2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——控制理論在自動(dòng)化系統(tǒng)中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.若線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=(s+2)/(s^2+3s+2)，則其零點(diǎn)為______，極點(diǎn)為______。2.利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)特征方程s^3+2s^2+s+1=0的穩(wěn)定性，勞斯表第一列首項(xiàng)變號(hào)次數(shù)為______，故系統(tǒng)______(穩(wěn)定/不穩(wěn)定)。3.在經(jīng)典控制理論中，描述系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的主要工具是______圖和______圖。4.對(duì)于一階系統(tǒng)G(s)=1/(Ts+1)，其時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)的______性能。5.將一個(gè)實(shí)際物理系統(tǒng)抽象為狀態(tài)空間模型時(shí)，狀態(tài)變量的選擇應(yīng)遵循______和______兩個(gè)原則。6.若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=K/(s(s+1))，為使系統(tǒng)在單位階躍輸入下輸出無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，根據(jù)終值定理，開環(huán)傳遞函數(shù)中必須包含______型積分環(huán)節(jié)。7.李雅普諾夫第二方法（直接法）主要用于判斷線性定常系統(tǒng)______，其核心思想是構(gòu)造一個(gè)具有特定性質(zhì)的標(biāo)量函數(shù)V(x)。8.在PID控制中，比例(P)、積分(I)、微分(D)三項(xiàng)分別主要用來(lái)克服系統(tǒng)的______、______和______。9.若系統(tǒng)A=[-12;-3-4]，則矩陣A的特征值為______，該系統(tǒng)是______(穩(wěn)定/不穩(wěn)定)的。10.控制理論在自動(dòng)化系統(tǒng)中最重要的作用之一是______系統(tǒng)，使其按照期望的方式運(yùn)行。二、計(jì)算題1.已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=K(s+3)/(s(s^2+2s+2))。求：(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；(2)系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv；(3)若要求系統(tǒng)的阻尼比ζ=0.707，請(qǐng)確定系統(tǒng)自然頻率ωn應(yīng)為多少？(提示：可先求極點(diǎn))(4)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。2.已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：x?=[-21;-3-1]x+[10]uy=[11]x(1)求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)；(2)若初始狀態(tài)x(0)=[1;0]T，輸入u(t)=1(t≥0)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)xzi(t)和零狀態(tài)響應(yīng)xzs(t)。（提示：考慮狀態(tài)方程的解）(3)求系統(tǒng)的特征值。3.設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K/(s(s+1))。試用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)在K=5時(shí)是否穩(wěn)定。4.設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為x?=Ax+Bu,y=Cx+Du，其中A,B,C,D為已知常數(shù)矩陣。若系統(tǒng)完全能控且完全能觀，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋矩陣F，使得閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位于s=-2±j2處。（提示：寫出閉環(huán)系統(tǒng)矩陣，求解F）三、證明題1.證明：若線性定常系統(tǒng)A的特征值都具有負(fù)實(shí)部，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（提示：利用勞斯判據(jù)或特征值定義）2.設(shè)標(biāo)量函數(shù)V(x)=x?Px，其中P是正定矩陣(P>0)，證明V(x)是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。四、綜合應(yīng)用題1.考慮一個(gè)溫度控制系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可近似為G(s)=1/(10s+1)。假設(shè)控制器采用比例控制器，即Gc(s)=Kp。將此控制器與被控對(duì)象串聯(lián)，組成一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)。(1)寫出該閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式；(2)若Kp=2，求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)（可推導(dǎo)表達(dá)式，無(wú)需計(jì)算具體數(shù)值），并分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)性能（超調(diào)量大致趨勢(shì)）；(3)為了減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)如何調(diào)整Kp的值？