2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)值模擬在地球科學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述數(shù)值模擬在地球科學(xué)研究中相對(duì)于傳統(tǒng)觀測(cè)方法的主要優(yōu)勢(shì)和局限性。二、什么是數(shù)值模擬中的截?cái)嗾`差？它與離散誤差有何區(qū)別？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明影響截?cái)嗾`差的主要因素。三、有限差分法、有限體積法和有限元法是數(shù)值模擬中常用的三種離散化方法。請(qǐng)分別簡(jiǎn)要說(shuō)明它們的基本思想，并指出它們?cè)谔幚黹]區(qū)域和非閉區(qū)域（如計(jì)算域邊界）時(shí)的主要不同點(diǎn)。四、流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程是描述流體運(yùn)動(dòng)的基本方程。請(qǐng)簡(jiǎn)述該方程的物理意義，并說(shuō)明其在模擬大氣環(huán)流或海洋環(huán)流時(shí)的主要挑戰(zhàn)（至少列舉兩點(diǎn)）。五、波動(dòng)方程在地球物理學(xué)中用于模擬地震波或其他地球內(nèi)部波體的傳播。請(qǐng)簡(jiǎn)述一維波動(dòng)方程的推導(dǎo)過(guò)程（無(wú)需推導(dǎo)公式，只需說(shuō)明物理意義），并解釋其中波速的物理含義。六、數(shù)值模擬結(jié)果的可視化對(duì)于理解地球科學(xué)現(xiàn)象至關(guān)重要。請(qǐng)列舉至少三種用于可視化地球科學(xué)模擬結(jié)果（如溫度場(chǎng)、速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)分布）的有效方法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明每種方法的原理或適用場(chǎng)景。七、在模擬大氣環(huán)流時(shí)，常用的模型有基于能量平衡的簡(jiǎn)單氣候模型和復(fù)雜的全球氣候模型（GCM）。請(qǐng)比較這兩種模型在分辨率、物理過(guò)程參數(shù)化、計(jì)算成本以及對(duì)氣候變化模擬能力方面的主要差異。八、地?zé)崮M是地球科學(xué)中的一個(gè)重要應(yīng)用領(lǐng)域。請(qǐng)簡(jiǎn)述進(jìn)行地?zé)崮M時(shí)需要考慮的主要物理過(guò)程（至少包含熱傳導(dǎo)、對(duì)流和放射性生熱），并說(shuō)明這些過(guò)程如何通過(guò)數(shù)學(xué)方程（如熱傳導(dǎo)方程）來(lái)描述。九、在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，數(shù)值不穩(wěn)定是一個(gè)需要重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題。請(qǐng)解釋什么是數(shù)值不穩(wěn)定，并簡(jiǎn)要說(shuō)明導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定的可能原因（至少列舉兩點(diǎn)）。對(duì)于簡(jiǎn)單的一維波動(dòng)方程，請(qǐng)定性描述如何通過(guò)調(diào)整時(shí)間步長(zhǎng)或空間步長(zhǎng)來(lái)提高數(shù)值格式的穩(wěn)定性。十、環(huán)境科學(xué)家常使用數(shù)值模擬來(lái)研究污染物在空氣或水體中的擴(kuò)散和遷移。請(qǐng)描述一個(gè)典型的污染物擴(kuò)散模擬問(wèn)題，說(shuō)明需要建立的主要數(shù)學(xué)模型（如擴(kuò)散方程），并簡(jiǎn)述模擬結(jié)果中可能出現(xiàn)的特征（如濃度等值線(xiàn)、擴(kuò)散方向）及其環(huán)境意義。