2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——拓撲學在網(wǎng)絡拓撲中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列哪個拓撲性質(zhì)在判斷一個網(wǎng)絡是否允許進行某些類型的布線操作時通常最為關鍵？A.緊致性B.連通性C.同胚性D.虧格數(shù)2.若一個網(wǎng)絡可以抽象為一個無向圖，且該圖存在歐拉回路，則該網(wǎng)絡在拓撲意義上可以看作是：A.單連通的B.具有多個不相交環(huán)的C.不可能實現(xiàn)全局覆蓋的D.其最小生成樹包含所有頂點3.在網(wǎng)絡拓撲學中，一個網(wǎng)絡的基本群為平凡群（僅包含恒等映射），這通常意味著該網(wǎng)絡：A.包含無數(shù)條環(huán)路B.不存在任何環(huán)路C.至少存在一個簡單的環(huán)路D.其結構是二維流形4.計算一個無向連通圖的一維同調(diào)群（H1），其主要反映了該網(wǎng)絡結構的哪種屬性？A.頂點的數(shù)量B.邊的數(shù)量C.獨立環(huán)路或“孔洞”的數(shù)量D.網(wǎng)絡的連通分量數(shù)量5.將一個網(wǎng)絡嵌入到二維平面上而不出現(xiàn)任何邊交叉，這等價于該網(wǎng)絡的圖論表示滿足：A.存在哈密頓路徑B.歐拉示性數(shù)為0C.是平面圖D.同胚于球面二、填空題6.拓撲學中的______概念用于描述網(wǎng)絡中從一個節(jié)點到另一個節(jié)點存在至少一條路徑的性質(zhì)。7.如果一個網(wǎng)絡在移除某個節(jié)點后仍然保持連通，則稱該節(jié)點是______的。8.基本群是研究網(wǎng)絡中繞圈或______性質(zhì)的重要工具。9.同調(diào)群H1為零意味著該網(wǎng)絡結構中不存在______。10.一個具有n個頂點和m條邊的無向連通圖，其歐拉示性數(shù)（Eulercharacteristic,χ）通常等于______。三、計算題11.考慮一個由四個頂點A,B,C,D和四條邊AB,BC,CD,DA組成的基礎四邊形網(wǎng)絡（正方形）。請計算該網(wǎng)絡抽象圖的一維同調(diào)群H1，并簡要說明其物理或網(wǎng)絡拓撲意義。12.給定一個網(wǎng)絡，其抽象圖由以下頂點和邊構成：頂點集V={1,2,3,4,5}，邊集E={{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{1,5}}。請判斷該網(wǎng)絡圖是否為平面圖。如果是，請簡要說明理由；如果不是，請說明原因。四、證明題13.證明：任何樹狀結構的網(wǎng)絡（其圖論表示為樹）的基本群都是平凡的。14.設G是一個簡單的無向連通圖，且其歐拉示性數(shù)χ(G)=2。證明：G可以嵌入到二維球面上，即G是一個平面圖。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.B4.C5.C二、填空題6.連通性7.生成8.環(huán)路9.獨立環(huán)路10.n-m三、計算題11.H1=Z。該網(wǎng)絡有一個獨立的環(huán)路（例如，順時針繞正方形一圈），因此H1中的基向量對應這個環(huán)路。其物理或網(wǎng)絡拓撲意義在于，該網(wǎng)絡存在一個“基本回路”，繞此回路運行不會回到起點，這反映了網(wǎng)絡結構中的一個自由度或潛在的非平面性特征。12.該圖是平面圖。理由：該圖可以嵌入到二維平面中而不產(chǎn)生任何邊交叉。例如，可以將其繪制為：頂點1在左上，頂點2在右上，頂點3在右下，頂點4在左下，頂點5在中心連接頂點1和4。所有邊均不相交，滿足平面圖定義。四、證明題13.證明：設T是樹狀結構的網(wǎng)絡。根據(jù)樹的定義，T是無環(huán)連通圖。對于無環(huán)連通圖，不存在任何閉合環(huán)路。環(huán)路的存在意味著可以通過沿邊行走回到起點，而樹由于定義上沒有環(huán)，任何這樣的嘗試都會在某個頂點遇到重復訪問，這與連通性矛盾（因為連通圖任意兩頂點間有路徑，樹中路徑唯一）。因此，T中不存在環(huán)路，其基本群G(T)僅包含恒等映射，即G(T)是平凡群。14.證明：根據(jù)歐拉示性數(shù)公式χ(G)=V-E+F，其中V是頂點數(shù)，E是邊數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)。已知χ(G)=2。對于嵌入到二維球面上的簡單平面圖，每個面（包括無限外部面）至少由三條邊組成。因此，2E≥3F（所有邊被計算多次，每條邊屬于兩個面）。整理得2V-2E≥2F，即2-χ(G)≥F。將χ(G)=2代入，得F≤0。由于F表示面數(shù)，F(xiàn)必須為非負整數(shù)，所以F=0。將F=0代入歐拉公式2=V-