專題01二次根式（考題猜想，壓軸大題5個(gè)考點(diǎn)40題專練）二次根式的性質(zhì)與化簡分母有理化二次根式的混合運(yùn)算二次根式的化簡求值二次根式的應(yīng)用一．二次根式的性質(zhì)與化簡（共12小題）1．（2023?舟山一模）觀察下列各式：①，②；③，（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個(gè)等式：；（2）請用含的式子寫出你猜想的規(guī)律：；（3）請證明（2）中的結(jié)論．2．（2022春?蓬江區(qū)校級(jí)月考）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡：；（8）已知為常數(shù)，點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．3．（2021春?安徽期末）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個(gè)數(shù)、，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：（1）；（2）．4．（2021春?朝陽區(qū)校級(jí)期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡：；（3）已知為常數(shù)，點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．5．（2022秋?吉安縣期末）先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)、使，，這樣，，那么便有例如：化簡解：首先把化為，這里，；由于，，即，，由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．6．（2022秋?市中區(qū)期末）觀察下列各式：請你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：（1）（2）請你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫出用為正整數(shù)）表示的等式：；（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：（仿照上式寫出過程）7．（2023春?蕪湖期末）觀察下列各式：；；，請你根據(jù)以上三個(gè)等式提供的信息解答下列問題①猜想：；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個(gè)用為正整數(shù)）表示的等式：；③應(yīng)用：計(jì)算．8．（2023春?太原期中）觀察下列各式并按規(guī)律填空：；；（1），．（2）按此規(guī)律第個(gè)式子可以表示為．（3）并說明上面式子成立的理由．（請寫出推導(dǎo)過程）9．（2022春?杭錦后旗期中）像，這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：．再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：（1）化簡：；（2）化簡：；（3）若，且，，為正整數(shù)，求的值．10．（2021秋?沿河縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個(gè)數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．化簡：．．．請你仿照上例將下列各式化簡：?）；（2）．11．（2023秋?渠縣校級(jí)期中）觀察下列各式及驗(yàn)證過程：，驗(yàn)證；，驗(yàn)證，驗(yàn)證（1）按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．12．（2023春?前郭縣期中）觀察下面的運(yùn)算，完成下列各題的解答．①判斷下列各式是否成立：②根據(jù)①判斷的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用含有自然數(shù)的式子將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并注明的取值范圍．③請說明你所發(fā)現(xiàn)式子的正確性．二．分母有理化（共7小題）13．（2021秋?射洪市校級(jí)月考）小芳在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，請你根據(jù)小芳的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．①求的值；②求的值．14．（2021春?淮北期末）已知，，求：（1）的值；（2）的值．15．（2021秋?高州市校級(jí)月考）閱讀下面問題：；；．試求：（1）為正整數(shù)）．（2）利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算：．16．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）先觀察下列的計(jì)算，再完成習(xí)題：；請你直接寫出下面的結(jié)果：（1）；；（2）根據(jù)你的猜想、歸納，運(yùn)用規(guī)律計(jì)算：．17．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：；；．（1）求的值；（2）計(jì)算：．18．（2021春?裕華區(qū)校級(jí)期末）【知識(shí)鏈接】（1）有理化因式：兩個(gè)含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號(hào)化去．指的是如果代數(shù)式中分母有根號(hào)，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的．如：，．【知識(shí)理解】（1）填空：的有理化因式是；（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：①；②．【啟發(fā)運(yùn)用】（3）計(jì)算：．19．（2021秋?安仁縣校級(jí)期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請用其中一種方法化簡；（2）化簡：．三．二次根式的混合運(yùn)算（共7小題）20．（2020春?興縣期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得，；（2）試著把化成一個(gè)完全平方式．（3）若是216的立方根，是16的平方根，試計(jì)算：．21．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分．的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）化簡．22．（2022春?大理市校級(jí)期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值；（2）計(jì)算．23．（2022春?開州區(qū)期中）我們知道平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，如：，那么，那么如何將雙重二次根式，，化簡呢？如能找到兩個(gè)數(shù)，，使得即，且使即，那么，雙重二次根式得以化簡；例如化簡：；且，由此對于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到，使得，且，那么這個(gè)雙重二次根式一定可以化簡為一個(gè)二次根式．請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：；；（2）化簡：①②（3）計(jì)算：．24．（2022秋?晉安區(qū)期末）我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：，．你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：（1）（2）（3）．25．（2023?舟山二模）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）若，且、、均為正整數(shù)，求的值．