專題15平行四邊形中的最值問題8個解題思路（原卷版）專題解讀：平行四邊形中的最值問題是八年級下冊的壓軸題，也是中考最?？嫉念}型。本專題精心選擇了最新最好的最值問題，并為孩子們提供了8個解題思路，可以有效地突破這個難點，歡迎下載使用。思路一一個動點，求兩條線段的和，作一個對稱點1．（2023春?蔡甸區(qū)期中）如圖，點E是線段BC上的一個動點，AB+DC=22，BC=4，且∠B＝∠C＝135°，則AE+DE的最小值是2．（2022春?永昌縣期中）如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為6，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D在OA上，且D的坐標為（2，0），P是OB上的一動點，試求PD+PA和的最小值是（）A．6 B．10 C．210 D．4103．（2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，正方形ABCD的面積為9，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．8 B．2 C．3 D．4思路二兩個動點，求幾條線段的和，作兩個對稱點4．如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．5．（2023?蒼溪縣一模）如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE＝1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是（）A．34 B．92 C．45思路三兩個動點，求兩條線段的和，作一個對稱點，結(jié)合垂線段最短6．（2023春?廈門期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．23 D．43思路四兩個動點，主從聯(lián)動，找動點軌跡，根據(jù)垂線段最短7．（2023秋?長沙期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），點C是y軸上的動點，線段CA繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至線段CB，連接BO，則BO的最小值是．8．（2022春?靖江市期末）如圖，線段AB的長為10，點D在AB上，△ACD是邊長為3的等邊三角形，過點D作與CD垂直的射線DP，過DP上一動點G（不與D重合）作矩形CDGH，記矩形CDGH的對角線交點為O，連接OB，則線段BO的最小值為．9．（2022春?香洲區(qū)期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，動點E在BC邊上，以AE為直角邊向上作正方形AEFG，連接DF，則E在運動過程中DF最小值為（）A．2 B．22 C．32 10．（2023?天山區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝33，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為．思路五兩個動點，求一條線段的最小值，利用等量代換，根據(jù)垂線段最短11．（2023?新野縣一模）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分別是邊CD，BC上的動點，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點，連接GH．若GH的最小值為3，則BC的長為．12．（2023?雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動點，作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為．13．（2022秋?惠濟區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，點D在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）A．3 B．6 C．8 D．1014．（2022春?公安縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為對角線AC上一動點，∠EDP＝90°，DE＝DP，當點E從點A運動到點C的過程中，△EPC的周長的最小值為（）A．22+2 B．42 C．3215．（2021?雁塔區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為．16．（2023春?上蔡縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在射線BC上，且四邊形DEFG是正方形，連接CG．（1）求證：AE＝CG．（2）∠ACG＝；（3）若AB＝22，當點E在AC上移動時，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．

17．（2022?市北區(qū)二模）如圖，已知AB＝22，C為線段AB上的一個動點，分別以AC，CB為邊在AB的同側(cè)作菱形ACED和菱形CBGF，點C，E，F(xiàn)在一條直線上，∠D＝120°．P、Q分別是對角線AE，BF的中點，當點C在線段AB上移動時，點P，Q之間的距離最短為（結(jié)果保留根號）．思路六構(gòu)造全等，利用三邊關(guān)系求最值18．（2023?陵城區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F(xiàn)分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．19．（2021?濱州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若點P是△ABC內(nèi)一點，則PA+PB+PC的最小值為．思路七胡不歸問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題20．（2021?羅湖區(qū)模擬）如圖，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則PB+32A．3 B．3 C．33 D．2+23