簡(jiǎn)要說(shuō)明原因。2.一個(gè)需要精確位置控制的對(duì)象，其傳遞函數(shù)為G(s)=1/(s^2+2s)?，F(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。(1)寫出狀態(tài)觀測(cè)器的標(biāo)準(zhǔn)形式方程；(2)若觀測(cè)器增益矩陣L=[L1L2]T，請(qǐng)說(shuō)明如何選擇L1和L2以使觀測(cè)器具有較好的響應(yīng)特性？（例如，保證觀測(cè)器極點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè)較遠(yuǎn)處）---試卷答案一、填空題1.-2,-1,-22.2,不穩(wěn)定3.奈奎斯特,波特4.快速5.完整性,能控性/能觀測(cè)性6.一7.穩(wěn)定性8.穩(wěn)態(tài)誤差,超調(diào)/振蕩,響應(yīng)速度9.-1,-2,不穩(wěn)定10.控制二、計(jì)算題1.(1)Gcl(s)=K(s+3)/(s^3+2s^2+(2+K)s+3K)(2)Kv=3K(3)ωn=sqrt(3+2*sqrt(2)),(提示：閉環(huán)極點(diǎn)為-1±j1，自然頻率ωn=sqrt(2)，阻尼比ζ=1/ωn=1/sqrt(2)=0.707，此時(shí)ωd=ωn，對(duì)應(yīng)自然頻率為sqrt(3))(4)不穩(wěn)定(因?yàn)閯谒贡碇械谝涣谐霈F(xiàn)了負(fù)數(shù)-2-K，判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定)2.(1)G(s)=(s+1)/(s^2+3s+2)(2)x(t)=e^Atx(0)+∫[0,t]e^(A(t-τ))Bdu(τ)xzi(t)=e^Atx(0)=e^(-2t)[1;0]Txzs(t)=∫[0,t]e^(-2(t-τ))[-3;-1]e^(-τ)[1;0]dτ=e^(-2t)∫[0,t][-3e^(-τ);-e^(-τ)]dτ=e^(-2t)[-3e^(-t)+3;-e^(-t)+1]T=[3e^(-t)-3e^(-2t);e^(-t)-e^(-2t)]T(3)特征值由det(sI-A)=s^2+3s+2=0解得，特征值為-1,-23.G(s)H(s)=5/(s(s+1))，繪制奈奎斯特曲線：起點(diǎn)(5,0)，沿實(shí)軸到(-5,0)，沿(-5,0)到(-5,-5)，沿虛軸穿過(guò)(-j∞)到(-j5)，再沿實(shí)軸回到(5,0)。檢查(-1+j0)點(diǎn)是否在奈奎斯特曲線圍成的閉環(huán)內(nèi)。當(dāng)K=5時(shí)，-1點(diǎn)在奈奎斯特曲線上（對(duì)應(yīng)s=0時(shí)G(s)H(s)=5）。根據(jù)奈氏判據(jù)，閉環(huán)右半平面極點(diǎn)數(shù)N=P+Z=P+1=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.閉環(huán)系統(tǒng)矩陣Acl=A-BK=[-2-F11;-3-F20]。要求閉環(huán)極點(diǎn)為-2±j2，即(s+2-j2)(s+2+j2)=s^2+4s+8。令det(Acl-(sI))=0，即det[s+2+F1-1;3+F2s]=s^2+(4+F1+F2)s+(8+F1*F2-3)=s^2+4s+8。比較系數(shù)得：4+F1+F2=4=>F1+F2=08+F1*F2-3=8=>F1*F2=3解此方程組得F1=sqrt(3),F2=-sqrt(3)（或F1=-sqrt(3),F2=sqrt(3)）三、證明題1.系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：所有閉環(huán)特征值（即sI-A的特征值）的實(shí)部均小于零。若A的所有特征值實(shí)部均小于零，則det(sI-A)在s平面的右半平面無(wú)根，根據(jù)勞斯判據(jù)，勞斯表第一列無(wú)符號(hào)變化，系統(tǒng)穩(wěn)定。2.V(x)=x?Px為正定：?x≠0,V(x)=x?Px>0。滿足李雅普諾夫函數(shù)的二次型正定性條件。V(x)沿軌跡的導(dǎo)數(shù)：V?(x)=d/dt(x?Px)=(x?)?P+x?Px?=2x?Px=2x?Px。由于P>0且x?Px≥0(因?yàn)閤?x≥0)，所以V?(x)≤0。滿足李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)半負(fù)定性條件。故V(x)滿足李雅普諾夫第二方法對(duì)穩(wěn)定性的判定條件，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。四、綜合應(yīng)用題1.(1)Gcl(s)=G(s)Gc(s)/(1+G(s)Gc(s))=(1/(10s+1))*(Kp)/(1+Kp/(10s+1))=Kp/((10s+1)+Kp)(2)Kp=2時(shí),Gcl(s)=2/(10s+1+2)=2/(10s+3)。系統(tǒng)類型為0型，Kv=lim(s->0)sGcl(s)=2/3。單位階躍響應(yīng)表達(dá)式y(tǒng)(t)=1-e^(-3t/10)*(10/3)。穩(wěn)態(tài)誤差ess=1/Kv=3/2。瞬態(tài)性能：無(wú)超調(diào)（指數(shù)項(xiàng)衰減），調(diào)節(jié)時(shí)間約為4*(10/3)/3=4.4秒（估算）。(3)為減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增大Kv，即增大Kp。2.(1)觀測(cè)器方程為x?o=Axo+Bu+L(y-Cx)=Axo+Bu+L(Cx-Cx)=Axo+Bu+L(0)=Axo+Bu(標(biāo)準(zhǔn)形式通常指x?o=A?xo+Bu+L(Cx-y)，此處簡(jiǎn)化為誤差形式)(2)觀測(cè)器誤差動(dòng)態(tài)方程為xo?=x?o-x=(Axo+Bu)-x=Axo+Bu-(Ax+