2025年大學《數理基礎科學》專業(yè)題庫——Brownian運動與擴散考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請將正確選項的字母填在題后的括號內。每小題2分，共10分）1.下列哪一項不是Brown運動產生的原因？(A)分子熱運動(B)粒子間存在范德華力(C)液體或氣體分子的無規(guī)則碰撞(D)懸浮粒子的大小2.愛因斯坦關于Brown運動的第一個假設是：(A)均方位移與時間成正比(B)懸浮粒子受到的來自不同方向的分子碰撞是平衡的(C)均方位移與粒子質量成反比(D)擴散系數由溫度和粘度決定3.根據愛因斯坦公式，在溫度恒定的情況下，懸浮粒子在時間間隔Δt內的均方位移?Δx2?與Δt的關系是：(A)正比于Δt的平方根(B)正比于Δt(C)反比于Δt(D)與Δt無關4.菲克第一定律描述的是：(A)擴散導致的質量通量方向(B)擴散過程中濃度隨時間的變化(C)擴散系數的物理意義(D)擴散的驅動力5.在穩(wěn)態(tài)擴散條件下（即濃度不隨時間變化），菲克第二定律簡化為：(A)?C/?t=0(B)?2C/?x2=0(C)J=-D?C/?x(D)?Δx2?=2Dt二、填空題（請將答案填在橫線上。每空2分，共20分）6.Brown運動是懸浮在流體中的微小顆粒所做的__________的無規(guī)則運動。7.愛因斯坦推導均方位移公式時，假設在極短時間Δt內，粒子受到的來自各個方向的分子碰撞是__________的。8.菲克第一定律指出，穩(wěn)態(tài)擴散時的質量通量J與濃度梯度?C/?x成正比，比例系數為__________，其比例關系為負號表示物質從__________濃度區(qū)域向__________濃度區(qū)域擴散。9.擴散系數D的物理意義可以理解為描述物質擴散的__________，它取決于溫度和流體__________以及粒子的__________。10.如果一個分子的擴散系數D為1.0x10?11m2/s，在5分鐘內，該分子（假設做隨機游走）的均方位移?Δx2?約為__________米2。（保留一位有效數字）三、簡答題（請簡要回答下列問題。每小題5分，共15分）11.簡述Brown運動與分子熱運動的關系。12.解釋什么是擴散現(xiàn)象，并簡述其宏觀驅動力。13.在推導愛因斯坦公式時，需要用到哪些關鍵假設？這些假設在現(xiàn)實中是否嚴格滿足？為什么？四、計算題（請寫出詳細的計算過程。每題8分，共24分）14.一個半徑為1.0μm（1μm=10??m）的球形粒子懸浮在水中（水的粘度η約為1.0x10?3Pa·s）。假設溫度T為300K（k_B≈1.38x10?23J/K）。求該粒子在水中的擴散系數D。15.在x=0處放置一擴散源，使該處的粒子濃度C?保持恒定，而在x>0區(qū)域初始濃度C(x,0)=0。物質沿x軸正方向擴散，擴散系數D=2.0x10??m2/s。求t時刻x處粒子濃度C(x,t)的表達式（用菲克第二定律的解）。16.考慮一維穩(wěn)態(tài)擴散，濃度沿x軸變化，C?=10mol/m3位于x=0處，C?=2mol/m3位于x=1m處。若擴散系數D=5.0x10?1?m2/s，求沿x軸方向的質量通量J。---試卷答案一、選擇題1.(B)*解析思路：Brown運動是懸浮粒子受到周圍流體分子不規(guī)則碰撞的結果。選項A（分子熱運動）是原因；選項C（無規(guī)則碰撞）是微觀機制；選項D（粒子大?。┯绊懪鲎差l率和阻力，間接影響運動，但不是根本原因；選項B（范德華力）是粒子間的吸引力，在稀溶液中可忽略，不是Brown運動的原因。2.(B)*解析思路：愛因斯坦的第一個假設是，在極短時間Δt內，粒子受到來自各個方向的碰撞是平衡的，這使得可以認為粒子受到的凈力為零，其位移主要由隨機碰撞決定。3.(A)*解析思路：根據愛因斯坦公式?Δx2?=(k_BT/m)*Δt，在溫度T（k_B）和粒子質量m恒定時，均方位移?Δx2?與時間間隔Δt成正比。4.