思路八造橋選址模型（將軍遛馬）轉(zhuǎn)化為將軍飲馬模型21．（2023春?鳳陽縣期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF＝1，則GE+CF的最小值為（）A．4 B．5 C．32 D．專題15平行四邊形中的最值問題8個解題思路（解析版）專題解讀：平行四邊形中的最值問題是八年級下冊的壓軸題，也是中考最?？嫉念}型。本專題精心選擇了最新最好的最值問題，并為孩子們提供了8個解題思路，可以有效地突破這個難點，歡迎下載使用。思路一一個動點，求兩條線段的和，作一個對稱點1．（2023春?蔡甸區(qū)期中）如圖，點E是線段BC上的一個動點，AB+DC=22，BC=4，且∠B＝∠C＝135°，則AE+DE的最小值是210【分析】作點A關(guān)于線段BC的對稱點F，連接BF，DF，DF交BC于點O，連接AO，過點F作FH∥BC，交DC的延長線于點H，過點D作DG⊥HF，交FH的延長線于點G，由題意易得∠FBC＝∠DCB＝135°，則有BF∥CH，然后可得四邊形BFHC是平行四邊形，進而可得FH＝4，推出DH=22，勾股定理求出FD【解答】解：作點A關(guān)于線段BC的對稱點F，連接BF，DF，DF交BC于點O，連接AO，過點F作FH∥BC，交DC的延長線于點H，過點D作DG⊥HF，交FH的延長線于點G，如圖所示：由軸對稱的性質(zhì)可知：∠ABC＝∠FBC＝135°＝∠DCB，AO＝FO，AB＝BF，∴BF∥CH，∵FH∥BC，∴四邊形BFHC是平行四邊形，∴FH＝BC＝4，BF＝CH＝AB，∵AB+DC=22∴CH+CD=DH=22當點E與點O重合時，則AE+DE的最小值即為FD的長，∵FH∥BC，∴∠FHC＝∠DCB＝135°，∴∠DHG＝45°，∵DG⊥HF，∴∠DGH＝90°，∴∠HDG＝45°＝∠DHG，∴GH＝GD，∴DH=G∴GH=DG=2∴FG＝FH+GH＝6，∴FD=F∴即AE+DE的最小值為210故答案為：210【點評】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?永昌縣校級期中）如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為6，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D在OA上，且D的坐標為（2，0），P是OB上的一動點，試求PD+PA和的最小值是（）A．6 B．10 C．210 D．410【分析】由正方形的性質(zhì)可得，點A，C關(guān)于OB對稱，連接CD，交OB于點Q，連接AQ，則當點P與點Q重合時，PD+PA最小，最小值即為CD的長，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：∵四邊形OABC為正方形，∴點A，C關(guān)于OB對稱，連接CD，交OB于點Q，連接AQ，當點P與點Q重合時，PD+PA最小，最小值為QD+QA＝QD+QC＝CD，∵D的坐標為（2，0），∴OD＝2，∵正方形OABC的邊長為6，∴OC＝6，∴CD=6故選：C．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題、正方形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，正方形ABCD的面積為9，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．8 B．2 C．3 D．4【分析】作點E關(guān)于AC的對稱點E'，連接DE'，則PD+PE的和最小即為DE'的長；證明△ADE'是等邊三角形，即可求解；【解答】解：作點E關(guān)于AC的對稱點E'，連接DE'，則PD+PE的和最小即為DE'的長；由對稱性可知：AE＝AE'，∵△ABE是等邊三角形，∴AE'＝AD，∵∠EAB＝60°，∠CAB＝45°，∴∠EAE'＝30°，∠DAE＝30°，∴△ADE'是等邊三角形，∵正方形ABCD的面積為9，∴AD＝3，∴DE'＝3，故選：C．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，最短距離；掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，利用對稱性求最短距離是解題的關(guān)鍵．思路二兩個動點，求幾條線段的和，作兩個對稱點4．如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是34．【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可．【解答】解：作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′=5故答案為：34．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023?蒼溪縣一模）如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE＝1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是（）A．34 B．92 C．45【分析】作E關(guān)于BC的對稱點E'，點A關(guān)于DC的對稱點A'，連接A'E'，四邊形AEPQ的周長最小，根據(jù)S四邊形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S△BEP，即可解．【解答】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對稱點E'，點A關(guān)于DC的對稱點A'，連接A'E'，四邊形AEPQ的周長最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE'＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∵DQ∥AE，D是AA'的中點，∴DQ是△AA'E'的中位線，∴DQ=12AE′=2，CQ＝DC∵BP∥AE′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴BPAA′=BE′∴BP=32，S四邊形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S△BEP＝9?12AD?DQ?12CQ?CP=9?1=9故選：B．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形AEPQ的周長最小時，P、Q的位置．