26．（2023春?宜豐縣校級(jí)月考）已知，，且．試求正整數(shù)．四．二次根式的化簡求值（共9小題）27．（2023春?東莞市校級(jí)期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．28．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值．（2）已知是正整數(shù)，求與的值；（3）計(jì)算．29．（2021春?環(huán)翠區(qū)校級(jí)期中）已知：，，求的值．30．（2021春?黃岡期中）已知，，試求代數(shù)式的值．31．（2023春?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．求：①求的值．②直接寫出代數(shù)式的值；．32．（2023春?東莞市校級(jí)期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．33．（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）先化簡，后求值：，其中．34．（2020秋?惠濟(jì)區(qū)校級(jí)月考）閱讀下面的文字后，回答問題．小明和小芳解答題目“先化簡下式，再求值：，其中”時(shí)，得到了不同的答案．小明的解答是：原式；小芳的解答是：原式；（1）的解答是錯(cuò)誤的．（2）錯(cuò)誤的解答錯(cuò)在未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：．35．（2023秋?天府新區(qū)期中）已知，．求：（1）的值；（2）的值．五．二次根式的應(yīng)用（共5小題）36．（2023春?湯陰縣期中）已知線段，，，且線段，滿足．（1）求，的值；（2）若，，是某直角三角形的三條邊的長度，求的值．37．（2022春?東莞市校級(jí)期中）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．，；，；，；（1）請用含有為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：，．（2）若一個(gè)三角形的面積是，計(jì)算說明它是第幾個(gè)三角形？（3）求出的值．38．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）已知，均為正整數(shù)．我們把滿足的點(diǎn)稱為幸福點(diǎn)．（1）下列四個(gè)點(diǎn)中為幸福點(diǎn)的是；；；；（2）若點(diǎn)是一個(gè)幸福點(diǎn)，求的值；（3）已知點(diǎn)，是一個(gè)幸福點(diǎn)，則存在正整數(shù)，滿足，試問是否存在實(shí)數(shù)的值使得點(diǎn)和點(diǎn)，到軸的距離相等，且到軸的距離也相等？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．39．（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）小明在解方程時(shí)采用了下面的方法：由，又有，可得，將這兩式相加可得，將兩邊平方可解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是；（2）解方程．40．（2021秋?湘潭縣期末）已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計(jì)算的方法是：，其中表示三角形的面積，，，分別表示三邊之長，表示周長之半，即．我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個(gè)公式基本一致，所有這個(gè)公式也叫“海倫秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在中，已知，，，求的面積；（2）計(jì)算（1）中的邊上的高．專題01二次根式（考題猜想，壓軸大題5個(gè)考點(diǎn)40題專練）二次根式的性質(zhì)與化簡分母有理化二次根式的混合運(yùn)算二次根式的化簡求值二次根式的應(yīng)用一．二次根式的性質(zhì)與化簡（共12小題）1．（2023?舟山一模）觀察下列各式：①，②；③，（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個(gè)等式：；（2）請用含的式子寫出你猜想的規(guī)律：；（3）請證明（2）中的結(jié)論．【分析】（1）認(rèn)真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)律并根據(jù)規(guī)律寫出第④個(gè)等式；（2）根據(jù)規(guī)律寫出含的式子即可；（3）結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡求解驗(yàn)證即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）．故答案為：（1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)律并根據(jù)規(guī)律進(jìn)行求解即可．2．（2022春?蓬江區(qū)校級(jí)月考）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡：；（8）已知為常數(shù)，點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義解答；（2）根據(jù)材料一，模仿解答；（3）先化簡得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，；，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，；故答案為：，；，．（2）；（3），，，．，，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，二次根式的化簡，考核學(xué)生的計(jì)算能力，計(jì)算時(shí)注意負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．3．（2021春?安徽期末）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個(gè)數(shù)、，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1），；（2），．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．4．（2021春?朝陽區(qū)校級(jí)期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡：；（3）已知為常數(shù)，點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義解答；（2）根據(jù)材料一，模仿解答；（3）先化簡得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，；，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，；故答案為：，；，．（2）；（3），，，．，，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，二次根式的化簡，考核學(xué)生的計(jì)算能力，計(jì)算時(shí)注意負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．5．（2022秋?吉安縣期末）先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)、使，，這樣，，那么便有例如：化簡解：首先把化為，這里，；由于，，即，，由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．【分析】先把各題中的無理式變成的形式，再根據(jù)范例分別求出各題中的、，即可求解．【解答】解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)評(píng)】主要考查二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡．