2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在農(nóng)業(yè)科學(xué)中的貢獻(xiàn)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)農(nóng)作物生長模型為\(W(t)=W_0e^{kt}\)，其中\(zhòng)(W(t)\)為時間\(t\)時的作物重量（單位：kg），\(W_0\)為初始重量，\(k\)為生長速率常數(shù)。某作物種植后10天，重量達(dá)到初始重量的2倍。假設(shè)某病蟲害對作物的生長速率有抑制作用，其抑制效果可用函數(shù)\(f(x)=\frac{a}{x+b}\)表示，其中\(zhòng)(x\)為作物當(dāng)前重量，\(a\)和\(b\)為正常數(shù)。當(dāng)作物重量達(dá)到\(W_1\)時，生長速率減為原來的\(\frac{1}{2}\)。請建立考慮病蟲害抑制作用的作物生長模型，并求當(dāng)\(W_0=1\)kg時，作物生長到\(W(t)=8\)kg所需的時間\(t\)（用\(a,b,k\)表示）。二、在一項關(guān)于某種作物需肥量的研究中，收集了不同施肥量\(x\)(單位：kg/公頃)與作物產(chǎn)量\(y\)(單位：噸/公頃)的數(shù)據(jù)如下：施肥量\(x\):0,2,4,6,8,10產(chǎn)量\(y\):1.9,2.3,2.8,3.1,3.4,3.6假設(shè)產(chǎn)量\(y\)對施肥量\(x\)的回歸模型為\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)，其中\(zhòng)(\epsilon\)服從正態(tài)分布\(N(0,\sigma^2)\)。1.估計回歸系數(shù)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)。2.檢驗假設(shè)\(H_0:\beta_1=0\)對\(H_1:\beta_1>0\)（顯著性水平\(\alpha=0.05\)）。三、某農(nóng)場計劃在有限的土地（設(shè)總土地面積為\(A\)公頃）上種植兩種作物A和B。作物A單位面積產(chǎn)量為\(y_A\)噸/公頃，需水量為\(w_A\)立方米/公頃，需肥量為\(f_A\)kg/公頃。作物B單位面積產(chǎn)量為\(y_B\)噸/公頃，需水量為\(w_B\)立方米/公頃，需肥量為\(f_B\)kg/公頃。農(nóng)場預(yù)計可供應(yīng)的總水量為\(W\)立方米，總肥量為\(F\)kg。為了獲得最大總產(chǎn)量，農(nóng)場決定使用線性規(guī)劃模型進(jìn)行種植計劃優(yōu)化。請寫出該問題的線性規(guī)劃模型（包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件）。四、已知某種農(nóng)作物的病蟲害發(fā)生概率與環(huán)境溫濕度有關(guān)。當(dāng)溫度\(T\)(單位：攝氏度)和相對濕度\(H\)(單位：%)滿足一定條件時，病蟲害發(fā)生的概率較高。假設(shè)病蟲害發(fā)生的概率\(P\)可以用以下邏輯斯蒂函數(shù)模型近似描述：\[P(T,H)=\frac{1}{1+e^{-(aT+bH+c)}}\]其中\(zhòng)(a,b,c\)為模型參數(shù)?，F(xiàn)有一組觀測數(shù)據(jù)：(T1,H1,P1),(T2,H2,P2),...,(Tn,Hn,Pn)。請說明如何利用這些數(shù)據(jù)來估計模型參數(shù)\(a,b,c\)。五、考慮一個簡單的農(nóng)業(yè)生態(tài)系統(tǒng)，包含生產(chǎn)者（植物）、消費(fèi)者（食草動物）和分解者（微生物）。生產(chǎn)者通過光合作用固定能量，消費(fèi)者以生產(chǎn)者為食，分解者分解死亡的生物體和有機(jī)廢物，將養(yǎng)分返回到土壤中。設(shè)生產(chǎn)者、消費(fèi)者和分解者的生物量（單位：kg）分別為\(X(t)\),\(Y(t)\),\(Z(t)\)。能量流動和物質(zhì)循環(huán)可以用以下一組微分方程近似描述：\[\frac{dX}{dt}=rX-aXY-dX\]\[\frac{dY}{dt}=b(aXY)-cY-eYZ\]\[\frac{dZ}{dt}=(d+e)Y+fZ-gZ\]其中\(zhòng)(r,a,b,c,d,e,f,g\)均為正的模型參數(shù)。請分析這三個方程的生物學(xué)意義，并討論該生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（例如，是否存在平衡點(diǎn)？平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定？）。試卷答案一、模型為\(W(t)=W_0e^{kt}\cdot\frac{1}{1+\frac{a}{W(t)+b}}\)或等價形式\(W(t)=W_0e^{kt}\cdot\frac{W(t)+b}{W(t)+b+a}\)。求\(t\)：令\(W(t)=8W_0\)，代入模型得\(8=W_0e^{kt}\cdot\frac{8W_0+b}{8W_0+b+a}\)。又\(2=W_0e^{10k}\cdot\frac{2W_0+b}{2W_0+b+a}\)。聯(lián)立兩式消去\(e^{10k}\)，得\(e^{10k}=\frac{8(2W_0+b+a)}{2(8W_0+b+a)}\)。代入第一式\(8=W_0e^{kt}\cdot\frac{8W_0+b}{8W_0+b+a}\cdot\sqrt[10]{\frac{8(2W_0+b+a)}{2(8W_0+b+a)}}\)。解得\(e^{kt}=\sqrt[10]{\frac{8(8W_0+b+a)}{2(2W_0+b+a)}}\)。最終\(t=\frac{1}{k}\ln\left(\sqrt[10]{\frac{8(8W_0+b+a)}{2(2W_0+b+a)}}\right)=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{10}\ln\left(\frac{8(8W_0+b+a)}{2(2W_0+b+a)}\right)\)。二、1.估計：\(\hat{\beta}_1=\frac{\sumx_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sumx_i^2-n\bar{x}^2}\)，\(\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}\)。計算：\(\bar{x}=5,\bar{y}=3.0\)。\(\sumx_iy_i=0\cdot1.9+2\cdot2.3+4\cdot2.8+6\cdot3.1+8\cdot3.4+10\cdot3.6=60.1\)。\(\sumx_i^2=0^2+2^2+4^2+6^2+8^2+10^2=220\)。\(\hat{\beta}_1=\frac{60.1-6\cdot5\cdot3.0}{220-6\cdot5^2}=\frac{60.1-90}{220-150}=\frac{-29.9}{70}\approx-0.427\)。\(\hat{\beta}_0=3.0-(-0.427)\cdot5=3.0+2.135=5.135\)?；貧w方程為\(\hat{y}=5.135-0.427x\)。2.檢驗：計算\(SSt=\sum(y_i-\bar{y})^2=(1.9-3.0)^2+(2.3-3.0)^2+(2.8-3.0)^2+(3.1-3.0)^2+(3.4-3.0)^2+(3.6-3.0)^2=1.21+0.49+0.04+0.01+0.16+0.36=2.27\)。計算\(SSr=\hat{\beta}_1^2SSt=(-0.427)^2\cdot2.27=0.182529\cdot2.27\approx0.413\)。\(SSE=SSt-SSr=2.27-0.413=1.857\)。\(MSr=\frac{SSr}{1}=0.413\)，\(MSE=\frac{SSE}{n-2}=\frac{1.857}{4}=0.46425\)。