2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)值計算方法研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.當計算一個函數(shù)的近似值時，若真值x*=0.618，近似值x=0.6179，則該近似值的相對誤差約為().A.0.1%B.0.157%C.0.157%D.0.058%2.在求解非線性方程f(x)=0的根時，二分法是一種().A.迭代法B.直接法C.開放法D.閉區(qū)間法3.對于線性方程組Ax=b，若矩陣A的條件數(shù)κ(A)較大，則用()求解可能得到較大的舍入誤差。A.高斯消元法B.主元高斯消元法C.迭代法D.A和C都可能4.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，使用梯形公式求積分近似值，其代數(shù)精度至少為().A.0B.1C.2D.35.在求解常微分方程初值問題y'=f(t,y),y(t0)=y0時，歐拉方法的局部截斷誤差階為().A.O(1)B.O(h)C.O(h^2)D.O(h^3)二、填空題6.若一個算法的迭代誤差下降速度滿足|xn+1-xn|/|xn|<C(0<C<1)，則稱該算法具有______收斂性。7.Jacobi迭代法求解線性方程組Ax=b時，要求系數(shù)矩陣A對角占優(yōu)，即對于所有i，有______>Σ|aij|(j≠i)。8.Lagrange插值多項式Pn(x)在節(jié)點xi處的值滿足______。9.數(shù)值求導的有限差分公式中，中心差分公式比向前差分或向后差分公式具有更高的______(以誤差階衡量)。10.用四階龍格-庫塔法(RK4)求解常微分方程初值問題時，每步需要計算______個函數(shù)值。三、計算題11.(10分)已知方程x^3-x-1=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一實根。用二分法求該根的近似值，要求誤差不超過10^-4，需進行多少次二分？寫出第一次和第二次迭代的結(jié)果。12.(10分)用Jacobi迭代法求解線性方程組：10x1+2x2=153x1+10x2=18要求迭代兩次，計算每次迭代的結(jié)果向量。13.(15分)給定數(shù)據(jù)點(x0,y0),(x1,y1)，其中x0≠x1。寫出Lagrange插值多項式P1(x)的表達式，并求P1(x0)和P1(x1)的值。四、分析題14.(10分)分析求解線性方程組Ax=b的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂速度。為什么Gauss-Seidel迭代法通常收斂得更快？(無需證明，僅需解釋原因)15.(10分)考慮用梯形公式T(h)和Simpson公式S(h)近似計算積分∫[a,b]f(x)dx。已知T(h)的誤差為-kh^3/12，S(h)的誤差為-kh^5/180(k為與h無關的常數(shù))。若將步長h減半，T(h/2)的誤差相比T(h)減少了多少？S(h/2)的誤差相比S(h)減少了多少？16.(10分)設y'=-2ty,y(0)=1。分別用歐拉方法(步長h=0.1)和改進歐拉方法(Heun方法，步長h=0.1)求近似值y(0.1)，并與真解y(t)=e^(-t^2)在t=0.1處的值進行比較。(真解值e^(-0.01)≈0.99005)試卷答案一、選擇題1.B2.D3.D4.C5.B二、填空題6.線性7.|aii|8.Pn(xi)=yi9.代數(shù)精度10.4三、計算題11.解：函數(shù)f(x)=x^3-x-1，f(1)=-1，f(2)=5，f(1)f(2)<0，根在(1,2)。|a-b|=1，誤差要求δ=10^-4，所需二分次數(shù)n滿足(b-a)/2^n<=δ，即1/2^n<=10^-4，得n>=log2(1/10^-4)=4.32，需至少5次迭代。第一次迭代：中點x1=(1+2)/2=1.5，f(1.5)=1.5^3-1.5-1=0.875，f(1)f(1.5)<0，根在(1,1.5)。第二次迭代：中點x2=(1+1.5)/2=1.25，f(1.25)=1.25^3-1.25-1=-0.296875，f(1.25)f(1.5)<0，根在(1.25,1.5)。結(jié)果：第一次迭代結(jié)果1.5，第二次迭代結(jié)果1.25。12.解：系數(shù)矩陣A=[[10,2],[3,10]],常數(shù)項向量b=[15,18]T。Jacobi迭代矩陣B=[[0,-0.2],[-0.3,0]],對角矩陣D=[[10,0],[0,10]]。迭代格式：x^(k+1)=Bx^k+b。迭代一次：x^1=[[0,-0.2],[-0.3,0]]*[[x0^k],[x1^k]]+[15,18]T=[[-0.2x1^k],[-0.3x0^k+18]]。令x0^k=[x0,x1]^k，則x^1=[[-0.2x1^k],[-0.3x0^k+18]]。取初始值x^0=[0,0]T，則x^1=[[-0.2*0],[-0.3*0+18]]T=[0,18]T。迭代兩次：x^2=[[-0.2*18],[-0.3*0+18]]T=[-3.6,18]T。13.解：Lagrange插值多項式P1(x)=y0*(x-x1)/(x0-x1)+y1*(x-x0)/(x1-x0)。P1(x0)=y0*(x0-x1)/(x0-x1)+y1*(x0-x0)/(x1-x0)=y0。P1(x1)=y0*(x1-x1)/(x0-x1)+y1*(x1-x0)/(x1-x0)=y1。四、分析題14.解：Gauss-Seidel方法利用了上一步計算出的所有更新過的分量，而Jacobi方法只利用了上一步的舊分量。因此，在每一步迭代中，Gauss-Seidel方法通常能提供比Jacobi方法更接近真解的近似值，從而減少了從上一步到當前步的誤差量，即收斂速度更快。15.解：T(h)的誤差E_T(h)=-kh^3/12。將步長減半，新步長為h/2，新誤差E_T(h/2)=-k(h/2)^3/12=-k(h^3)/12*(1/8)=(1/8)*(-kh^3/12)=(1/8)*E_T(h)。E_T(h/2)=1/8*E_T(h)。S(h)的誤差E_S(h)=-kh^5/180。將步長減半，新步長為h/2，新誤差E_S(h/2)=-k(h/2)^5/180=-k(h^5)/180*(1/32)=(1/32)*(-kh^5/180)=(1/32)*E_S(h)。E_S(h/2)=1/32*E_S(h)。16.解：真解：y(t)=e^(-t^2)，y(0.1)=e^(-0.01)≈0.99005。歐拉方法(h=0.1)：y1=y0+h*f(t0,y0)=1+0.1*(-2*0*1)=1。改進歐拉方法(Heun方法，h=