二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號(hào)內(nèi)含有根號(hào)的式子化簡是符合完全平方公式的特點(diǎn)的式子．6．（2022秋?市中區(qū)期末）觀察下列各式：請你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：（1）（2）請你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫出用為正整數(shù)）表示的等式：；（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：（仿照上式寫出過程）【分析】（1）根據(jù)提供的信息，即可解答；（2）根據(jù)規(guī)律，寫出等式；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，即可解答．【解答】解：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關(guān)鍵是關(guān)鍵信息，找到規(guī)律．7．（2023春?蕪湖期末）觀察下列各式：；；，請你根據(jù)以上三個(gè)等式提供的信息解答下列問題①猜想：；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個(gè)用為正整數(shù)）表示的等式：；③應(yīng)用：計(jì)算．【分析】①直接利用利用已知條件才想得出答案；②直接利用已知條件規(guī)律用為正整數(shù)）表示的等式即可；③利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律將原式變形得出答案．【解答】解：①猜想：；故答案為：，；②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，寫出一個(gè)用為正整數(shù)）表示的等式：；③應(yīng)用：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．（2023春?太原期中）觀察下列各式并按規(guī)律填空：；；（1），．（2）按此規(guī)律第個(gè)式子可以表示為．（3）并說明上面式子成立的理由．（請寫出推導(dǎo)過程）【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)之間變化規(guī)律得出根號(hào)下與根號(hào)外數(shù)據(jù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；（2）利用已知數(shù)據(jù)之間變化規(guī)律得出根號(hào)下與根號(hào)外數(shù)據(jù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．【解答】解：（1）；；，；故答案為：，；（2）由（1）得按此規(guī)律第個(gè)式子可以表示為：；故答案為：；（3）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確得出數(shù)字之間變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．9．（2022春?杭錦后旗期中）像，這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：．再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：（1）化簡：；（2）化簡：；（3）若，且，，為正整數(shù)，求的值．【分析】（1）把變形為，然后利用二次根式的化簡即可；（2）先把變形為，然后把被開方數(shù)變形為，然后利用二次根式的化簡即可；（3）利用完全平方公式把展開，則，，再利用有理數(shù)的整除性確定、值，然后計(jì)算對應(yīng)的的值．【解答】解：（1）；（2）；（3），，，，又、、為正整數(shù)，，，或者，，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，即的值為46或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：熟練掌握二次根式的性質(zhì)和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．10．（2021秋?沿河縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個(gè)數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．化簡：．．．請你仿照上例將下列各式化簡：?）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把化為，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．（2）利用完全平方公式把化為然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：（1），；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟記掌握完全平方公式．11．（2023秋?渠縣校級(jí)期中）觀察下列各式及驗(yàn)證過程：，驗(yàn)證；，驗(yàn)證，驗(yàn)證（1）按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．【分析】（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)，把根號(hào)內(nèi)的移到根號(hào)外；（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時(shí)，觀察根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系可得：．【解答】解：（1）驗(yàn)證：；（2）．驗(yàn)證：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)．此題是一個(gè)找規(guī)律的題目，觀察時(shí)，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．12．（2023春?前郭縣期中）觀察下面的運(yùn)算，完成下列各題的解答．①判斷下列各式是否成立：②根據(jù)①判斷的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用含有自然數(shù)的式子將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并注明的取值范圍．③請說明你所發(fā)現(xiàn)式子的正確性．【分析】（1）計(jì)算等式左右兩邊是否相等，然后做出判斷．（2）由，，，故根據(jù)上述規(guī)律可知，（3）把兩式平方，證明左邊和右邊相等．【解答】解：①；；；故答案為；；；．②由，，，故根據(jù)上述規(guī)律可知，③等式成立，理由：，故結(jié)論成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡的知識(shí)點(diǎn)，找出等式規(guī)律很重要．二．分母有理化（共7小題）13．（2021秋?射洪市校級(jí)月考）小芳在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，請你根據(jù)小芳的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．①求的值；②求的值．【分析】（1）原式各項(xiàng)分母有理化，計(jì)算即可求出值；（2）各式變形后，將的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）原式；（2）①，原式；②，原式．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．14．（2021春?淮北期末）已知，，求：（1）的值；（2）的值．