，因為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，所以，整理得，即，解得，注意到，從而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以經(jīng)檢驗的最大值，即的最大值為.方法二：設(shè)，，則.故答案為：.【點睛】常見的求最值的方法有：觀察法(圖象法)、配方法、基本不等式法、分離常數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性求最值、判別式法等.題型六兩次應(yīng)用基本不等式求最值（共4小題）30．（22-23高一上·重慶九龍坡·期中）已知，，是正實數(shù)，且，則最小值為.【答案】【分析】首先變形為，再根據(jù)，變形為，展開后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.【詳解】由題，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等.故答案為：31．（22-23高二下·重慶渝中·期末）對任意的正實數(shù)a，b，c，滿足，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)條件，得到，利用基本不等式得到，再通過構(gòu)造，二次運用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點晴：解答本題的關(guān)鍵在于，利用條件將變形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出結(jié)果.32．（24-25高一上·重慶·期中）已知正實數(shù)、、滿足，則的最小值為，的最小值為.【答案】；/【分析】根據(jù)基本不等式中常值代換法可得第一空；利用兩次基本不等式計算即可.【詳解】因為，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值；易知，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€不等號可取等號，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)诙€不等號可取等號.故答案為：；.【點睛】思路點睛：對于第一空可用常值代換即靈活運用“1”構(gòu)造乘積為定值計算；對于第二空觀察式子結(jié)構(gòu)，靈活運用“1”構(gòu)造齊次式，兩次使用基本不等式計算即可，需注意等號成立的情況.33．（24-25高一上·山東威海·期中）已知實數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】8【分析】由，得即為，變形后兩次運用基本不等式即可求解【詳解】因為，所以，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立所以的最小值為8.故答案為：8.題型七條件等式變形求最值（共7小題）34．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知都是正實數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件得，通過配湊變形，利用基本不等式求的最小值.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，所以的最小值為.故選：C.35．（24-25高一上·湖北·期中）設(shè)正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值.【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立．故選：B．36．（24-25高一上·安徽合肥·期中）（多選）若實數(shù)a，b滿足則下列說法正確的為（

）A．當(dāng)時，最大值為 B．當(dāng)時，最小值為C．當(dāng)時，有最大值 D．當(dāng)時，最小值【答案】ABD【分析】對于A，B，D利用重要不等式判斷即可；對于C，運用“萬能k法”判斷方程是否有解即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，有最大值，最大值為18，選項A正確；對于B，當(dāng)時，，則，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時時有最小值，最小值為，選項B正確；對于C，當(dāng)時，，設(shè)，則化為，即，因為關(guān)于的方程有解，所以，解得，所以沒有最大值，選項C錯誤；對于D，當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，有最小值，最小值為，選項D正確．故選：ABD．37．（22-23高一上·浙江湖州·階段練習(xí)）（多選）已知，為正實數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】A，利用變形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式變形為，利用基本不等式求解即可.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值，對,，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時取得最小值，B錯因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解不等式得，故的最大值為，C對，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，此時取得最小值，D正確故選：ACD.38．（24-25高一上·重慶·期中）若滿足，則的最大值是，的最小值是.【答案】2【分析】將等式變形后運用基本不等式即可求得最值.【詳解】因，由，可得，即得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取等號，即當(dāng)或時，的最大值是；因，，即得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取等號，即當(dāng)或時，的最小值是.故答案為：2；.39．（24-25高一上·河南·期中）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式得到，然后解不等式即可.【詳解】由基本不等式可得，所以，解二次不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．即的最大值為.故答案為：．40．（23-24高一上·陜西西安·期末）已知，，，且，則m的最小值為.【答案】9【分析】將所給條件式變形，結(jié)合基本不等式得關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】由，得，即.因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，令，則，解得或（舍去），即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故的最小值是9.故答案為：9．題型八基本不等式鏈的應(yīng)用（共3小題）41．（24-25高一上·四川遂寧·期中）已知，，則，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式，先比較與，然后比較與，再比較與，由此確定出正確選項.【詳解】因為，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則.故選：A.42．（22-23高一上·河北邯鄲·期末）（多選）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)作差法結(jié)合條件可判斷AB，利用基本不等式可判斷CD.【詳解】，且，所以，即，故A錯誤，B正確；所以，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.十六、解8答題43．（24-25高一上·陜西寶雞·階段練習(xí)）均值不等式可以推廣成均值不等式鏈，在不等式的證明和求最值中有著廣泛的應(yīng)用，具體為：．(1)上面給出的均值不等式鏈?zhǔn)嵌问?，其中指的是兩個正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算數(shù)平均數(shù)，類比這個不等式給出對應(yīng)的三元形式，即三個正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算數(shù)平均數(shù)（無需證明）；(2)若一個直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊，求直角三角形周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過類比寫出三元形式.（2）根據(jù)基本不等式求得的范圍，進而求得三角形周長的取值范圍.【詳解】（1）由類比可得出:三元形式：.證明：要證即證，，，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（2），由（1），當(dāng)且僅當(dāng)取“”，又，，所以三角形周長的取值范圍.題型九利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍（共5小題）44．