思路三兩個動點，求兩條線段的和，作一個對稱點，結(jié)合垂線段最短6．（2023春?廈門期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．23 D．43【分析】取BC的中點G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點B關(guān)于AC的對稱點F，連接CF，作FE⊥BC于E，則FE的長即為PB+PQ的最小值，【解答】解：取BC的中點G，連接AG．∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點B關(guān)于AC的對稱點F，連接CF，作FE⊥BC于E，∵CF＝CB，∠CBF＝60°，∴△BCF是等邊三角形，∵PB＝PF，∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE，則EF的長即為PB+PQ的最小值（垂線段最短），∵EF=32×∴BP+PQ的最小值為23．故選：C．【點評】本題考查軸對稱﹣最短問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用對稱，根據(jù)垂線段最短解決最值問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．思路四兩個動點，主從聯(lián)動，找動點軌跡，根據(jù)垂線段最短7．（2023秋?長沙期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），點C是y軸上的動點，線段CA繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至線段CB，連接BO，則BO的最小值是22【分析】設C（0，m），過點B作BH⊥y軸，垂足為點H，證明△AOC≌△CHB（AAS），推出HC＝OA，HB＝OC，可得點B的坐標為（m，m+1），推出點B的運動軌跡是直線y＝x+1，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．【解答】解：設C（0，m），過點B作BH⊥y軸，垂足為點H，∴∠BHC＝90°，∴∠HCB+∠B＝90°，∵線段CA繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段CB，∴∠BAC＝90°，CB＝CA，∴∠HCB+∠ACO＝90°，∴∠B＝∠ACO，∵∠AOC＝90°，∴△AOC≌△CHB（AAS），∴HC＝OA，HB＝OC，∵點C（0，m），點A（1，0），∴點B的坐標為（m，m+1），∴點B的運動軌跡是直線y＝x+1，∵直線y＝x+1交x軸于E（﹣1，0），交y軸于F（0，1），∴OE＝OF＝1，EF=2過點O作OT⊥EF于T．則OT=12EF根據(jù)垂線段最短可知，當點B與點T重合時，OB的值最小，最小值為22故答案為：22【點評】本題考查坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點B的運動軌跡，屬于中考?？碱}型．8．（2022春?靖江市校級期末）如圖，線段AB的長為10，點D在AB上，△ACD是邊長為3的等邊三角形，過點D作與CD垂直的射線DP，過DP上一動點G（不與D重合）作矩形CDGH，記矩形CDGH的對角線交點為O，連接OB，則線段BO的最小值為5．【分析】連接AO，根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：OC＝OD，再證明△ACO≌△ADO，則∠OAB＝30°；點O一定在∠CAB的平分線上運動，根據(jù)垂線段最短得：當OB⊥AO時，OB的長最小，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論．【解答】解：連接AO，∵四邊形CDGH是矩形，∴CG＝DH，OC=12CG，OD=∴OC＝OD，∵△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，在△ACO和△ADO中，AC=ADAO=AO∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠OAB＝∠CAO＝30°，∴點O一定在∠CAB的平分線上運動，∴當OB⊥AO時，OB的長度最小，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴OB=12AB即OB的最小值為5．故答案為：5．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，利用了矩形對角線相等且平分的性質(zhì)得對角線的一半相等，為三角形全等用鋪墊；另外還利用了垂線段最短解決了求最值問題．9．（2022春?香洲區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，動點E在BC邊上，以AE為直角邊向上作正方形AEFG，連接DF，則E在運動過程中DF最小值為（）A．2 B．22 C．32 【分析】過點F作FH⊥BC，交BC的延長線于點H，根據(jù)題意，首先證出△ABE≌△EHF，得到FH﹣BE，EH＝AB＝BC，進而證出△CHF為等腰直角三角形，得到∠FCH=45°=12∠DCH，當E在BC上移動時，F(xiàn)點在∠DCH的角平分線上移動，當DF⊥CF時，DF最短．再證得△DFC為等腰直角三角形，解這個直角三角形得DC2＝2DF2【解答】解：過點F作FH⊥BC，交BC的延長線于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，∴∠AEB+∠EAB＝90°，∵四邊形AEFG是正方形，∴∠AEF＝90°，AE＝EF，∵∠AEB+∠AEF+∠FEH＝180°，∴∠AEB+∠FEH＝90°，∴∠EAB＝∠FEH，∵FH⊥BC，∴∠FHE＝∠B＝90°，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴EH﹣CE＝BC﹣CE，∴CH＝BE，∴△CHF為等腰直角三角形，∴∠FCH＝45°，∵∠DCH＝90°，∴∠FCH=45°=1∴當E在BC上移動時，F(xiàn)點在∠DCH的角平分線上移動，∴當DF⊥CF時，DF最短，∵∠DCF＝45°，∴△DFC為等腰直角三角形，∴DF＝FC，∴DF2+FC2＝DC2，∴DC2＝2DF2，∵AB＝4，AB＝DC，∴DF=2故選：B．【點評】本題主要考查的是線段的最小值的問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握各種圖形的性質(zhì)與判定，確定點的運動軌跡是解本題的關(guān)鍵．