【分析】（1）先求出與與的值，再代入計(jì)算即可；（2）將變形為，得到原式，再把，代入計(jì)算即可求解．【解答】解：（1），，，，；（2），，．【點(diǎn)評(píng)】考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解答問題的關(guān)鍵．15．（2021秋?高州市校級(jí)月考）閱讀下面問題：；；．試求：（1）為正整數(shù)）．（2）利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算：．【分析】（1）分子分母同時(shí)乘，求解即可，（2）先化簡，再找出規(guī)律求解即可．【解答】解：（1）為正整數(shù)）．故答案為：．（2），．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是找出式子的規(guī)律．16．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）先觀察下列的計(jì)算，再完成習(xí)題：；請你直接寫出下面的結(jié)果：（1）；；（2）根據(jù)你的猜想、歸納，運(yùn)用規(guī)律計(jì)算：．【分析】（1）仿照已知等式將各式分母有理化即可；（2）根據(jù)得出的規(guī)律將原式化簡即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式；原式；故答案為：；；（2）原式．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．17．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：；；．（1）求的值；（2）計(jì)算：．【分析】（1）原式根據(jù)閱讀材料中的方法變形即可得到結(jié)果；（2）原式各項(xiàng)變形后，抵消合并即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本題的關(guān)鍵．18．（2021春?裕華區(qū)校級(jí)期末）【知識(shí)鏈接】（1）有理化因式：兩個(gè)含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號(hào)化去．指的是如果代數(shù)式中分母有根號(hào)，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的．如：，．【知識(shí)理解】（1）填空：的有理化因式是；（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：①；②．【啟發(fā)運(yùn)用】（3）計(jì)算：．【分析】（1）由，即可找出的有理化因式；（2）①分式中分子、分母同時(shí)，即可得出結(jié)論；②分式中分子、分母同時(shí)，即可得出結(jié)論；（3）利用分母有理化將原式變形為，合并同類項(xiàng)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1），的有理化因式是．故答案為：．（2）①；②．故答案為：①；②．（3）原式，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是：（1）由，找出的有理化因式；（2）根據(jù)平方差公式，將各式分母有理化；（3）利用分母有理化將原式變形為．19．（2021秋?安仁縣校級(jí)期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請用其中一種方法化簡；（2）化簡：．【分析】（1）運(yùn)用第二種方法求解，（2）先把每一個(gè)加數(shù)進(jìn)行分母有理化，再找出規(guī)律后面的第二項(xiàng)和前面的第一項(xiàng)抵消，得出答案，【解答】解：（1）原式；（2）原式【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)有理化因式．三．二次根式的混合運(yùn)算（共7小題）20．（2020春?興縣期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得，；（2）試著把化成一個(gè)完全平方式．（3）若是216的立方根，是16的平方根，試計(jì)算：．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式展開，再得出即可；（2）根據(jù)完全平方公式得出即可；（3）先求出、的值，再代入求出即可．【解答】解：（1），，，，故答案為：；；（2）；（3）是216的立方根，是16的平方根，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根、立方根、完全平方公式、算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．21．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分．的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）化簡．【分析】（1）將用完全平方公式展開，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設(shè)，則，比較完全平方式右邊的值與，可將和用和表示出來，再給和取特殊值，即可得答案；（3）利用題中描述的方法，將要化簡的雙重根號(hào)，先化為一重根號(hào)，再利用分母有理化化簡，再合并同類二次根式和同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1），，，，故答案為：，．（2）設(shè)．則．，，若令，，則，．故答案為：21，4，1，2．（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用分母有理化和利用完全平方公式對二次根式化簡，以及對這種方法的拓展應(yīng)用，本題具有一定的計(jì)算難度．22．（2022春?大理市校級(jí)期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值；（2）計(jì)算．【分析】（1）根據(jù)分母有理化可以解答本題；（2）根據(jù)分母有理化可以解答本題；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果可以解答本題．【解答】解：（1），；（2），；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡求值、分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．23．（2022春?開州區(qū)期中）我們知道平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，如：，那么，那么如何將雙重二次根式，，化簡呢？如能找到兩個(gè)數(shù)，，使得即，且使即，那么，雙重二次根式得以化簡；例如化簡：；且，由此對于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到，使得，且，那么這個(gè)雙重二次根式一定可以化簡為一個(gè)二次根式．請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：；；（2）化簡：①②（3）計(jì)算：．【分析】（1）把被開方數(shù)利用完全平方公式變形為完全平方式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡；（2）利用二次根式的性質(zhì)變形得到；，然后與（1）的方法一樣化簡即可；（3）先變形得到，然后與（1）的方法一樣化簡即可．【解答】解：（1）填空：；；（2）①；②；（3）．故答案為；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．24．（2022秋?晉安區(qū)期末）我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：，．你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：（1）（2）（3）．