試卷答案一、優(yōu)勢(shì)：能夠模擬難以直接觀測(cè)的地球內(nèi)部過(guò)程、可以研究長(zhǎng)時(shí)間或極端條件下的地球現(xiàn)象、便于進(jìn)行多因素耦合實(shí)驗(yàn)和參數(shù)敏感性分析；局限性：結(jié)果依賴(lài)于模型假設(shè)和參數(shù)化方案，存在不確定性；需要大量的計(jì)算資源和專(zhuān)業(yè)知識(shí)；難以完全捕捉地球系統(tǒng)的所有復(fù)雜性和非線(xiàn)性。二、截?cái)嗾`差是指由于將連續(xù)的偏微分方程用離散的差分方程近似時(shí)，由于差分格式的精度有限而引入的誤差，它源于數(shù)學(xué)上的近似。離散誤差是指由于將連續(xù)變量（如空間、時(shí)間）離散化（如用網(wǎng)格點(diǎn)代替連續(xù)空間）而引入的誤差。截?cái)嗾`差是理論上的、與格式精度相關(guān)的誤差，而離散誤差是實(shí)際計(jì)算中由于離散化步驟產(chǎn)生的誤差。三、有限差分法通過(guò)用差商近似導(dǎo)數(shù)，直接在網(wǎng)格點(diǎn)上進(jìn)行計(jì)算；有限體積法基于控制體積（單元）上的物理量守恒（如質(zhì)量、動(dòng)量守恒），將微分方程轉(zhuǎn)化為積分形式，再離散化；有限元法利用分片插值函數(shù)（基函數(shù)）近似未知函數(shù)，將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。在處理閉區(qū)域邊界時(shí)，這三種方法都需要在邊界上應(yīng)用特定的處理技術(shù)（如邊界條件施加）以保持計(jì)算的準(zhǔn)確性和物理一致性；在處理非閉區(qū)域（計(jì)算域邊界）時(shí)，有限差分法可能需要特殊技巧（如外推法），有限體積法通常需要應(yīng)用通量積分法則來(lái)處理跨邊界項(xiàng)，有限元法則可以通過(guò)引入“虛擬單元”或“罰函數(shù)”等方式處理非固定邊界。四、物理意義：Navier-Stokes方程描述了流體（包括氣體和液體）的運(yùn)動(dòng)，其中包含描述流體動(dòng)量傳遞的粘性項(xiàng)（描述內(nèi)部摩擦）和描述壓力梯度驅(qū)動(dòng)力的項(xiàng)（描述外部驅(qū)動(dòng)力），以及慣性項(xiàng)（描述加速度）。主要挑戰(zhàn)：1）方程組的高度非線(xiàn)性，導(dǎo)致求解困難，特別是對(duì)于強(qiáng)對(duì)流或湍流現(xiàn)象；2）湍流現(xiàn)象的混沌性和多尺度性，難以用簡(jiǎn)單的模型或網(wǎng)格尺度進(jìn)行精確模擬；3）精確模擬重力、科里奧利力等地球自轉(zhuǎn)相關(guān)效應(yīng)的復(fù)雜性；4）計(jì)算量巨大，需要高性能計(jì)算資源。五、一維波動(dòng)方程的物理意義：描述沿單一維度（如x軸）傳播的波動(dòng)（如弦振動(dòng)或聲波）的位移隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。其推導(dǎo)過(guò)程通?；谂ｎD第二定律（對(duì)微小體積元應(yīng)用）和彈性勢(shì)能（如弦的張力或介質(zhì)的彈性恢復(fù)力）的平衡，最終得到位移關(guān)于時(shí)間和空間的二階偏微分方程。其中波速表示波在介質(zhì)中傳播的速度，其大小取決于介質(zhì)的物理性質(zhì)，如彈性模量和密度（對(duì)于機(jī)械波）或介電常數(shù)和磁導(dǎo)率（對(duì)于電磁波）。六、可視化方法：1）等值線(xiàn)圖（ContourPlots）：通過(guò)繪制連接數(shù)值相等的點(diǎn)的曲線(xiàn)來(lái)顯示場(chǎng)（如溫度、壓力）在二維或三維空間中的分布；2）流線(xiàn)圖/矢量場(chǎng)圖（Streamlines/VectorFields）：用于顯示矢量場(chǎng)（如風(fēng)速、洋流速度）的方向和強(qiáng)度；3）三維表面圖/體繪制（3DSurface/VolumeRendering）：用于在三維空間中直觀展示標(biāo)量場(chǎng)（如地形高程、溫度分布）或矢量場(chǎng)（通過(guò)體繪制技術(shù)）。