10．（2023?天山區(qū)校級三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝33，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為32【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點E，過點D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出點Q在射線FE上運動，求出DH，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點E，過點D作DH⊥QE于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等邊三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，BA=FA∠BAP=∠FAQ∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，又∵AB＝AF＝3，∴AF=3EF，AE＝2EF∴EF=3，AE＝23∴點Q在射線FE上運動，∵AD＝BC＝33，∴DE＝AD﹣AE=3∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴EH=12DE=32，DH根據(jù)垂線段最短可知，當點Q與H重合時，DQ的值最小，最小值為32故答案為：32【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點Q的在射線FE上運動，屬于中考填空題中的壓軸題．思路五兩個動點，求一條線段的最小值，利用等量代換，根據(jù)垂線段最短11．（2023?新野縣一模）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分別是邊CD，BC上的動點，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點，連接GH．若GH的最小值為3，則BC的長為62【分析】連接AF，利用中位線的性質(zhì)GH=12AF，要使GH最小，只要AF最小，當AF⊥BC時，AF最小為6，由∠B＝45°確定△ABF為等腰直角三角形，得出AF＝BF＝6，由勾股定理得：AB2＝BF2+AF2【解答】解：連接AF，∵G，H分別為AE，EF的中點，∴GH∥AF，且GH=1要使GH最小，只要AF最小，當AF⊥BC時，AF最小，∵GH的最小值為3，∴AF＝6，∵∠B＝45°，∴∠BAF＝45°，∴BF＝AF＝6，∴AB=A∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=AB=62故答案為：62【點評】本題考查動點圖形中的中位線，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理應用問題，掌握中位線的性質(zhì)，菱形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2023?雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動點，作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為32．【分析】連接CP，由勾股定理求出AB的長，再證四邊形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出CP的長，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB=AC2∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四邊形CDPE是矩形，∴DE＝CP，由垂線段最短可得，當CP⊥AB時，線段DE的值最小，此時，AP＝BP，∴CP=12AB＝3∴DE的最小值為32，故答案為：32．【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?惠濟區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，點D在BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．【解答】解：平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最?。逴D⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，∴AB=A又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=12∴DE＝2OD＝3．故選：A．【點評】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，正確理解DE最小的條件是關(guān)鍵．14．（2022春?公安縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為對角線AC上一動點，∠EDP＝90°，DE＝DP，當點E從點A運動到點C的過程中，△EPC的周長的最小值為（）A．22+2 B．42 C．32【分析】先證得△ADE≌△CDP（SAS），得出AE＝CP，E為的對角線AC上一動點，點E從點A運動到點C的過程中，當DE⊥AC時，△EPC的周長有最小值，由等腰直角三角形性質(zhì)可得DE的最小值為2，即可求得答案．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為2，∴AD＝CD＝2，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴AC=AD2∵△DEP中，∠EDP＝∠CDP+∠EDC＝90°，DE＝DP，∴∠ADE＝∠CDP，在△ADE和△CDP中，AD=CD∠ADE=∠CDP∴△ADE≌△CDP（SAS），∴AE＝CP，∴CE+CP＝CE+AE＝AC∵E為的對角線AC上一動點，點E從點A運動到點C的過程中，當DE⊥AC時，△EPC的周長有最小值，又∵AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，∴DE=12AC=2=又∵△DEP中，∠EDP＝90°，DE＝DP，∴EP=D∴△EPC的周長的最小值＝EP+CE+CP＝EP+AE+CE＝2+AC＝2+22．