【分析】（1）將3分成，利用完全平方公式即可求出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）將原式變形為，將18分成，利用完全平方公式即可求出結(jié)論；（3）將3分成、5分成、7分成、9分成、11分成，利用完全平方公式結(jié)合二次根式的加、減法，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）；（2）；（3）原式，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及完全平方公式，讀懂題意，將整數(shù)分成兩個(gè)合適的整數(shù)相加是解題的關(guān)鍵．25．（2023?舟山二模）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）若，且、、均為正整數(shù)，求的值．【分析】（1）利用完全平方公式展開得到，從而可用、表示、；（2）先取，，則計(jì)算對應(yīng)的、的值，然后填空即可；（3）利用，和、、均為正整數(shù)可先確定、的值，然后計(jì)算對應(yīng)的的值．【解答】解：（1），，；（2），，則，，，（3），，、、均為正整數(shù)，，或，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，的值為12或28．故答案為，；7，4，2，1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．26．（2023春?宜豐縣校級(jí)月考）已知，，且．試求正整數(shù)．【分析】首先化簡與，可得：，，所以，；將所得結(jié)果看作整體代入方程，化簡即可求得．【解答】解：化簡與得：，，，，將代入方程，化簡得：，，．，解得．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的分母有理化．解題的關(guān)鍵是整體代入思想的應(yīng)用．四．二次根式的化簡求值（共9小題）27．（2023春?東莞市校級(jí)期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．【分析】（1）先利用完全平方公式因式分解；（2）利用平方差公式因式分解；再進(jìn)一步代入求得數(shù)值即可．【解答】解：（1）；（2）．．【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，注意先利用完全平方公式和平方差公式因式分解，再代入計(jì)算．28．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值．（2）已知是正整數(shù)，求與的值；（3）計(jì)算．【分析】（1）根據(jù)分母有理化可以解答本題；（2）根據(jù)分母有理化可以解答本題；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果可以解答本題．【解答】解：（1），；（2），；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡求值、分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．29．（2021春?環(huán)翠區(qū)校級(jí)期中）已知：，，求的值．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把原式變形，代入計(jì)算即可．【解答】解：，，，，，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握完全平方公式、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2021春?黃岡期中）已知，，試求代數(shù)式的值．【分析】根據(jù)已經(jīng)條件求出、，再利用整體代入的思想解決問題即可．【解答】解：，，，，．解法二：由題意，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡求值、完全平方公式、平方差公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用公式解決問題，學(xué)會(huì)用整體代入的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．31．（2023春?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．求：①求的值．②直接寫出代數(shù)式的值2；．【分析】（1）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；（2）將分母有理化得，移項(xiàng)并平方得到，對①，②的式子進(jìn)行變形后代入求值．【解答】解：（1）原式；（2）①，，，，；②，，原式；，，原式．故答案為：0，2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代數(shù)式的變形，解題的關(guān)鍵是變形各式后利用來求解．32．（2023春?東莞市校級(jí)期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．【分析】（1）所求式子利用平方差公式分解后，將與的值代入計(jì)算即可求出值；（2）求出與的值，所求式子利用完全平方公式變形后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1），，；（2），，，，則．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．33．（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）先化簡，后求值：，其中．【分析】求出的值，根據(jù)平方差公式得出，推出，把的值代入求出即可．【解答】解：，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式和二次根式的化簡求值的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行化簡，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．34．（2020秋?惠濟(jì)區(qū)校級(jí)月考）閱讀下面的文字后，回答問題．小明和小芳解答題目“先化簡下式，再求值：，其中”時(shí)，得到了不同的答案．小明的解答是：原式；小芳的解答是：原式；（1）小明的解答是錯(cuò)誤的．（2）錯(cuò)誤的解答錯(cuò)在未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：原式；（1）小明的解答是錯(cuò)誤的．（2）錯(cuò)誤的解答錯(cuò)在未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：，故答案為：小明，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟記二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．35．（2023秋?天府新區(qū)期中）已知，．求：（1）的值；（2）的值．【分析】先將和進(jìn)行化簡，然后代入各式中進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1），，．（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵在于將和進(jìn)行化簡，然后代入各式中進(jìn)行求解．五．二次根式的應(yīng)用（共5小題）36．（2023春?湯陰縣期中）已知線段，，，且線段，滿足．（1）求，的值；（2）若，，是某直角三角形的三條邊的長度，求的值．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得、的值；（2）根據(jù)勾股定理逆定理可解答．【解答】解：（1）因?yàn)榫€段，滿足．所以，；（2）因?yàn)?，，是某直角三角形的三條邊的長度，所以或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)和勾股定理逆定理得出相應(yīng)算式是關(guān)鍵，二次根式的化簡與運(yùn)算是根本技能．37．（2022春?東莞市校級(jí)期中