(A)*解析思路：菲克第一定律J=-D(dC/dx)描述了在穩(wěn)態(tài)擴散下，單位時間內通過單位面積流過的物質（質量通量）與濃度梯度之間的關系。5.(C)*解析思路：穩(wěn)態(tài)擴散意味著濃度不隨時間變化(?C/?t=0)，此時濃度僅隨空間位置變化。菲克第二定律?C/?t=D?2C/?x2在穩(wěn)態(tài)條件下變?yōu)?2C/?x2=0，這是一個一階線性常微分方程，描述濃度沿擴散方向的均勻變化。選項C是菲克第一定律的表達式。二、填空題6.無規(guī)則*解析思路：Brown運動的核心特征就是其運動軌跡的隨機性和無方向性。7.平衡*解析思路：愛因斯坦假設在極短時間Δt內，粒子受力（碰撞）在各個方向上達到平衡，合力為零。8.擴散系數D；高；低*解析思路：菲克第一定律J=-D(dC/dx)中，D為比例系數即擴散系數。負號表示物質從濃度高的區(qū)域向濃度低的區(qū)域擴散。9.效率；粘度；大?。ɑ虬霃剑?解析思路：擴散系數D反映了物質擴散的快慢，即效率。根據愛因斯坦-斯托克斯公式D=(k_BT/(6πηr))，D與溫度T成正比，與流體粘度η成反比，與粒子半徑r成反比。10.3.6x10??*解析思路：根據愛因斯坦公式?Δx2?=2Dt，?Δx2?=2*(1.0x10?11m2/s)*(5min*60s/min)=6.0x10??m2。取一位有效數字為3.6x10??m2。注意題目要求保留一位有效數字。三、簡答題11.解析思路：分子熱運動是指構成物質的所有分子都在永不停息地進行著無規(guī)則的運動。Brown運動是懸浮在流體中的微小顆粒表現(xiàn)出的無規(guī)則運動。這種運動是流體分子不斷、隨機地撞擊懸浮顆粒的結果。因此，Brown運動是分子熱運動在宏觀顆粒尺度上的一種可觀測的表現(xiàn)形式，它直接源于流體分子的無規(guī)則熱運動。12.解析思路：擴散現(xiàn)象是指物質分子自發(fā)地從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域遷移的現(xiàn)象。其宏觀驅動力是物質濃度存在的不均勻性，即濃度梯度。分子自身熱運動的隨機碰撞是驅動擴散的微觀機制。在沒有外界驅動力（如溫度梯度，導致熱擴散或Soret效應）的情況下，濃度梯度是擴散發(fā)生的主要驅動力。13.解析思路：推導愛因斯坦公式用到的關鍵假設包括：1)粒子被考慮為質點；2)在極短時間Δt內，粒子受到來自各個方向的分子碰撞是平衡的（合力為零）；3)每次碰撞對粒子的位移影響是相互獨立的隨機事件；4)粒子的運動遵循無規(guī)行走模型（randomwalk）；5)溫度T和粒子質量m在時間Δt內保持恒定。這些假設在現(xiàn)實中并非完全滿足，例如粒子并非質點有尺寸，碰撞并非完全平衡，存在空間和時間依賴性，但作為近似，它們抓住了Brown運動的本質特征，使得理論推導和結果具有良好的一致性。四、計算題14.解析思路：根據愛因斯坦-斯托克斯公式D=(k_BT)/(6πηr)，其中k_B=1.38x10?23J/K，T=300K，η=1.0x10?3Pa·s，r=1.0μm=1.0x10??m。代入計算：D=(1.38x10?23J/K*300K)/(6*π*1.0x10?3Pa·s*1.0x10??m)D=(4.14x10?21J)/(1.884x10??Pa·m2)D≈2.19x10?13m2/s結果保留兩位有效數字：D≈2.2x10?13m2/s。15.解析思路：對于一維無限長擴散，在x=0，C=常數C?；x>0，C=0(t=0)。菲克第二定律的解為：C(x,t)=(C?/2)*[erf(x/(2√Dt))+erf(∞)]由于erf(∞)=1，所以：C(x,t)=(C?/2)*[1+erf(x/(2√Dt))]其中erf是誤差函數。16.解析思路：在穩(wěn)態(tài)擴散下，濃度梯度dC/dx是常數。根據菲克第一定律J=-D(dC/dx)。首先計算濃度梯度：dC/dx=(C?-C?)/L=(1