原理或適用場(chǎng)景：等值線(xiàn)圖適用于展示場(chǎng)的大致分布和梯度方向，流線(xiàn)圖適用于展示流體或氣體的運(yùn)動(dòng)軌跡和模式，三維圖形適用于直觀展示復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)和場(chǎng)分布。七、簡(jiǎn)單氣候模型通常基于能量平衡原理，僅包含少量關(guān)鍵參數(shù)（如太陽(yáng)輻射、地表反照率、溫室氣體輻射強(qiáng)迫），分辨率低，主要關(guān)注全球平均氣候狀態(tài)的變化；復(fù)雜全球氣候模型（GCM）包含詳細(xì)的物理過(guò)程（如大氣環(huán)流、海洋環(huán)流、陸面過(guò)程、輻射傳輸、水汽和冰相變化等）和復(fù)雜的參數(shù)化方案，采用高分辨率網(wǎng)格，能夠模擬大氣、海洋、陸地、冰雪圈之間的相互作用和區(qū)域氣候特征；計(jì)算成本：簡(jiǎn)單模型計(jì)算成本低，快速；GCM計(jì)算成本極高，需要超級(jí)計(jì)算機(jī)；模擬能力：簡(jiǎn)單模型適合定性研究或參數(shù)敏感性分析；GCM能夠提供更定量、更詳細(xì)的氣候模擬結(jié)果，但仍有很大的不確定性和局限性。八、主要物理過(guò)程：1）熱傳導(dǎo)：地球內(nèi)部熱量從高溫區(qū)向低溫區(qū)通過(guò)固體介質(zhì)進(jìn)行的傳導(dǎo)傳遞，由熱傳導(dǎo)方程描述；2）對(duì)流：在地球外部圈層（如地幔、大氣、海洋）中，熱量通過(guò)流體（熔融巖石、空氣、水）的宏觀運(yùn)動(dòng)進(jìn)行傳遞；3）放射性生熱：地球內(nèi)部某些放射性元素（如鈾、釷、鉀）發(fā)生衰變時(shí)釋放的α、β、γ射線(xiàn)以及衰變熱。這些過(guò)程通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)方程描述：熱傳導(dǎo)通過(guò)熱傳導(dǎo)方程，對(duì)流通過(guò)動(dòng)量方程和能量方程聯(lián)合描述，放射性生熱作為內(nèi)部熱源項(xiàng)添加到熱傳導(dǎo)方程中。九、數(shù)值不穩(wěn)定是指模擬結(jié)果在迭代計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)劇烈振蕩、爆炸式增長(zhǎng)或快速衰減至零，最終導(dǎo)致計(jì)算失敗或結(jié)果失去物理意義的現(xiàn)象?？赡茉颍?）時(shí)間步長(zhǎng)或空間步長(zhǎng)選擇過(guò)大，超過(guò)了差分格式允許的穩(wěn)定性條件（如CFL數(shù)限制）；2）數(shù)值格式本身存在固有不穩(wěn)定特性（如某些有限差分格式）；3）模型參數(shù)設(shè)置不合理，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)強(qiáng)。對(duì)于簡(jiǎn)單的一維波動(dòng)方程，可以通過(guò)減小時(shí)間步長(zhǎng)Δt或空間步長(zhǎng)Δx來(lái)提高數(shù)值格式的穩(wěn)定性，使得計(jì)算格式滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件（如對(duì)于顯式中心差分格式，要求Δt≤(Δx2/2c)），其中c為波速。十、模擬問(wèn)題示例：研究城市工業(yè)區(qū)排放的二氧化硫（SO2）在穩(wěn)定無(wú)風(fēng)或小風(fēng)條件下的擴(kuò)散和累積過(guò)程。主要數(shù)學(xué)模型：污染物擴(kuò)散模擬通?；趯?duì)流-擴(kuò)散方程，即?C/?t+?·(VC)=D?2C+S，其中C是污染物濃度，t是時(shí)間，V是風(fēng)速矢量，D是擴(kuò)散系數(shù)，?·(VC)是對(duì)流項(xiàng)，D?2C是擴(kuò)散項(xiàng)，S是源匯項(xiàng)（如