故選：A．【點評】此題考查正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角以及正方形的對稱性質(zhì)，還考查了勾股定理的計算．依據(jù)點到直線的距離垂線段最短，可得當DE⊥AC時，DE最小，即△CEP的周長最小，這是解題的關(guān)鍵．15．（2021?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為6．【分析】過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，證明BF＝CK，則AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．【解答】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=3在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH=3∴AC=A∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDK∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當直線l⊥AC時，最大值為6，綜上所述，AE+BF的最大值為6，故答案為：6．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．16．（2023春?上蔡縣期末）如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在射線BC上，且四邊形DEFG是正方形，連接CG．（1）求證：AE＝CG．（2）∠ACG＝90°；（3）若AB＝22，當點E在AC上移動時，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，進而得出∠ADE＝∠CDG，判斷出△ADE≌△CDG，即可得出結(jié)論；（2）先求出∠DAC＝∠DCA＝45°，再判斷出∠DAE＝∠DCG，即可求出答案；（3）先得出CG2+CE2＝EG2，進而得出EG2＝AE2+CE2，即可判斷出AE2+CE2＝2DE2，進而得出當DE⊥AC時，DE最小，此時，AE2+CE2最小，最后根據(jù)勾股定理即可求出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG；（2）解：∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，由（1）知，△ADE≌△CDG，∴∠DAE＝∠DCG，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠DAE＝45°+45°＝90°，故答案為：90°；（3）解：如圖，連接EG，由（2）知，∠ACG＝90°，根據(jù)勾股定理得，CG2+CE2＝EG2，由（1）知，AE＝CG，∴EG2＝AE2+CE2，∵四邊形DEFG是正方形，∴DE＝DG，∠EDG＝90°，∴EG2＝2DE2，∴AE2+CE2＝2DE2，∵點E是正方形ABCD的對角線上的點，∴當DE⊥AC時，DE最小，此時，AE2+CE2最小，如圖2，在Rt△ABC中，BC＝AB＝22，根據(jù)勾股定理得，AC＝4，在Rt△ADC中，DE=12∴AE2+CE2的最小值為2DE2＝2×22＝8．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出DE⊥AC時，AE2+DE2最小是解（3）的關(guān)鍵．17．（2022?市北區(qū)校級二模）如圖，已知AB＝22，C為線段AB上的一個動點，分別以AC，CB為邊在AB的同側(cè)作菱形ACED和菱形CBGF，點C，E，F(xiàn)在一條直線上，∠D＝120°．P、Q分別是對角線AE，BF的中點，當點C在線段AB上移動時，點P，Q之間的距離最短為62【分析】連接QC、PC．首先證明∠PCQ＝90°，設AC＝2a，則BC＝22?2a，PC＝a，CQ=3（【解答】解：連接PC、CQ．∵四邊形ACED，四邊形CBGF是菱形，∠D＝120°，∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°，∵P，Q分別是對角線AE，BF的中點，∴∠ECP=12∠ACE，∠FCQ=1∴∠PCQ＝90°，設AC＝2a，則BC＝22?2a，PC＝a，CQ=32BC=∴PQ=P∴當a=324時，點P，Q解法二：連接CD、CG、DG，構(gòu)造中位線解決，當DG與AD或BG垂直時，取最值．故答案為：62【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題．思路六構(gòu)造全等，利用三邊關(guān)系求最值18．（2023?陵城區(qū)校級一模）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F(xiàn)分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為42【分析】如圖，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，連接ET，AT．證明△ADF≌△TBE（SAS），推出AF＝ET，AE+AF＝AE+ET，根據(jù)AE+ET≥AT求解即可．【解答】解：如圖，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，連接ET，AT．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF=12∠∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT=A∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥42∴AE+AF的最小值為42故答案為42【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．19．（2021?濱州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若點P是△ABC內(nèi)一點，則PA+PB+PC的最小值為7．【分析】根據(jù)題意，首先以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的