（24-25高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知實數(shù)，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，進而轉(zhuǎn)化問題為，解不等式即可求解.【詳解】由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，要使恒成立，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.45．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因為，，且，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，時，所以的最小值為，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.46．（24-25高一上·四川達州·期中）已知，，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【分析】將不等式變形為，利用基本不等式即可得出答案．【詳解】，，則，不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即實數(shù)m的最大值為.故選：B.47．（24-25高一上·天津濱海新·期中）已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求不等式左側(cè)的最小值，根據(jù)不等式恒成立只需右側(cè)小于左側(cè)的最小值，應(yīng)用基本不等式求左側(cè)最小值，再解一元二次不等式求范圍.【詳解】由，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故原不等式最小值為8，由于題設(shè)不等式恒成立，則，即，所以.故答案為：48．（24-25高一上·山東臨沂·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為或.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)且滿足時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由不等式解的結(jié)構(gòu)特征可得且和是方程的兩個根即可由根與系數(shù)的關(guān)系求解.（2）先由（1）結(jié)合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解該不等式即可得解.【詳解】（1）由題可知，且和是方程的兩個根，所以，此時原不等式為即，該不等式解集為或，符合，所以.（2）由（1）得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以有最小值為8.因為恒成立，所以即，解方程得或，所以不等式的解集為.所以滿足題意的實數(shù)的取值范圍為.題型十利用基本不等式證明不等式（共3小題）49．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求證：；（2）已知正數(shù)x、y滿足，求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）運用作差比較法作差通分整理后即可證明；（2）利用常值代換法和基本不等式即可求得的最小值，從而得證.【詳解】（1）由，因，則，，故，即得，故得證；（2）因正數(shù)x、y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由解得：，即當(dāng)，時等號成立，故得證.50．（24-25高一上·福建寧德·期中）（1）已知，，且，求的最大值；（2）證明：、、，.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最大值；（2）利用基本不等式可證得所求不等式成立.【詳解】（1）因為，，且，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最大值為；（2）因為、、都是正數(shù)，由基本不等式可得，，，由不等式的基本性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故.51．（24-25高一上·山西·期中）設(shè)，均為正數(shù)，且.(1)求的最小值；(2)證明：，【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用基本不等式放縮求解；（2）把不等式右邊的式子變形為，再利用“1”的代換，湊出積為定值，從而求得最小值．【詳解】（1），均為正數(shù)，且，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），的最小值為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故不等式.題型十一基本不等式的實際應(yīng)用（共5小題）52．（23-24高一上·安徽黃山·期末）我國古代著名數(shù)學(xué)巨著《周髀算經(jīng)》記載著周朝時期的商高與周公的對話，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后來古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．若一個直角三角形的斜邊長等于，則這個直角三角形周長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)這個直角三角形的兩條直角邊長分別為、，利用勾股定理和基本不等式可求得的最大值，由此可得出該直角三角形周長的最大值.【詳解】設(shè)這個直角三角形的兩條直角邊長分別為、，由勾股定理可得，由基本不等式可得，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此這個直角三角形周長的最大值為.故選：C.53．（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長，則能圍成的菜園面積的最大值為.【答案】【分析】設(shè)矩形菜園的長為，寬為，得到，得到圍成的菜園的面積，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)矩形菜園的長為，寬為，可得，則圍成的菜園的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以圍成菜園的最大面積為.故答案為：.54．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元．如果墻高為3m，且不計房屋背面和地面的費用，那么房屋的總造價最低為元．【答案】【分析】求出房屋的總造價，利用基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)房屋底面一邊長為m，則另一邊長為m，所以房屋的總造價為，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故答案為：.55．（23-24高一上·北京懷柔·期末）某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測算，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系式為y=ax2+3000，且當(dāng)年產(chǎn)量是100噸時，總成本為6000萬元．平均成本=．(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個最低成本；(2)若企業(yè)每噸產(chǎn)品的出廠價為90萬元，當(dāng)年利潤不少于3000萬元時，則該生產(chǎn)線年產(chǎn)量的最小值應(yīng)為多少噸？（利潤=銷售額-成本）【答案】(1)100噸，60萬元(2)100噸【分析】（1）由題意可知，當(dāng)x=100時，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可；（2）由題意可知，年利潤，令，求出x的取值范圍即可．【詳解】（1）當(dāng)年產(chǎn)量是100噸時，總成本為6000萬元，所以，解得，所以，所以生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=100，所以當(dāng)年產(chǎn)量為100噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，最低成本為60萬元；（2）由題意可知，年利潤，令，得，解得：，所以該生產(chǎn)線年產(chǎn)量的最小值應(yīng)為100噸．56．（23-24高一上·廣東廣州·期末）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.設(shè)箱體的長度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當(dāng)，各為多少米時，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.【答案】米，米；立方米【分析】根據(jù)面積列出方程，據(jù)此條件利用均值不等式解出的范圍即可得解.【詳解】由題意，，即，，所以，